P1 4h f3unif 092 def enunc gab, Notas de estudo de Engenharia Ambiental

Baixe P1 4h f3unif 092 def enunc gab e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Ambiental, somente na Docsity! Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de F́ısica F́ısica III – 2009/2 Primeira Prova (P1) – 14/10/2009 Versão: A Aluno: DRE: Professor: Turma: Seção Nota original Nota de revisão Rubrica Parte objetiva (total) Parte discursiva: Questão 1 Parte discursiva: Questão 2 INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada! 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida, por sua vez, em duas seções: – uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), – uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon- didas anulando uma correta); • uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta. 4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc) Formulário E = 1 4πǫ0 q r2 r̂ , ∮ S E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE = 1 2 ǫ0E 2 . ∫ sen2 u du = u 2 − sen (2u) 4 , ∫ cos2 u du = u 2 + sen (2u) 4 , ∫ sen u cosu du = sen2 u 2 . 1 Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 4. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 5. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 2 5 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] 6 7 6. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. 2 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por Q[C] = ∫ C λ(r)dℓ . No caso, Q = ∫ π θ=0 λ0 cos θR dθ ou Q = 0 . Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda “igualmente”. (b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por dEx = k0 dq R2 (−r̂) · x̂ = −k0 λ(θ)dℓ R2 cos θ = − k0λ0 R cos2 θdθ . Logo E(0) = − k0λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θdθ x̂ Ora, do formulário, tiramos que ∫ π θ=0 cos2 θdθ = π/2 . Portanto, finalmente, E(0) = − πk0λ0 2R x̂ = − λ0 8ǫ0R x̂ . (c) O potencial é dado por V (0) = ∫ C k0dq R ; Logo, trivialmente, V (0) = 0 .  3 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por Q[R] = ∫ R ρ(r)dV . Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente Q = ∫ R r=0 ρ(r)4πr2dr = 4πA ∫ R r=0 r4dr , ou Q = 4 5 πAR5 . (b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo através dela será ΦE[S] := ∮ S E · n̂dA = ∮ S Er(r)r̂ · r̂dA = Er(r) ∮ S dA = 4πr2Er(r) . Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para tanto, temos duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, Qint = Q . Portanto, pela própria lei de Gauss, vem E = Er(r)r̂ = 1 4πǫ0 Q r2 r̂ = AR5 5ǫ0r2 r̂ . 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de F́ısica F́ısica III – 2009/2 Primeira Prova (P1) – 14/10/2009 Versão: B Aluno: DRE: Professor: Turma: Seção Nota original Nota de revisão Rubrica Parte objetiva (total) Parte discursiva: Questão 1 Parte discursiva: Questão 2 INSTRUÇÕES: LEIA COM CUIDADO! 1. Preencha correta, leǵıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabeçalho acima. Sem isso, a correção de sua prova poderá ficar prejudicada! 2. A prova constitui-se de duas partes: • uma parte de dez (10) questões objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida, por sua vez, em duas seções: – uma seção de sete (7) questões de múltipla escolha (sem nenhum tipo de penalização), – uma seção de três (3) questões de falso ou verdadeiro (com duas questões incorretamente respon- didas anulando uma correta); • uma parte discursiva, constitúıda por duas questões discursivas (ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos. 3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta. 4. É vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletrônico (calculadora, celular, iPod, etc) Formulário E = 1 4πǫ0 q r2 r̂ , ∮ S E · n̂ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE = 1 2 ǫ0E 2 . ∫ sen2 u du = u 2 − sen (2u) 4 , ∫ cos2 u du = u 2 + sen (2u) 4 , ∫ sen u cosu du = sen2 u 2 . 1 Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 2 6. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 7. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. 3 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] 6 7 8 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer curva C é sempre dada por Q[C] = ∫ C λ(r)dℓ . No caso, Q = ∫ π θ=0 λ0 cos θR dθ ou Q = 0 . Este resultado era de se esperar visto que a distribuição é simétrica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribúıda “igualmente”. (b) Por simetria, o campo elétrico resultante no centro do anel só terá componente x. A contribuição para tal de um elemento de carga infinitesimal, a um ângulo polar θ, é dada por dEx = k0 dq R2 (−r̂) · x̂ = −k0 λ(θ)dℓ R2 cos θ = − k0λ0 R cos2 θdθ . Logo E(0) = − k0λ0 R ∫ π θ=0 cos2 θdθ x̂ Ora, do formulário, tiramos que ∫ π θ=0 cos2 θdθ = π/2 . Portanto, finalmente, E(0) = − πk0λ0 2R x̂ = − λ0 8ǫ0R x̂ . (c) O potencial é dado por V (0) = ∫ C k0dq R ; Logo, trivialmente, V (0) = 0 .  