Apostila Corpos rígidos

Apostila Corpos rígidos

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Celso Pupo Pesce Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

Celso Pupo Pesce

Departamento de Engenharia Mecânica Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

São Paulo, novembro de 2004

Prefácio

O presente texto didático foi originalmente elaborado tendo em vista compor um dos capítulos de um livro de Mecânica Geral destinado a alunos de graduação em engenharia, nos moldes do curso ministrado na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Entendeu-se, então, ser interessante uma análise mais extensiva, o que levou à edição da presente monografia.

No entanto, quando o assunto tratado enquadra-se na categoria dos denominados “clássicos”, dos quais a Mecânica constitui talvez o caso particular de maior importância, posto que ocupa lugar nobre na história da ciência e ao seu estudo tão melhores e aprofundados textos foram dedicados, qualquer tratamento apresentado corre o sério risco da simples redundância, para dizer o mínimo. Assim, não espere o leitor algo surpreendente, do ponto de vista didático, mas tão somente uma tentativa de sistematizar e organizar notas de aula que abrangem um limitado espectro, tanto ao nível de completude como de profundidade no tratamento da matéria.

O desenvolvimento do texto reflete, em grande monta, a forma com que este autor acredita deva a formação de um engenheiro “conceitual” ser conduzida. Dá-se ênfase à dedução e discussão dos “modelos da mecânica”, procurando-se explicitar as hipóteses sobre as quais são construídos, particularizando-os então às diversas situações de aplicação que se apresentam úteis ao estudo da mecânica e da engenharia. Foge propositalmente, portanto, de uma abordagem usualmente encontrada em livros de cunho mais técnico que, pode-se dizer, adotam “o caminho que vai do particular para o geral”, seguindo a orientação oposta, cuidando para não se desviar do conteúdo conceitual, sem contudo ingressar no formalismo e rigor matemáticos excessivos.

A dedução e a discussão das equações do movimento são conduzidas de maneira relativamente detalhada, por vezes até um pouco exaustiva, quando diversas formas úteis de sua aplicação são então apresentadas. A notação vetorial é utilizada, embora, quando pertinente, notação matricial seja empregada como alternativa útil à compreensão física, à síntese ou à aplicação numérica. Admite-se que o leitor apresente conhecimentos elementares de álgebra vetorial, álgebra linear e de cálculo diferencial e integral além de possuir alguma familiaridade com os fundamentos da Mecânica Clássica, aí incluindo os capítulos relativos à estática, à cinemática do ponto e de um corpo rígido, e à dinâmica do ponto.

O Doutor Eduardo Aoun Tannuri, quando cursava o terceiro ano de Engenharia Mecatrônica, em 1996, ofereceu-se para auxiliar-me na elaboração dos exemplos, na revisão do texto e em sua edição. Mais do que um auxílio, o que se viu foi um trabalho efetivo, na solução de boa parte dos exemplos propostos e na elaboração de figuras, seguido por uma revisão cuidadosa, que acabou por apontar diversos erros de impressão por mim cometidos e sugestões de melhorias na redação. A ele os meus mais sinceros agradecimentos. Agradecerei também, imensamente, contribuições do leitor no sentido de identificar quaisquer outros erros, eventualmente ainda presentes.

Agradeço também a valiosa contribuição de todos os colegas docentes da equipe de Mecânica Geral da Escola Politécnica, através de proveitosas e inspiradoras discussões, ao longo dos últimos 12 anos. Em especial menciono: G.E.O. Giacaglia, L.N.F. França, C.A. Martins, D.C. Zachariadis, D.C. Donha, L.R. Padovese, L. Macedo, M. Massarani, P.C. Kaminski, R.G. Lima, R.B. Salvagni, R. Ramos Jr. e Roberto Spinola Barbosa.

São Paulo, novembro de 2004 C.P.P.

Dinâmica dos corpos rígidos 5 Sumário

2. MOVIMENTO DO BARICENTRO 15

3. ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO 21

4. MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO 60

5. ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO E BALANCEAMENTO 92

6. MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO 1

8.2. Exercício de Simulação # 1. Exemplo de análise. 152

8.8. Exercício de Simulação # 4. Exemplo de análise. 176

1. PRELIMINARES

Do ponto de vista cinemático, um Corpo Rígido (C.R.) pode ser definido como um corpo material que guarda a propriedade de invariância de distância relativa entre quaisquer pontos que o constituam. Esta é a propriedade fundamental de um C.R.. Trata-se, obviamente, de uma idealização, um modelo da realidade, porquanto inexistem, senso estrito, corpos materiais totalmente indeformáveis.

