Matematica financeira regular 3

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AULA 03 – DESCONTO SIMPLES

Olá, amigos!

Peço desculpas por não ter postado esta aula no dia de ontem. Farei o possível para evitar novos atrasos. Ok? Iniciemos comentando as questões que ficaram pendentes do dever de casa passado. Vamos a elas.

Dever de Casa

12. (Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. a) 4,70% d) 4,8% b) 4,75% e) 4,93% c) 4,80%

Sol.: Conforme vimos na aula anterior, só iremos considerar a modalidade Juros Simples Exatos quando a questão o disser expressamente. E é o caso desta questão! Lembramos também que a unidade a ser adotada nos Juros Exatos é a diária. Assim, usaremos taxa diária e tempo em dias.

Por fim, a particularidade que caracteriza essa modalidade excepcional de Juros Simples é que a contagem dos dias se fará levando-se em consideração o nosso ano calendário convencional.

Passemos logo com a contagem dos dias. Já sabemos fazer isso, não é verdade? Teremos:

Fevereiro 28 dias Æ 18 dias

Março 31 dias Æ 31 dias Abril 30 dias Æ 24 dias Total: 73 dias

O tempo já está em dias. Agora, precisamos que a taxa também seja convertida para a unidade diária. Usando o conceito de Taxas Proporcionais, faremos:

Æ 24% ao ano = (24/365)% ao dia

Pois bem! Vemos que a pergunta do enunciado foi feita naquele modelo: qual o valor de um elemento como porcentagem deste outro? Lembrados da aula passada? Vimos que, nesta ocasião, adotaremos para este outro (o elemento de referência) o valor 100 (cem). Enfim, Aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, e trabalhando com os elementos Capital e Juros, teremos:

Æ ni

Mas a questão não quer saber apenas Juros. Ela quer saber Juros como porcentagem do

Capital. Foi para isso que adotamos C=100. Para podermos agora, simplesmente, acrescentarmos o sinal de porcentagem ao valor encontrado dos Juros. Teremos: Æ J=4,8% Æ Resposta!

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Observação: alguns valores são freqüentes em questões de Juros Exatos. Entre eles: 73, 146, 219 e 292. Convém memorizá-los! Por quê? Porque são valores que vão cortar com 365. Temos que:

73=Æ
Æ
Æ

Sabendo disso, poderemos economizar algum tempo nas contas! Não é verdade? É isso!

13. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.0,0 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$ 705,0 d) R$ 720,0 b) R$ 725,0 e) R$ 735,0 c) R$ 715,0

Sol.: Mais uma de Juros Exatos. A unidade comum, nós já sabemos, é a diária. Contando os dias da aplicação, teremos:

Abril 30 dias Æ 18 dias Maio 31 dias Æ 31 dias Junho 30 dias Æ 30 dias Julho 31 dias Æ 31 dias Agosto 31 dias Æ 31 dias

Setembro 30 dias Æ 05 dias Total: 146 dias

Viram a contagem de dias no que deu? Já viram esse valor (146) em algum lugar? Corta com 365, e fica 2/5. Trabalhando para alterar a unidade da taxa, teremos:

Æ 18% ao ano = (18/365)% ao dia Aplicando o esquema ilustrativo dos juros simples, faremos:

Æ ni

Æ J=720,0 Æ Resposta! w.pontodosconcursos.com.br 3 3

15. (AFRF-203) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.0,0 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês. a) R$ 1.80,0 d) R$ 12.80,0 b) R$ 12.06,0 e) R$ 13.486,0 c) R$ 12.20,0

Sol.: Desenhando essa questão, veremos uma seqüência de parcelas de mesmo valor, em intervalos de tempo iguais e sujeitas a uma taxa de juros simples! Se bem estivermos recordados, essas três características indicam que estamos diante de uma questão denorex!