3 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por Q[R] = ∫ R ρ(r)dV . Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente Q = ∫ R r=0 ρ(r)4πr2dr = 4πA ∫ R r=0 r4dr , ou Q = 4 5 πAR5 . (b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo através dela será ΦE[S] := ∮ S E · n̂dA = ∮ S Er(r)r̂ · r̂dA = Er(r) ∮ S dA = 4πr2Er(r) . Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para tanto, temos duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, Qint = Q . Portanto, pela própria lei de Gauss, vem E = Er(r)r̂ = 1 4πǫ0 Q r2 r̂ = AR5 5ǫ0r2 r̂ . 4 • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, Qint = ∫ r r′=0 Ar′24πr′2dr′ = 4 5 πAr5 . Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem E = Ar3 5ǫ0 r̂ = Q 4πǫ0 r3 R5 r̂ . (c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, V (r) − V (∞) = − ∫ r r=∞ Er(r)dr . Como V (∞) = 0, isso implica V (r) = 1 4πǫ0 Q r = AR5 5ǫ0r . • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, V (r) − V (R) = − ∫ r r=R Er(r)dr . Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR 4/(5ǫ0), isso implica V (r) − AR4 5ǫ0 = A 20ǫ0 (R4 − r4) , ou seja, V (r) = − A 20ǫ0 (r4 − 5R4) = − Q 16πǫ0R5 (r4 − 5R4) .  5 Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. 2. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 5. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 6. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 2 7. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. 3 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] 4 7 8 Gabarito para Versão C Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. 2. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 1 2. Considere uma bola esférica isolante (com constante dielétrica igual a 1), de raio R, com uma distribuição estacionária de carga esfericamente simétrica, cuja densidade volumar é dada por ρ(r) = { Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ; 0 , se R < r < ∞ . Aqui A é uma constante e r é a usual distância radial, desde o centro da bola. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto] (c) Determine o potencial eletrostático fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no infinito. [1,0 ponto] Resolução: (a) A carga total em qualquer região R é sempre dada por Q[R] = ∫ R ρ(r)dV . Então, no caso da bola, temos que sua carga total Q será simplesmente Q = ∫ R r=0 ρ(r)4πr2dr = 4πA ∫ R r=0 r4dr , ou Q = 4 5 πAR5 . (b) Devido à simetria esférica, o vetor campo elétrico criado pela bola só terá componente radial, componente esta dependente somente da distância r. Logo, convém calcularmos o campo pela lei de Gauss; como gaussiana, adotamos uma superf́ıcie esférica concêntrica com a bola carregada e de raio genérico r. O fluxo através dela será ΦE[S] := ∮ S E · n̂dA = ∮ S Er(r)r̂ · r̂dA = Er(r) ∮ S dA = 4πr2Er(r) . Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para tanto, temos duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, Qint = Q . Portanto, pela própria lei de Gauss, vem E = Er(r)r̂ = 1 4πǫ0 Q r2 r̂ = AR5 5ǫ0r2 r̂ . 4 • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, Qint = ∫ r r′=0 Ar′24πr′2dr′ = 4 5 πAr5 . Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem E = Ar3 5ǫ0 r̂ = Q 4πǫ0 r3 R5 r̂ . (c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, V (r) − V (∞) = − ∫ r r=∞ Er(r)dr . Como V (∞) = 0, isso implica V (r) = 1 4πǫ0 Q r = AR5 5ǫ0r . • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, V (r) − V (R) = − ∫ r r=R Er(r)dr . Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR 4/(5ǫ0), isso implica V (r) − AR4 5ǫ0 = A 20ǫ0 (R4 − r4) , ou seja, V (r) = − A 20ǫ0 (r4 − 5R4) = − Q 16πǫ0R5 (r4 − 5R4) .  5 6 6. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. 3 Seção 3. Questões discursivas 1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuição estacionária de carga, cuja densidade linear é dada por λ(θ) = { λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ; 0 , se π < θ < 2π . Aqui λ0 é uma constante e θ é o usual ângulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonométrico. (a) Determine a carga total de tal distribuição. [0,5 ponto] (b) Determine o vetor campo elétrico no centro do anel. [1,5 ponto] (c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto] 4 5 8 Gabarito para Versão D Seção 1. Múltipla escolha (só uma opção é correta) 1. Um dielétrico é inserido entre as placas de um ca- pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo completamente a região entre elas. Inicialmente, o espaço entre elas estava preenchido com ar e o capacitor estava carregado com uma carga Q e desconectado de qualquer bateria. Depois da in- serção do dielétrico, podemos afirmar que (a) a carga nas placas do capacitor aumenta. (b) a diferença de potencial entre as placas do capacitor aumenta. (c) o campo elétrico no interior do capacitor diminui. (d) a energia elétrica armazenada permanece a mesma. 