Funções de duas ou mais Variáveis

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(Parte 1 de 3)

FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

“Nenhum vento sopra a favor de quem não sabe para onde ir”.

Sêneca

Uma função de uma ou mais variáveis é simbolizada por uma expressão do tipo que significa que w é uma função de

Como ocorre nas funções de uma variável, nas funções de várias variáveis temos: domínio, imagem, gráficos,...

Restringir-nos-emos a funções de duas variáveis, que definiremos abaixo com um maior rigor.

Definição: Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais de um conjunto um único valor real denotado por . O conjunto é o domínio de , e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de , ou seja, .

É comum representarmos a função por onde x, y são as variáveis independentes e z é a variável dependente.

Exemplo: O volume de uma piscina circular que depende do raio e da altura

Exercícios:

1- Dada a função , determine:

a)

b)

c)

Resumo de algumas curvas muito úteis para determinarmos o domínio das funções de várias variáveis.

CIRCUNFERÊNCIA:

Equação reduzida da circunferência:

Onde (a, b) é o centro da circunferência e r o raio da circunferência

Exemplos:

a)

b)

c) 

ELIPSE

  1. Equação reduzida (ou forma padrão) da elipse, onde a origem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eixo maior está no eixo x.

Onde refere-se ao intercepto do eixo x, e refere-se ao intercepto do eixo y, com

  1. Equação reduzida (ou forma padrão) da elipse, onde a origem do sistema de coordenadas é o centro da elipse e o eixo maior está no eixo y.

Onde refere-se ao intercepto do eixo y, e refere-se ao intercepto do eixo x, com

Exemplos:

  1. 

b)

c)

HIPÉRBOLE

  1. Equação reduzida (ou forma padrão) da hipérbole de focos sobre o eixo y e centro na origem.

  1. Equação reduzida (ou forma padrão) da hipérbole de focos sobre o eixo x e centro na origem.

Obs.: O sempre é o valor que está abaixo do termo positivo e representa o eixo que a hipérbole estará.

Exemplos:

  1. 

b)

c)

  1. Determine o domínio das seguintes funções de maneira algébrica e geométrica (esboço do domínio).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Gráfico de função de várias variáveis

Se f for uma função de duas variáveis, definimos o gráfico de  no espaço xyz como sendo o gráfico da equação  onde (x, y) pertencem ao domínio de f.

Exemplos: Esboce o gráfico das seguintes funções:

a)  ( função linear)

  1. 

CURVAS DE NÍVEL

Definição: Dada uma função interceptada por um plano horizontal , todos os pontos da intersecção têm , onde é uma constante e e estão no domínio de . A projeção dessa intersecção sobre o plano é chamada curva de nível de altura . Um conjunto de curvas de nível é chamado de um esboço de contornos ou mapa de contorno de .

Exercícios:

1-Esboce o mapa de contorno de , usando as curvas de nível de altura k = 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

  1. Esboce o mapa de contorno de usando as curvas de nível de altura .

  1. Esboce o mapa de contorno de usando as curvas de nível .

  1. Esboce o mapa de contorno de usando as curvas de nível .

LIMITE E CONTINUIDADE

LIMITES

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