Parece questão de Rendas Certas, mas é de Juros Simples! Façamos o desenho. Teremos: X

10001000 1000 1000

Daí, aplicaremos o artifício aprendido na aula passada. Numerando as parcelas de mil, a começar por um zero na primeira delas, e seguindo adiante, teremos:

01 2 3 4 5 6 7 8 9
10001000 1000 1000

A última parcela é a de número 9. Dividindo 9 por 2, encontramos 4,5. Procuraremos essa data no desenho e nela subiremos uma seta, a qual receberá o valor correspondente ao somatório de todas as parcelas iguais. Teremos: X

10.0,
01 2 3 4 5 6 7 8 9
10001000 1000 1000

Esta seta de R$10.0 irá substituir todas as parcelas de R$10. Nosso novo desenho da questão será o seguinte:

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10.0,

Aqui já temos taxa (4% ao mês) e tempo (4,5 meses) na mesma unidade. Daí, resta aplicarmos o esquema ilustrativo dos Juros Simples. Teremos:

Æ ni

É isso! Passemos agora ao assunto da aula de hoje: Desconto Simples!

Desconto Simples

Operação de Desconto é aquela em que existe um valor monetário conhecido numa data futura, e que se deseja saber o quanto ele representará se for projetado para uma data anterior.

Um fato da vida cotidiana que exemplifica bem uma operação de Desconto é aquele em que alguém possui uma dívida para pagar numa data futura, mas resolve antecipar seu pagamento! Ora, em decorrência desta antecipação o devedor irá pagar um valor necessariamente menor do que era devido na data futura.

Isto é uma operação de Desconto! E seus elementos são os seguintes:

Æ Valor Nominal (N): corresponde ao valor monetário conhecido na data futura. Normalmente, o Valor Nominal é representado por um título, que consiste em um documento, um papel, que indicará a quantia devida numa data posterior. Pode ser também chamado de Valor de Face.

Æ Valor Atual (A): é o quanto vale o Nominal quando projetado para uma data anterior. São sinônimos de Valor Atual os seguintes: Valor Líquido ou Valor Descontado!

Æ Tempo (n): é a distância, na linha do tempo, entre o valor nominal e o valor atual. Pode ser traduzido como o tempo de antecipação no pagamento do título.

Æ Desconto (D): é a diferença entre o valor devido na data futura (Nominal) e aquele que será pago hoje (Atual). Assim, se devíamos pagar R$1.0 daqui a três meses, e resolvemos antecipar o pagamento para hoje, pagaremos, suponhamos, apenas R$90,0. Essa diferença (R$10,0) é o que chamaremos de Desconto. Surge, assim, a primeira equação deste assunto, a qual será válida sempre, para toda e qualquer operação de Desconto:

Æ Taxa (i): é o elemento da mágica, que fará com que o Nominal se reduza, quando projetado para uma data anterior. Sabemos que a taxa é um valor percentual, seguido de uma unidade de tempo.

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Ilustrativamente, teremos que uma operação de Desconto é sempre formada por dois lados. Teremos:

A

Assim como no estudo dos Juros, também o Desconto poderá estar inserido no Regime

Simples ou no Regime Composto! Daí, nossa primeira preocupação, antes de iniciarmos a resolução de uma questão de Desconto será a de identificarmos o regime (se simples ou se composto)!

Identificarmos a operação de Desconto Simples, basicamente, de duas formas: 1º) Quando a questão usa, expressamente, a palavra simples;

2º) Quando o enunciado silencia acerca do regime, nem dizendo que é simples, e nem que é composto.

Uma segunda preocupação prévia, na questão de Desconto, será a de identificar a sua modalidade! Existem dois tipos de Desconto Simples:

Æ Desconto Simples por Dentro ou Racional; Æ Desconto Simples por Fora ou Comercial.

Em suma: não basta saber que o enunciado é de uma questão de Desconto. É preciso saber também o seu regime e a sua modalidade.

Somente após essas duas constatações é que se pode dar início à resolução da questão de Desconto! Ficou claro isso?

Precisamos agora aprender como se trabalha com o Desconto por Dentro e com o

Desconto por Fora. Esses tipos de Desconto diferenciam-se porque cada um deles possui uma referência diferente: o elemento de referência no Desconto por Dentro é o Atual; e no Desconto por Fora é o Nominal.

