Geometria Descritiva - Apostilas - Engenharia de Minas, Notas de estudo de Engenharia de Minas

Baixe Geometria Descritiva - Apostilas - Engenharia de Minas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia de Minas, somente na Docsity! GEOMETRIA DESCRITIVA A geometria descritiva (também chamada de geometria mongeana ou método mongeano) é um ramo da geometria que tem como objetivo representar objetos de três dimensões em um plano bidimensional. Esse método foi desenvolvido por Gaspard Monge e teve grande impacto no desenvolvimento tecnológico desde sua sistematização. Percebida sua importância, a geometria descritiva foi tratada com atenção e considerada, no início, uma espécie de segredo de estado. Gaspard Monge (Beaune, 10 de maio de 1746 — Paris, 28 de julho de 1818) foi um matemático francês, criador da geometria descritiva. Gaspard Monge (1746 a 1818) Foi um sábio desenhista francês, figura política do final do século XVIII e início do século XIX, um dos fundadores da Escola Politécnica Francesa, criador da Geometria Descritiva e grande teórico da Geometria Analítica, pode ser considerado o pai da Geometria Diferencial de curvas e superfícies do espaço. Monge foi professor da Escola Militar de Meziéres e da Escola Politécnica de Paris. Gaspard Monge aprimorou uma técnica de representação gráfica já iniciada pelos egípcios que representavam apenas: a planta, a elevação e o perfil. Esse interesse em estudar essa técnica resultou de impulsos patrióticos que visavam tirar a França da dependência da indústria estrangeira. Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. A Geometria Descritiva surgiu no século XVII. É uma ciência que estuda os métodos de representação gráfica das figuras espaciais sobre um plano. Resolve problemas como: construção de vistas, obtenção das verdadeiras grandezas de cada face do objeto através de métodos descritivos e também a construção de protótipos do objeto representado. Ponto Pontos O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, nem comprimento e nem largura, ou seja, não tem dimensões, por isso, é chamado de adimensional. Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, etc. Representação do ponto É representado por Letras Maiúsculas do nosso alfabeto. Posições de dois ou mais pontos Dois ou mais pontos podem ser considerados Coplanares, que estão em um mesmo plano ou Colineares, que estão em uma mesma reta. Reta Retas PAGE 18 Uma reta é composta por um conjunto infinito de pontos. É uma entidade que tem apenas comprimento, ou apenas altura ou apenas largura, ou seja, tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. Por um ponto, passam infinitas retas. A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de circunferência cujo raio é infinito. Sempre se escreve o nome da reta com letras minúsculas. Reta: fio esticado, lados de um quadro, etc. Equação A equação geral da reta num espaço euclidiano de 3 dimensões é a seguinte: r: (x,y,z) = (o,p,q)+ t(a,b,c) Onde v=(a,b,c) é um vetor diretor de r. Onde P=(o,p,q) é um ponto de r. Onde Q=(x,y,z) é um ponto qualquer de r. Onde t é o parâmetro que pode tomar como valor qualquer número real. Reta existe somente na ausência de forças eletromagneticas de acordo com a Relatividade. Representação da reta A reta é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto ou por dois pontos com uma seta apontando para os dois lados em cima. Posição de uma Reta r=vertical / s=horizontal / t=inclinada Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou Inclinada(Diagonal). Posição de 2 retas Posição de 2 retas: retas paralelas, concorrentes e coincidentes Duas retas podem ser: • Paralelas: quando não tem nenhum ponto em comum. • Concorrentes: Quando tem apenas um ponto em comum. • Coincidentes: Quando tem todos os pontos em comum. Semi-reta Semi reta é uma parte da reta que tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto de origem. Semi Reta Segmento de reta Segmento de Reta é uma parte da reta que tem começo e fim, é determinado