2. Seja a associação de capacitores da figura abaixo: a b C C C C A capacitância equivalente entre os pontos a e b vale: (a) C/4 . (b) 3C/4 . (c) C/3 . (d) 4C/3 . 3. Considere as configurações A e B de part́ıculas (pontuais) carregadas representadas na figura abaixo. Efetue a ordenação da energia potencial eletrostática armazenada em cada caso, levando em conta que, nos dois casos, a separação entre a part́ıcula central e as demais tem sempre o mesmo valor. q q −q A : q −q q B : (a) UA < UB. (b) UA = UB. (c) UA > UB. (d) Os dados são insuficientes. 4. Sabe-se que o módulo do campo elétrico na região entre duas placas planas muito grandes, separa- das por uma pequena distância, e com densida- des superficiais de mesmo módulo, σ, é dado por E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que: (a) as duas placas são condutoras. (b) as duas placas são isolantes. (c) uma das placas é condutora e a outra placa é isolante. (d) as densidades superficiais de cargas nas placas têm o mesmo sinal. (e) as densidades superficiais de cargas nas placas têm sinais opostos. 1 5. Uma superf́ıcie imaginária fechada envolve com- pletamente um dipolo elétrico e nenhuma outra part́ıcula carregada. Podemos afirmar que: (a) o campo elétrico é zero em todos os pon- tos da superf́ıcie. (b) o campo elétrico é normal à superf́ıcie em todos os pontos da mesma. (c) o fluxo do campo elétrico através da su- perf́ıcie não pode ser igual a zero, pois há cargas envolvidas pela mesma. (d) o fluxo do campo elétrico através de uma parte da superf́ıcie pode não ser igual a zero. 6. Em uma região do espaço, o potencial ele- trostático é dado por V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const , onde x, y, z são as tradicionais coordenadas carte- sianas. O vetor campo elétrico no ponto (2b, b, 2b) é dado por (a) −ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (b) −ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (c) ab(8x̂ + 2ŷ + ẑ) . (d) ab(8x̂ + ŷ + 2ẑ) . (e) 0, pois temos simetria plana. 7. Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere- se uma carga Q. Em seguida, uma part́ıcula (pon- tual) de carga −10q é colocada no seu centro. Qual é a expressão correta para a densidade de carga sobre a superf́ıcie externa da casca condu- tora? (a) σ = −10q/(4πb2) . (b) σ = −Q/(4πb2) . (c) σ = (Q − 10q)/(4πb2) . (d) σ = (Q + 10q)/(4πb2) . (e) σ = (10q − Q)/(4πb2) . Seção 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) F Considere uma superf́ıcie cúbica, de aresta com comprimento R, e uma superf́ıcie esférica, de raio com comprimento também R. Dentro de cada uma dessas superf́ıcies temos uma part́ıcula de carga q. Podemos concluir que o fluxo do campo elétrico através da superf́ıcie cúbica é maior que aquele através da superf́ıcie esférica. F O potencial eletrostático é o mesmo em todos os pontos na superf́ıcie de um condutor em equiĺıbrio eletrostático, logo a densidade superficial de carga será a mesma em todos os pontos dessa superf́ıcie. F Uma part́ıcula (pontual) de carga Q é mantida fixa enquanto outra part́ıcula (pontual), de carga q, é trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela força eletrostática atuante sobre a part́ıcula de carga q é positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal. 2 • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, Qint = ∫ r r′=0 Ar′24πr′2dr′ = 4 5 πAr5 . Portanto, pela própria lei de Gauss, novamente, vem E = Ar3 5ǫ0 r̂ = Q 4πǫ0 r3 R5 r̂ . (c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integração, a partir do infinito, do campo elétrico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades: • R ≤ r < ∞: Nesse caso, V (r) − V (∞) = − ∫ r r=∞ Er(r)dr . Como V (∞) = 0, isso implica V (r) = 1 4πǫ0 Q r = AR5 5ǫ0r . • 0 ≤ r ≤ R: Nesse caso, V (r) − V (R) = − ∫ r r=R Er(r)dr . Como, da última equação, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR 4/(5ǫ0), isso implica V (r) − AR4 5ǫ0 = A 20ǫ0 (R4 − r4) , ou seja, V (r) = − A 20ǫ0 (r4 − 5R4) = − Q 16πǫ0R5 (r4 − 5R4) .  5 6