Assim, faremos um trato: daqui por diante, teremos que:

Af
d

Æ O lado do Desconto por Dentro é o lado do Atual; e Æ O lado do Desconto por Fora é o lado do Nominal. Para não esquecermos mais esse trato, segue o desenho: N

Da mesma forma que fizemos no estudo dos Juros, também aprenderemos as equações do Desconto Simples por meio de esquemas ilustrativos! Na operação de Juros havia apenas um, mas no Desconto, como são duas modalidades, são também dois esquemas ilustrativos!

Vamos aprender a construí-los agora mesmo:

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A100+i.n
100

# Desconto Simples por Dentro: N D i.n

Começamos esse esquema acima colocando os seguintes três elementos do Desconto no desenho: Atual A (no início), Desconto D (no meio, somente para efeitos didáticos) e Nominal N (no final). Daí, lembraremos do trato: qual é o lado do Desconto por Dentro? É o lado do Atual. Então diremos que o Atual é representado por 100.

O Desconto por Dentro será sempre representado por taxa vezes tempo (i.n).

E o Nominal, como é sempre maior que o Atual, será representado por 100 mais alguma coisa. E essa alguma coisa é taxa vezes tempo (i.n).

Complementando esse desenho, passaremos os traços divisores e criaremos as frações que irão compor as equações do Desconto Simples por Dentro, da mesma forma que o fizemos no estudo dos Juros. Cada equação será formada com base na igualdade das frações de dois elementos quaisquer. Teremos:

Æ
=Æ
.100100+=Æ

Passemos ao Desconto por Fora.

A100
100-i.n

# Desconto Simples por Fora: N

Df i.n

O raciocínio para memorizarmos esse esquema ilustrativo acima começa pelo nosso trato: o lado do Desconto por Fora é o lado do Nominal. Logo, Nominal será representado por 100.

Desconto por Fora será, da mesma forma que o Desconto por Dentro, representado pelo produto taxa vezes tempo. Enfim, o Atual, que é sempre menor que o Nominal, será representado por 100 menos alguma coisa; e essa alguma coisa é taxa vezes tempo.

De posse do esquema ilustrativo, igualaremos as frações correspondentes a dois elementos quaisquer e estaremos diante de uma equação do Desconto Simples por Fora. Teremos:

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Æ
=Æ
.100100−=Æ

# Exigência das Fórmulas de Desconto:

Essa exigência se aplica a todas as equações acima elencadas, oriundas dos dois esquemas ilustrativos de Desconto.

Creio que somos todos capazes de adivinhar essa exigência: taxa e tempo devem estar na mesma unidade! Trata-se da exigência universal da matemática financeira!

Assim, no intuito de colocar taxa e tempo na mesma unidade, se tivermos que alterar a unidade da taxa de Desconto Simples, faremos isso utilizando o conceito (estudado na aula passada) de Taxas Proporcionais!

Além disso, convém relembrarmos que vamos expressar a taxa, na equação de Desconto

Simples, sob a notação de taxa percentual. Se a taxa for 5%, entra como 5 na equação; se a taxa for 10%, entra como 10; e assim por diante!

Se contarmos quantas equações podem ser utilizadas para resolver questões de

Desconto Simples por Dentro, e quantas podem ser utilizadas para resolver questões de Desconto Simples por Fora, a resposta será sempre 4 (quatro): três que nasceram do esquema ilustrativo e mais a equação curinga do Desconto: D=N-A. Esta, conforme dito anteriormente, é sempre válida, seja qual for o regime ou a modalidade do desconto adotado.

# Juros Simples x Desconto Simples Racional (Por Dentro): Se compararmos os esquemas ilustrativos destas duas operações, teremos:

A
100100+i.n

Dd i.n

C
100100+i.n

M J i.n

Um exame atencioso nos desenhos acima nos conduzirá à seguinte conclusão: operações de Juros Simples e de Desconto Simples por Dentro são operações irmãs! São operações equivalentes! A rigor, só se modifica a nomenclatura dos elementos!