por dois pontos colineares. É representado por dois pontos e por 1 traço reto em cima dele. Dois ou mais segmentos de reta podem ser: • Consecutivos: Tem apenas um ponto em comum • Colineares: Estão na mesma reta • Adjacentes: Tem apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são Consecutivos e Colineares ao mesmo tempo. PAGE 18 No Brasil, a ABNT - Associação Brasileira de Normas técnicas admite a representação tanto no 1° diedro, como no 3° diedro, sendo a mais utilizada a do 1°diedro. A representação no 3° diedro é comum em indústrias estrangeiras, principalmente americanas e nos vários softwares de desenho disponíveis no mercado. A Geometria Descritiva, por meio do Método Mongeano, representa objetos do espaço por suas Épuras. Veja os exemplos dessa representação no 1° e no 3° diedro e compare as diferenças da projeção em suas respectivas épuras. DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um horizontal, um vertical. LINHA DE TERRA - reta determinada pela interseção dos planos Horizontal e Vertical de projeção. REBATIMENTO – rotação do PH em 900 para obtenção da épura. ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, por suas projeções. LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga as projeções horizontais e verticais de pontos. COTA – distância de um ponto ao PH. AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV. VERDADEIRA GRANDEZA - V.G. - diz-se que uma projeção está em V.G. quando o objeto está paralelo ao plano de projeção, projetando o mesmo com sua real superfície. Representação no espaço e em épura de um prisma retangular reto, no 1° diedro, para mostrar as posições de retas e planos em relação aos planos de projeção. As retas serão representadas por um de seus segmentos, que podem ser arestas das faces do sólido ou ligação de dois vértices não consecutivos do mesmo; e os planos, por faces do sólido. Para que a representação fique mais clara, é necessário que se dê nomes aos elementos da projeção e do objeto a ser projetado, para isso adotaremos as seguintes CONVENÇÕES PARA NOTAÇÃO: Para a simplificação da representação, os semi-planos serão considerados planos. AGORA, VAMOS ESTUDAR CADA CASO SEPARADAMENTE. Então, mãos à obra, iniciando pelas ARESTAS. Começando pela aresta AB. Observe a representação NO ESPAÇO: PAGE 18 EM ÉPURA: A reta representada pelo segmento AB é chamada reta FRONTO-HORIZONTAL. Características da reta Fronto-horizontal: • O segmento AB tem mesma cota – distância do ponto ao PH - em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. • Tem também, mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - em todos os seus pontos e, portanto é paralela ao PV. • Sendo paralela ao PV e PH também o será à LT. • Por ser paralela ao PH, sua projeção horizontal está em V.G. – Verdadeira Grandeza • Por ser paralela ao PV, sua projeção vertical também estará em V.G. EXERCÍCIO 1 (reta fronto-horizontal) Pegue uma folha de papel e identifique quais os outros segmentos que também são Fronto- horizontais. Represente em épura cada um deles. Exercício 1 - Confira as respostas (reta fronto-horizontal): Segmento EF Segmento CD Segmento GH Agora, vamos manter o mesmo ponto A e tomar o segmento AC. Observe a representação NO ESPAÇO: EM ÉPURA: A reta representada pelo segmento AC é denominada reta HORIZONTAL ou reta de NÍVEL. Características da reta Horizontal: • O segmento AC tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. • Porém tem afastamentos diferentes em seus pontos, é oblíquo ao PV. • Por ser paralela ao PH porém oblíquo ao PV, sua projeção horizontal está em V.G. e é oblíqua à LT. • Sendo oblíquo ao PV e paralelo ao PH, sua projeção vertical é paralela à LT. EXERCÍCIO 2 (reta horizontal ou reta de nível) Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também são horizontais. Represente em épura cada um deles. PAGE 18 Exercício 2 - Confira as respostas (reta horizontal ou reta de nível): Segmento EG Segmento DB Segmento FH Ainda mantendo o mesmo ponto A, mas tomando o