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A RETA

EQUAÇÃO VETORIAL e EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

1º) No plano ( IR2 )

Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto e tem a direção do vetor não nulo .

Estes elementos são suficientes para determinar a reta “r” e, portanto, também são suficientes para equacioná-la como veremos a seguir.

Seja um ponto qualquer de “r”. ( é ponto variável sobre “r”).

Por construção qualquer vetor é paralelo ao vetor . Assim, para cada ponto o vetor é proporcional ao vetor , onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real chamada parâmetro. Assim,

ou

ou

ou

Equação Vetorial da Reta “r”

Daí,

Equações Paramétricas da Reta “r”

Por exemplo:

A reta “r” que passa pelo ponto e tem a direção do vetor tem equação vetorial

Atribuindo valores reais para o parâmetro obtemos pontos de da reta “r”:

2º) No espaço ( IR3 )

O desenvolvimento é análogo mudando apenas o fato de que os pontos possuem uma 3ª coordenada e os vetores uma 3ª componente.

Consideremos a reta “r”determinada por:

  • o ponto

  • o vetor não nulo

Sendo um ponto qualquer (variável) de “r” temos:

ou

ou

Equação Vetorial da Reta “r”

Daí,

Equações Paramétricas da Reta “r”

Reta Definida por Dois Pontos 

A reta definida por dois pontos A e B, tem a direção do vetor .

Exemplo:

A reta r, determinada pelos pontos A(1, -2, -3) e B(3, 1 , -4), tem a direção do vetor = = (2, 3, -1)

E as equações paramétricas

com direção do vetor e passa pelo ponto A

Analogamente

com direção do vetor e passa pelo ponto B

EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

Das equações paramétricas, supondo abc  0, vem:

Logo

Exemplo

As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, -5) e tem a direção do vetor = (2, 2, -1) são:

EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA

Às equações simétricas da reta

Pode-se dar outra forma, isolando as variáveis y e z e expressando em função de x

Assim

Fazendo: Fazendo:

Vem: Vem:

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