Um sólido admitido indeformável concretiza o conceito de um C.R.. A hipótese de indeformabilidade é, no entanto, plausível quando os deslocamentos relativos são física e matematicamente desprezíveis face a escalas de comprimento outras que caracterizam o problema em estudo; por exemplo, escalas do movimento do corpo como um todo. Embora aparentemente bastante restritiva, a hipótese de C.R. encontra aplicações práticas de grande relevância. O estudo dos movimentos de um navio quando sujeito à ação das ondas do mar, por exemplo, é em geral conduzido dentro da premissa de C.R.. No entanto quando o foco das atenções recai sobre fenômenos de vibração estrutural da embarcação, esta hipótese não mais é aplicável. O mesmo pode ser dito quando do estudo do vôo de areonaves e naves espaciais, do movimento de veículos automotores, rotores e mecanismos flexíveis em geral. O princípio da solidificação é então aplicado, e o movimento é estudado, sob hipótese de pequenos deslocamentos relativos, como composto por um movimento de corpo rígido atuado por forças e momentos de força associados a tais deslocamentos; ver, p.ex., Meirovitch, página 483. O tratamento completo do tema, embora clássico, é objeto de textos mais avançados (ver, também, p. ex., Sommerfeld, Mechanics of Deformable Bodies, 1950) e foge, portanto, do escopo do presente livro.

Este texto fica restrito a aplicações onde a hipótese de C.R. for aplicável. Permeia definições, conceitos e enunciados de teoremas gerais. O tratamento, embora algo matemático, procura fugir propositalmente do rigor, atendendo ao formato didático pretendido. Além das aplicações de caráter conceitual, foram escolhidos exemplos que, embora ainda idealizados, são mais próximos do campo da engenharia.

Inicialmente o Teorema do Movimento do Baricentro é enunciado, a partir de considerações elementares que definem o baricentro de um sólido, em particular, de um corpo rígido. O Teorema da Energia Cinética é abordado a seguir, a partir do conceito geral de energia cinética. É deduzida a expressão associada ao movimento de um corpo rígido, quando então emerge o conceito de matriz de inércia. Suas propriedades principais são enunciadas e discutidas. O conceito de quantidade de movimento angular ou momento angular é abordado no contexto do movimento de um C.R. Sua relação com a recém definida matriz de inércia é então introduzida e o Teorema do Momento Angular, que relaciona a variação desta quantidade à resultante dos momentos do sistema de forças externas aplicadas ao C.R. é enunciado. Completam-se assim as equações que regem o movimento de um C.R., partindo-se para algumas aplicações de caráter conceitual.

O problema plano é discutido e exemplificado, como primeiro tratamento de problemas mais práticos, por encerrar menores dificuldades. São adentrados então problemas mais complexos, de cunho tridimensional. O Binário Giroscópico é definido e tratado através de exemplos didáticos ‘clássicos’. O caráter conservativo do efeitos giroscópicos é discutido. O problema de Balanceamento de Rotores é então abordado de forma sistemática, iniciando-se com a ‘medida do desbalanceamento’ e culminando com a construção de um procedimento sistemático de 'balanceamento'. O Movimento em Torno de um Ponto Fixo é elaborado com algum detalhe. As equações gerais do movimento são estabelecidas em termos dos ângulos de Euler e os problemas do giroscópio e do pião tratados de forma progressiva. Elementos dos conceitos de estabilidade, do ponto de vista físico, são apresentados. O conceito de precessão estacionária é abordado e discutido através de exemplos, incluindo o movimento de um girocompasso simplificado e finalizando com uma discussão a respeito de movimentos mais gerais, onde os conceitos de cone do corpo e cone espacial, generalizações tridimensonais dos conceitos de base e rolante, são introduzidos. Como suplementos decidiu-se incluir alguma discussão a respeito do significado da adoção do referencial terrestre como sistema de referências ‘primário’ e, ao final, elementos do estudo da precessão pseudo-regular, cuja discussão, acredita-se, pode ser bem apreciada por um aluno de graduação em fase algo adiantada ou por um aluno de pós-graduação.

