problemas derivada

problemas derivada

Problemas envolvendo a derivada k sen.Ay representa as oscilações de uma mola

com uma massa m presa em uma de suas extremidades, sendo k a constante elástica mola.

a) Encontre o instante no qual a massa está mais distante do seu ponto de equilíbrio. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando com velocidade máxima. Encontre o instante no qual a massa está se movimentando com aceleração máxima. b) Qual é o período T da oscilação?

c) Encontre dm dT . O que nos diz o sinal de

Problema 2: Seja a função xcose)x(f=. Investigue algumas das propriedades de f, através das questões:

a) Qual o domínio de f? b) f é periódica? c) f assume valores negativos? d) f tem raízes? e) f tem algum valor máximo? E mínimo? f) f é o resultado da composição de uma função exponencial com uma função trigonométrica. A função f cresce infinitamente como uma função exponencial? g) Qual a imagem de f?

Problema 3: Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de 50 mm3/s, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.

Problema 4: Seja a função h(x)=f(g(x)), sendo g(x)=cos x. Sabendo que f’(–1)=3, determine o valor de )('hpi.

2 x tg)x(g definidas para

a) Resolva as equações: f’(x)=1 e g’(x)=1. b) Dê uma interpretação gráfica dos resultados da parte a), em termos das inclinações dos gráficos das funções f e g.

Problema 6: Resolva a equação diferencial )x(f)x('f=.

Problema 7: Obtenha o aumento do volume de uma esfera quando seu raio varia de 3cm a 3,1cm.

Problema 8: Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que seus lados medem 1500m, com um erro máximo de 50m. Usando taxa de variação, determine o possível erro no cálculo da área do terreno.

Problema 9: Um tanque de óleo deve ser drenado para limpeza. Sobram V galões de óleo no tanque t minutos após o início da drenagem, onde ()2t7560V−=, calcule:

a) a taxa média em que é drenado o óleo para fora do tanque durante os primeiros 30 minutos. b) a taxa em que o óleo está fluindo para fora do tanque 30 minutos após o início da drenagem.

Problema 10: Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar, bem como a derivada de uma função ímpar é uma função par.

Problema 1: Nos carros da Fórmula 1 utiliza-se um pneu de ultra-aderência cuja consistência é mais macia do que a de um pneu normal e cuja superfície de contato é plana – pneu slick. Um fabricante desse tipo de pneus garante que a quantidade de borracha gasta em média quando um carro está rodando a 200km/h é de 1,5cm2/s. Sabendo que esse pneu, quando novo, tem diâmetro de 45cm e largura de 30cm, encontre:

a) a taxa de variação do diâmetro do pneu para um carro rodando nessas condições? b) a taxa de variação do diâmetro quando o pneu, já usado, estiver com diâmetro de 42,7cm?

Problema 12: Mostre que a função xlnx1

++ = satisfaz a equação diferencial

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