Exercícios resolvidos autovalores

Exercícios resolvidos autovalores

Universidade Federal Rural do Semiárido-UFERSA Departamento de Ciências Exatas e Naturais Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia e Computação Disciplina: Álgebra Linear

Aluno(a):

• Entregar dia 04/1(Turmas manhã e tarde) • Entregar dia 05/1 (Turma noite)

b c

] , encontre:

(a) A matriz da transformação na base α =

(b) O polinômio característico. (c) Os autovalores e autovetores (d) As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.

Solução:

(b) Como o polinômio característico não depende da base escolhida, vamos tomar abase canônica e encontrar a matriz nesta base.

(c) Temos apenas dois autovalores reais(−1 e 1) e dois complexos(i e −i), encontraremos apenas os autovetores reais.

• Autovetores associados a λ = −1 Voltando a matriz obtida no item a), se v = (x,y,z,w) são as coordenadas deste autovetor,

z w x x z w

(d) Tanto a multiplicidade algébrica quanto a geométrica de todos os autovalores é 1.

2. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:(a)

Solução:

z t z t z t

Utilizando a base canônica do P3, {x3,x2,x,1}, vemos que resulta no mesmo polinômio característico, como já era esperado.

4. Enuncie e prove o Teorema do Núcleo e da Imagem. Solução: Tem feito no livro.

5. Seja λ autovalor da transformação linear T. Se v é autovetor associado a λ, mostre que w1 = piv e w2 = pi√ 37v são autovetores de T, associados ao autovalor λ.

Solução: Seja T uma transformação linear e λ é um autovalor dessa transformação. Como v é um autovetor associado a λ, temos que T(v) = λv.

Considere agora o vetor w = kv, k ∈ R, ou seja, w é múltiplo do vetor v. Quando aplicamos a transformação em w, temos:

Daí, vemos que w também é autovetor associado a λ. Sendo k = pi ou k = pi√ 37, obtemos:

6. Mostre que se um operador linear T : V → V admite λ = 0 como autovalor, então T não é inversível.

Solução: Ser inversível é ser injetora e sobrejetora, simultaneamente. Se mostrarmos que a transformação não é injetora(ou não é sobrejetora) ela não será inversível. Assim, se λ = 0 é autovalor, se T(u) = T(v) ⇒ T(u − v) = 0 = 0(u − v), ou seja, u − v é autovetor associado a 0. Por isso u − v 6= 0, ou seja, ker(T) 6= 0, e T não é injetiva.

Solução: Temos:

8. (a) Determine as matrizes das rotações em R2 que admitem autovalores e autovetores. (b) Determine os autovalores e os autovetores destas rotações. Solução:

(a) A matriz de rotação é dada abaixo. [ cosθ −sinθ sinθ cosθ

, substitua na matriz acima e obtenha as matrizes das rotações. Observe que os autovalores são −1 e 1. Descubra você os autovetores(tenter ver geometricamente).

9. Se T : V → V é linear com λ um seu autovalor, mostre que o autoespaço Vλ = {u ∈ V |Tu = λu} é subespaço vetorial de V .

Solução:

• Sejam u,v ∈ Vλ, ou seja, Tu = λu e Tv = λv então:

• Seja u ∈ Vλ e k ∈ R, então:

Logo, Vλ é subespaço vetorial de V .

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