Ademais, na operação de Juros, o valor conhecido é o Capital, que será projetado para uma data futura. E na operação de Desconto, conhece-se o Valor Nominal, que é projetado para uma data anterior!

A informação que deve ser guardada é esta: o tipo de Desconto irmão dos Juros Simples é o Desconto Simples por Dentro!

# Modalidade Indefinida de Desconto:

Pois bem! Se o enunciado não disser nada sobre o regime, se simples ou se composto, já sabemos que iremos adotar o Desconto Simples.

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Mas se a questão não disser nada a respeito da modalidade do Desconto, se por dentro ou por fora? Qual adotaremos? A regra é a seguinte: iremos reler o enunciado, buscando ver o que é dito a respeito da Taxa.

Se o enunciado disser que, naquela operação de Desconto, a taxa é de juros, então nos lembraremos de qual é o desconto irmão dos Juros! Qual é? É o desconto por dentro. Logo, nesse caso, adotaremos o Desconto por Dentro.

Contrariamente, se o enunciado não falar qual é o tipo de desconto, e também não falar expressamente que a taxa é taxa de juros, então trabalharemos com o Desconto por Fora.

Compreendido isso? Agora vamos resolver as primeiras questões de Desconto. Adiante!

16. Um título de R$1000, vencível em seis meses, será resgatado hoje. Considerando uma taxa de juros de 6% ao trimestre, obtenha o valor descontado:

Sol.: O enunciado trata de uma antecipação no pagamento de um título, ou seja, numa operação de Desconto! A leitura dessa questão não nos revela expressamente nem o regime e nem a modalidade do Desconto. Assim, adotaremos o Regime Simples. Certo? Claro!

E a respeito da modalidade, o que faremos? Leremos novamente o enunciado. E ele disse que a taxa é taxa de juros!

Concluímos: estamos diante do Desconto Simples por Dentro (ou Racional).

A100+i.n
100

Nosso esquema ilustrativo será o seguinte: N D i.n

Trabalhando com os elementos Valor Nominal e Valor Atual (que é também chamado de

Valor Descontado), teremos: ni

Ocorre que só poderemos lançar os dados na equação acima se taxa e tempo estiverem na mesma unidade. Estão? Ainda não! Temos uma taxa trimestral (6% ao trimestre) e o tempo em meses (6 meses). Assim, basta dizermos que 6 meses é o mesmo que 2 trimestres. E pronto! Cumprimos a exigência universal e estamos aptos a aplicar a equação. Teremos:

Æ ni

Suponhamos que as opções de resposta para essa questão fossem os seguintes: a) 728,34 b) 775,98 c) 845,32 d) 892,86 e)935,21

Percebam que a resposta da questão é o resultado da divisão que está em destaque acima (100.0/112). Sempre que isso ocorrer, usaremos um truque: dividiremos com um olho na conta, e o outro olho nas opções de resposta! Faremos assim:

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100.0112

Cento e doze (112) é formado por três algarismos. Se tomarmos os três primeiros dos 100.0 teremos apenas 100. É possível dividir 100 por 112? Não! Daí, desce a próxima casa (dos 100.0) e agora nossa divisão será 10 dividido por 112. Podemos realizar essa divisão? Sim!

Qual o primeiro algarismo que caberá no quociente? Para responder a esta pergunta, olharemos para as alternativas de resposta! Examinaremos qual é o primeiro algarismo de cada uma delas. Vejamos:

São três possibilidades: 7, 8 ou 9. Vemos que 9 é demais, uma vez 9x112=1008. Caberá, portanto, um 8. Teremos:

100000112
8968

Feito isso, vemos que só há duas opções no páreo (as alternativas C e D, que começam por 8). Agora, olharemos para onde? Para o segundo algarismo destas duas respostas. Teremos:

Depois que descer mais uma casa do 100.0 (outro zero), nossa divisão agora é 1040 por 112. Veremos que caberá um 9 no quociente, uma vez que 9x112=1.008. Assim, teremos:

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