Maximos e minimos

Maximos e minimos

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Máximos e Mínimos

1. Introdução

No contexto do estudo de derivadas, resolvemos problemas de funções quadráticas onde se pretendia encontrar o valor ótimo que estas assumiam, ou seja, o seu valor máximo. O ponto máximo, onde o coeficiente angular é zero, geralmente era único, o que nos permitia igualar a derivada da função a zero e, em seguida, resolve-las em x.

Um exemplo é a função lucro, representada por ,120006800400)(2−+−=xxxL a qual você deve esboçar o gráfico e constatar as informações acima. Entretanto nem sempre é tão simples assim, pois, de maneira geral, nem todo ponto da função no qual a derivada é nula é o pico do gráfico.

y = x³y = x²
fig. 1fig. 2

Temos duas funções cujas derivadas em x = 0 são nulas. Ambas possuem tangentes horizontais em (0;0), mas a função y = x² alcança seu valor mínimo em (0;0), enquanto que a função y = x³ não possui máximo nem mínimo neste ponto. A situação torna-se mais complicada com a existência de funções que possuem máximos e mínimos em pontos nos quais as derivadas nem sequer são definidas, como ilustramos nas figuras 3 e 4.

y32

xsex xy =

fig. 3fig. 4

Vemos então uma forma sistematizada de locação e identificação de máximos e mínimos de funções diferenciáveis. Neste processo você também aprenderá como usar derivadas que o ajudarão a construir gráficos de funções.

2. Máximos e Mínimos Relativos

Um máximo relativo de uma função é um “pico”, o ponto máximo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. Um mínimo relativo é um “fundo de vale”, o ponto mínimo do gráfico em relação a qualquer outro ponto vizinho. A função representada na figura 5 possui um máximo relativo em x = b, e mínimos relativos em x = a e x = c. Note que o máximo relativo não precisa ser o ponto mais alto do gráfico, é máximo somente em relação aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mínimo relativo não é o ponto “mais baixo” do gráfico.

a b c

Conhecendo-se os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, pode-se facilmente identificar os máximos e mínimos relativos da função. O máximo relativo ocorre quando a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente. O mínimo relativo ocorre quando a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.

3. Sinal da Derivada

Pode-se reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal da sua derivada, porque a derivada é o coeficiente angular da reta tangente. Quando a derivada é positiva, o coeficiente angular da tangente é positivo e a função é crescente. Caso contrário, quando a derivada é negativa, o coeficiente angular é negativo e a função é decrescente. A figura 6 ilustra essa situação.

Y = f(x)

Y = f(x)

fig. 6-afig. 6-b
ab a b

Conclusão:

Se f (x) > 0, quando a < x < b, então f é crescente para a < x < b Se f (x) < 0, quando a < x < b, então f é decrescente para a < x < b

4. Pontos Críticos

Sendo 0x um ponto pertencente ao domínio de uma função f (x), diz-se que 0x é abscissa de um ponto crítico se:

A função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos nos quais a função pode assumir máximos ou mínimos relativos são aquelas nos quais as derivadas são nulas ou indefinidas.

O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo.

1)f (0x) = 0 2)f (0x) não está definida

Observe que:

1)Se o sinal da derivada for positivo à esquerda do ponto crítico e negativo à direita dela, o ponto é um máximo relativo. (fig. 7a).

2)Se o sinal da derivada for negativo à esquerda do ponto crítico e positivo à direita dela, o ponto é um máximo relativo. (fig. 7b).

3)Se o sinal da derivada for o mesmo em ambos os lados do ponto crítico, o ponto não é máximo nem mínimo relativo. (fig. 7c).

0x0x 0x
fig. 7afig. 7b fig. 7c

5. Teorema de FERMAT (Condições necessárias para a existência de extremo relativo): Seja f definida em (a;b) e ().;0bax∈ Se f assume um extremo relativo em x e f (x) existe, então

6. Seja f uma função contínua em [a;b] e derivável em ]a;b[ :

a)f é crescente em []()0;≥⇔xfba b)f é decrescente em []()0;≤⇔xfba

Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos:

Seja f contínua em [a;b] e ][.;0bax∈ Suponhamos que f seja derivável em ]a;b[ exceto possivelmente em 0x .

a)se f (x) > 0 para x <0x e f (x) < 0 para x >0x então 0x é o ponto máximo relativo. b)se f (x) < 0 para x <0x e f (x) > 0 para x >0x então 0x é o ponto mínimo relativo.

Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos: Seja f derivável em ]a;b[. Se ][bax;0∈ é tal que f (x) existe e é contínua em V(x) então:

a)se f ”()0x < 0, 0x é o ponto máximo relativo. b)se f ”()0x > 0, 0x é o ponto mínimo relativo.

Máximos e Mínimos Absolutos:

Na Maioria dos problemas práticos de otimização, o objetivo é calcular o máximo absoluto ou mínimo absoluto de uma certa função num intervalo e não o máximo ou mínimo relativo. O máximo absoluto de uma função no intervalo é o maior valor da função neste intervalo. O mínimo absoluto é o menor valor.

Freqüentemente, os extremos absolutos coincidem com os relativos. No intervalobxa≤≤, o máximo absoluto e o máximo relativo coincidem, porém o mínimo absoluto ocorre na extremidade de x = a, que não é um mínimo relativo.

Fig. 8 a b

Extremos Absolutos em Intervalos Fechados:

Uma função contínua num intervalo fechado alcança um máximo absoluto e um mínimo absoluto no intervalo. O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer no extremo x = a ou x = b. A figura 9 ilustra estas possibilidades.

● ● ● ●
● ● ● ●

Máximo absoluto coincide com máximo relativo

Máximo absoluto ocorre numa extremidade

Máximo absoluto coincide com mínimo relativo

Mínimo absoluto ocorre numa extremidade fig. 9

Usando estas observações, podemos descrever uma técnica simples de localização e identificação dos extremos absolutos de funções contínuas em intervalos fechados.

Como Calcular Extremos Absolutos de uma Função Contínua f num Intervalo Fechado [a;b]. 1o Passo: Calcule as coordenadas x de todos os pontos críticos de f no intervalo bxa≤≤.

2o Passo: Calcule f (x) nestes pontos críticos e nas extremidades x = a e x = b. 3o Passo: Selecione os maiores e menores valores de f (x) conseguidos no 2o Passo. Você obterá, então, respectivamente, o máximo absoluto e mínimo absoluto.

Extremos Absolutos em Intervalos não Fechados Quando o intervalo no qual desejamos maximizar ou minimizar a função não é da forma [a;b], precisamos modificar a técnica, porque, não é garantida a existência de extremos absolutos da função no intervalo em questão. Por outro lado, se um extremo absoluto existe e a função é contínua, o extremo absoluto coincidirá com o extremo relativo ou com uma extremidade contida no intervalo. A figura 10 ilustra algumas dessas possibilidades.

Não possui máximo absoluto em x > 0Não possui mínimo absoluto em x ≥ 0

Para calcular os extremos absolutos de uma função contínua num intervalo que não seja fechado, calculamos o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades contidas no intervalo, pois a função possui extremos relativos neste intervalo.

7. Teorema do Valor Extremo Se f é contínua em [a;b], então possui um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto.

Concavidade Diz-se que uma curva tem concavidade para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros do relógio, ao percorre a curva da esquerda para a direita. Diz-se que uma curva tem concavidade para cima quando sua tangente se move no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, ao percorre a curva da esquerda para a direita.

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