Regras dos Algarismos significativos

Regras dos Algarismos significativos

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1) Arredondamento: O arredondamento dos números segue as seguintes regras:

1ª) Se o algarismo decimal seguinte a ordem 1n− , ou seja, da ordem n, for menor que 5, mantemos o algarismo da ordem 1.n−

Exemplo: Desejamos arredondar 1,743 para duas casas decimais.

2ª) Se o algarismo decimal seguinte a ordem 1n− for maior ou igual que 5, acrescentamos uma unidade ao algarismo da ordem 1n−.

Exemplo: Desejamos arredondar 1,745 para duas casas decimais.

Exemplo: Desejamos arredondar 1,746 para duas casas decimais. 1,7461,75=

2) Algarismos Significativos: Os algarismos significativos baseiam-se nas seguintes regras:

1ª) Os algarismos significativos são todos os entre 1 e 9 (inclusive). Exemplos: 53,24 tem 4 algarismos significativos; 1238,74 tem 6 algarismos significativos.

2ª) O zero é um algarismo significativo quando se encontra entre dois algarismos diferentes de zero. Exemplos:

303 tem 3 algarismos significativos; 20034 tem 5 algarismos significativos.

4ª) Devemos evitar o uso de zeros à esquerda dos algarismos significativos a fim de obter o valor correto, pois isto dificulta a leitura, e os zeros à esquerda do primeiro algarismo diferente de zero não constituem algarismos significativos. Também devemos evitar a utilização de zeros à direita dos algarismos significativos para obter a potência de dez correta. Esta é uma prática ruim, uma vez que, no mais das vezes, aumenta, indevidamente, o número de algarismos significativos. Só devemos utilizar zeros à direita dos algarismos diferentes de zero, quando os zeros forem realmente significativos. Exemplos:

1,0 tem 4 algarismos significativos; 3,340 tem 5 algarismos significativos;

712360000(com quatro significativos)1,23610=×e supôs-se aqui que os zeros à direita não são significativos; se eles fossem o valor deveria ser expresso sob a forma 71,236000010×.

53 tem 2 algarismos significativos; 35300(com dois significativos)5,310=×;

5ª) A posição da vírgula não influi no número de algarismos significativos. Exemplo: a medida 0,0720 tem 3 algarismos significativos, podendo ter a posição da vírgula alterada de várias formas usando uma potência de 10 adequada e sem alterar o seu número de algarismos significativos, conforme aparece a seguir:

Observamos que o número de algarismos significativos é sempre 3, independente da forma que o número foi escrito e da posição da vírgula. Outro ponto notável é que o valor da medida é sempre o mesmo, uma vez que: 0,0720 m = 0,720 dm = 7,20 cm = 72,0 m

6ª) O número de algarismos significativos de uma grandeza medida ou valor calculado é uma indicação da incerteza: mais algarismos significativos, menor a incerteza associada ao valor. Exemplos:

Se for apresentada uma temperatura de 32°C, com 2 algarismos significativos, está indicado que a temperatura está entre 31,5° e 32,5°C, ou seja, (32 ± 0,5)ºC, tendo este valor precisão até a casa das unidades e excursionando, incertamente, pela casa dos décimos.

Se a temperatura for apresentada como 32,5°C, com 3 algarismos significati-vos, significa que ela está entre 32,45°C e 32,55°C

7ª) Esta última regra aplica-se tão somente a valores medidos ou calculados. Já os números inteiros que descrevem o número de objetos discretos de distribuições finitas são exatos, conforme já foi antecipado na seção 1.5, ou seja, possuem precisão infinita, isto é, número infinito de algarismos significativos. Mais ainda: os valores finitos, inteiros e exatos são, em realidade, números decimais com parte inteira não nula e número infinito de zeros. Exemplos:

7 dias = 7,0dias;

Talvez devesse ter sido instituída pelos cientistas aplicados, uma regra para diferenciar um valor medido e inteiro, com precisão até a casa das unidades, e um valor in-teiro e exato, até porque eles são bem diferentes. O primeiro, na realidade, é um número decimal, cujo valor incerto excursiona até a casa dos décimos, e o segundo, conforme já explicado, é equivalente a um número decimal, também com parte inteira não nula e número infinito de zeros na parte fracionária. Uma sugestão é:

Valor inteiro e exato: 32°C

Valor medido, inteiro e com precisão na casa das unidades: 32,°C; apenas com uma vírgula após o número, que é bem mais simples do que escrever (32 ± 0,5)ºC. Entretanto, embora seja bem mais simples, este seria o único trabalho do mundo a empregá-la, o que poderia talvez confundir o estudante ao serem consultadas outras obras.