segmento AD. Observe a representação no espaço: Observe a representação NO ESPAÇO: EM ÉPURA: A reta representada pelo segmento AD é denominada reta de TOPO. Características da reta de Topo: • O segmento AD tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela ao PH. • Porém tem afastamentos diferentes em seus pontos e, é perpendicular ao PV. • Por ser paralela ao PH, sua projeção horizontal está em V.G. e é perpendicular à LT. • Sendo perpendicular ao PV, sua projeção vertical se transformará em um ponto. EXERCÍCIO 3 (reta de topo) Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também são de Topo. Represente em épura cada um deles. Exercício 3 - Confira as respostas (reta de topo): Segmento BC PAGE 18 Segmento EB Segmento HC Agora, vamos tomar o segmento AG. Observe a representação NO ESPAÇO: EM ÉPURA: A reta representada por este segmento é uma reta GENÉRICA ou QUALQUER. Características da reta Qualquer: • O segmento AG é oblíquo em relação ao PV e ao PH. • Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento. • Nenhuma de suas projeções está em V.G. • As projeções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT. EXERCÍCIO 6 (reta qualquer) Em uma folha de papel identifique quais os outros segmentos que também representam uma reta Genérica ou Qualquer. Represente em épura cada um deles. Exercício 6 - Confira as respostas (reta qualquer): Segmento EC PAGE 18 Segmento HB Segmento DF Finalmente, o segmento AH Observe a representação NO ESPAÇO: EM ÉPURA: A reta representada por este segmento é uma reta de PERFIL. Características da reta de Perfil: • O segmento AH é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH, porém é paralelo ao Plano Auxiliar de Projeção ( 3º Plano). • As cota e os afastamentos são diferentes ao longo do segmento • Suas projeções horizontal e vertical não estão em V.G., porém sua projeção no 3º Plano sim. • As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. • No espaço, ela pode ser concorrente à LT. EXERCÍCIO 7 (reta de perfil) Em uma folha de papel, identifique os outros segmentos pertencentes ao prisma que também são de Perfil. Represente em épura cada um deles. Exercício 7 - Confira as respostas (reta de perfil): Segmento BG Segmento CF Segmento DE Com esses exemplos, foram representadas no espaço e em épura, uma reta de cada tipo possível, contidas no sólido, de acordo com suas posições em relação ao PH e ao PV. Agora vamos ver as faces do sólido: PAGE 18 Cada face determina um plano, ao qual ela pertence. Os planos determinados pelas faces do sólido do nosso exemplo são chamados PLANOS PROJETANTES. Planos Projetantes são planos perpendiculares a pelo menos um dos Planos de Projeção. A projeção de faces contidas em Planos Projetantes é reduzida a um segmento de reta no Plano de Projeção ao qual é perpendicular. E, se for paralela ao outro Plano de Projeção, será projetada em V.G. no plano ao qual é paralela. PLANOS CONSIDERADOS NO SÓLIDO. Plano determinado pela face ABCD: No espaço e em Épura Este plano é denominado PLANO FRONTAL O plano Frontal é Perpendicular em relação ao PH (portanto, é Projetante em relação ao PH) e paralelo ao PV. Sua projeção (plano frontal): • Será , uma reta no PH e, • Estará em V.G. no PV. • Como o plano alfa é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PH coincidente com alfa1, que é uma reta. RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD. Retas AB e CD - FRONTO-HORIZONTAL Retas AD e BC - VERTICAL Retas AC e BD - FRONTAL PLANO HORIZONTAL No espaço e em Épura Este plano é denominado PLANO HORIZONTAL O plano HORIZONTAL é Perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e paralelo ao PH. Sua projeção (plano horizontal): • Será uma reta no PV. • Estará em V.G. no PH. • Como o plano alfa é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV coincidente com (alfa1), que é uma reta. RETAS PERTENCENTES AO PLANO ABCD. Retas AB e CD - FRONTO-HORIZONTAL Retas AD e BC - TOPO Retas AC e BD - HORIZONTAL PLANO DE PERFIL No espaço e em Épura PAGE 18