Aula3-matriz inversa e elementar

Aula3-matriz inversa e elementar

ALGEBRA LINEAR (AULA3) PROF: PAULO DANTAS SESION JUNIOR

Escola de Ciências e Tecnologia

OBS1: Não confundir o expoente em com o expoente de um número real a ≠ 0.

OBS2: Nos cálculos verifique sempre se os dois produtos AC e CA são realmente a identidade I.

Definição: é uma matriz quadrada E obtida a partir da matriz identidade I mediante uma única operação elementar com as linhas de I.

Exemplos: dizemos que E é do tipo I, I ou II .

E Tipo I-Permutação de linhas.

Tipo I-Multiplicar uma linha

por um escalar

Tipo I-somar uma linha a outra multiplicada por um

Teorema 3: Se uma operação elementar é feita nas linhas de uma matriz A, o resultado é a matriz EA onde E é a matriz elementar criada mediante execução da mesma operação com as linhas de I.

Exemplo: considere as matrizes elementares:

MATRIZ ELEMENTAR se uma matriz

for multiplicada à esquerda por essas matrizes elementares, os resultados serão:

zyx cba A cba zyx zyx cba AE

zyx cba zyx cba AE zyx zcybxa zyx

OBS: Toda matriz elementar é inversível, e é a matriz elementar obtida a partir de I pela operação inversa à que produziu de I.

E Exemplo: Dadas as matrizes elementares:

escreva suas inversas.

Solução:

comEEIEEEE

Sabemos que no método de eliminação de Gauss, aplicamos uma série de k operações elementares em uma matriz qualquer A levando esta à forma escalonada. O Teorema 3 afirma que este método é equivalente a multiplicar (pela esquerda) A por k matrizes elementares:

Portanto

12 onde EEEUUAAk

OBS: U é sempre inversível pois, esta é o produto de k matrizes elementares que por sua vez admitem sempre uma inversa (ver observação anterior).

e consequentemente

De posse dos dois resultados anteriores podemos construir a seguinte representação matricial:

Teorema 4: Se uma matriz quadrada A for levada a matriz identidade I por operações elementares em suas linhas então A é inversível.

Demonstração: Suponha que durante o processo de escalonamento façamos k operações nas linhas de A até chegarmos a I. Então pelas afirmações anteriores, teremos:

Usamos a definição de matriz inversa.

O teorema 4 nos ajuda a reescrever a relação matricial (**) numa forma mais conveniente;

A relação matricial acima nos fornece uma maneira prática para obter a inversa de qualquer matriz A. Para isso devemos seguir os três passos abaixo.

1) Construa a matriz ampliada formada pala matriz A e pela matriz identidade de mesma ordem colocada logo a direita de A. 2) Aplique operações elementares nas linhas da matriz ampliada até levar A em I. 3) A matriz à direita de I na nova matriz ampliada deverá ser a inversa de A.

MATRIZ ELEMENTAR Exemplo: Encontre a inversa de:

Solução: Vamos colocar a matriz identidade ao lado direito de A e aplicar a eliminação de Gauss-Jordan na matriz ampliada levando A → I e consequentementeI → . 1

Assim pela regra (1) teremos:

OBS: Se no processo descrito acima não podermos levar A em I então dizemos que A não possui inversa (na prática encontramos alguma linha nula em A).

MATRIZ ELEMENTAR Exercício de Sala: Encontre a inversa de A se existir.

Voltemos a equação matricial que representa um sistema linear.

BAX Se A é quadrada e inversível então podemos

multiplicar a equação por pela esquerda e isolar o vetor X.

Assim teremos BAX

Solução do sistema.

OBS: Se A é inversível então a solução X é única para cada vetor B!

MATRIZ INVERSA E SISTEMAS LINEARES Exemplo: Encontre a solução de cada sistema abaixo:

Solução: Podemos verificar que a matriz dos coeficientes é a mesma para ambos os sistemas e são da forma:

mas

Encontramos este resultado no exemplo anterior

Assim, podemos encontrar e usando o resultado já comentado que leva em conta o fato de A ser inversível.

OBS: Lembre-se que só podemos usar esse método se A for inversível

Uma outra maneira seria a tradicional ou seja, como a matriz dos coeficientes A é a mesma para ambos os sistemas, construímos a matriz aumentada formada por esta matriz A e os vetores colunas e na forma:

e levamos esta à forma escalonada reduzida, assim (tentem fazer agora!!);

X onde

OBS: Este método não requer que A seja inversível e pode ser usado para qualquer número de sistemas em que a matriz dos coeficientes seja comum.

Terminamos a discussão apresentando um conjunto de propriedades equivalentes sobre inversibilidade.

Para uma matriz quadra A, as seguintes condições são equivalentes:

1) A é inversível.

2) O sistema homogêneo AX = 0 admite apenas a solução trivial X = 0.

3) A pode se reduzida a I por operações elementares com as linhas. 4) O sistema AX = B admite uma solução única X para cada vetor B.

a) b)

Resolva simultaneamente os sistemas abaixo:

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