O anexo contém, ainda, a proposição de uma série de exercícios de modelamento e simulação computacional, que são acompanhados de exemplos de análises detalhadas, os quais devem ser trabalhados através de módulos de simulação de sistemas dinâmicos, como por exemplo o módulo SIMULINK do programa MATLAB, ou ainda o módulo SCICOS do programa SCILAB. O primeiro é marca-registrada de MathWorks Inc., e o segundo é de domínio público1, Estes exercícios ilustram série regularmente aplicada na disciplina PME2200, Mecânica B, ministrada na Escola Politécnica a alunos da Grande Área Mecânica (habilitações em Engenharia Mecânica, Mecatrônica, Naval e Produção) e conta com a contribuição de diversos colegas do Departamento de Engenharia Mecânica, cujos nomes são citados no devido tempo. A nosso ver tem-se constituído em diferencial pedagógico, porquanto permitem o exercício do modelamento e da análise de diversos problemas da dinâmica de um C.R., com ganho de percepção física, analítica e conceitual.

Antes porém de adentrarmos a Dinamica do Corpo Rígido, prorpiamente dita, alguns fundamentos de cinemática serão revisitados.

1.1. FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA DE UM C.R.

No estudo da cinemática de um corpo rígido existe um vínculo cinemático, bastante especial, que relaciona a velocidade de dois pontos quaisquer deste corpo. Este vínculo é prontamente derivável da hipótese fundamental de um C.R. De forma geral pode-se dizer que este vínculo permite estabelecer, a cada instante, o campo cinemático (de velocidades e acelerações) que caracteriza um “movimento rígido” 2, e será empregado neste texto

1 (ftp://ftp.inria.fr/INRIA/Projects/Meta2/Scilab/distributions ).

2 i.e., um movimento que satisfaz o vínculo cinemático representado matematicamente pela fórmula fundamental do C.R. (1.2) repetidas vezes, nas diversas deduções e teoremas que seguirão. Através do vínculo cinemático de C.R., basta o conhecimento da velocidade de um ponto pertencente ao corpo em estudo, ponto este arbitrariamente escolhido, e do vetor de rotação deste mesmo corpo, para que todo o campo de velocidades esteja univocamente determinado.

x y

O Pi

Pj vi

Figura 1 C.R. e propriedade fundamental.

Seja )(jiPP- o vetor de posição relativa entre dois pontos quaisquer, jiPP e , de um

d P

onde iv é o vetor de velocidade de um ponto iP do C.R. medida em relação a um referencial abitrariamente escolhido. A relação (1.1) demonstra que a velocidade relativa de dois pontos pertencentes ao mesmo C.R. é perpendicular à reta que os une (ou, seja, perpendicular ao vetor de posição relativa).

De equação (1.1) mostra-se também (ver, p.ex., França e Matsumura, 2001) que existe uma relação unívoca entre os vetores de velocidade de dois pontos de um mesmo C.R. Esta relação é dada por, e constitui a já mencionada fórmula fundamental da cinemática do C.R., ou ainda, vínculo cinemático de um C.R. O vetor W é o vetor de rotação do corpo rígido, único para cada instante considerado. Assim, uso será sistematicamente feito de (1.2).

A derivada de (1.2) em relação ao tempo fornece o campo de aceleração de um C.R.

WWWw

; constante;vji , (1.4) invariante, portanto, com respeito a todo ponto pertencente ao C.R, onde wu é um versor que orienta W. Em palavras, a componente wwuvvE=, do vetor de velocidade de qualquer ponto de um mesmo corpo rígido, na direção de seu vetor de rotação, independe do ponto considerado.

Pode-se mostrar então que, a cada instante, existe um lugar geométrico (L.G.) de pontos que tem o vetor de velocidade paralelo ao vetor de rotação. Este vetor é o mesmo para todos os pontos deste L.G. e tem módulo mínimo. O L.G. é uma reta, denominado "eixo helicoidal instantâneo" e é paralelo ao vetor de rotação.

De fato, seja E um ponto genérico do C.R., pertencente a este L.G., e O um ponto qualquer do mesmo C.R.. Então wWbuvwEv==. Segue então de (1.2) que wwWuvvvOEOE=-Ù+=)( (1.5) e portanto, wwWuvvOEO-=Ù-)(, de onde,

que é a equação vetorial de uma reta paralela a W. Ou seja, a cada instante o movimento geral de um C.R. pode ser interpretado como um "ato de movimento helicoidal", i.e., a combinação de um "ato de movimento translatório, paralelo ao vetor de rotação" com um

Dinâmica dos corpos rígidos 12 "ato de movimento de rotação", em torno do "eixo helicoidal instantâneo", expresso por

(1.6). De (1.4) e (1,5) segue também que Ev é mínimo.

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