8ª) Os números inteiros que fazem parte de uma expressão física também possuem precisão infinita. Exemplos:

Na equação 2,Crpi = que nos permite calcular o perímetro da circunferência, o número 2 vale exatamente 2, ou seja, possui uma precisão infinita, uma vez que, por defi-nição, o diâmetro é o dobro do raio. Logo, podemos supor que tal fator possua um número infinito de algarismos significativos (2,0...).

Na equação de Torricelli, o fator 2 também vale exatamente 2, mas podemos supor que tal número possua um número infinito de algarismos significativos (2,0...). O mesmo é válido para o expoente 2 em2ve 20v.

O enunciado da 3ª lei de Kepler é:

“Os quadrados dos períodos dos planetas nos seus movimentos em torno do Sol são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas trajetórias elípticas.”

Sob forma matemática,

em que

é uma constante de proporcionalidade. Os expoentes de 2Te 3atambém são

exatos e têm precisões infinitas.

9ª) As constantes numéricas como pi = 3,141592; e = 2,71828... ; 21,4142...= , que

aparecem nas fórmulas, como por exemplo na equação do período do pêndulo,

são tidas como exatas, pois são sempre melhor conhecidos que as grandezas físicas. Por isso, quando formos efetuar um cálculo com maior precisão, devemos tomá-las com um algarismo significativo a mais que o fator com menor número de algarismos significa-tivos, o que vai aumentar a sua precisão e diminuir a propagação de erros, conforme será analisado a posteriori.

3) Operações com Algarismos significativos: 3.1) Soma e Subtração:

O número de casas decimais que figuram no total de uma soma de n parcelas é igual ao da parcela que contém o menor número de casa decimais, ou seja, daquela que tem menor precisão. Podemos utilizar diretamente a calculadora, descartar os algarismos que não são significativos e proceder a um arredondamento se necessário.

Exemplo: Desejamos calcular a soma em que m m m m

Utilizando diretamente a calculador, obtemos: 326,893 kgm= mas como a precisão não pode exceder a da parcela de menor precisão, chegamos a: 326,9 kgm=

Em uma subtração o resultado tem o mesmo número de casas decimais que o operando menos preciso dentre o minuendo e o subtraendo. Podemos também utilizar diretamente a calculadora, descartar os algarismos que não são significativos e proceder a um arredondamento se necessário.

Exemplo: Desejamos efeuar a subtração 12'P=− em que:

3.2) Multiplicação: A multplicação deve ser efetuada de acordo com as seguintes regras:

1ª) Quando ambos os fatores forem inteiros, o resultado é o número inteiro que aparecerá no visor da calculadora. Caso ela tenha sido programada para operar com um certo número de casas decimais dentro do seu do seu range, então dever-se-á desconsiderar todos os zeros que aparecerem após a vírgula. Exemplos:

2ª) Quando um dos números for inteiro e exato e o outro decimal, o resultado será decimal e terá sempre a precisão do fator que é decimal. Exemplos:

3ª) Quando ambos os fatores forem números decimais, a parte decimal fracionária do resultado deverá ter o mesmo número de algarismos que a parte decimal do fator que for menos preciso, devendo-se proceder a um arredondamento se necessário. De outra forma: a precisão do resultado é a mesma do fator que for menos preciso. Exemplos:

35,015×=, em que agora 3 não é um número inteiro e exato, mas um valor me- dido com precisão até a casa das unidades, ou seja 30,5±. Seu valor varia entre 2,5 e 3,5, excursionando, incertamente, pela casa dos décimos. O fator menos preciso é o 3, que não tem casa decimais. Logo, seguindo a regra, temos:

A única exceção a esta regra é quando o fator menos preciso contiver zeros entre a vírgula decimal e o primeiro algarismo não nulo da sua parte decimal fracionária. Neste caso o número de casas decimais do resultado será igual ao número de zeros acima citados, valendo os arredondamentos. Se ocorrerem os citados zeros, mas no fator mais preciso, devemos proceder conforme preconizado na terceira regra. Exemplos:

32,3687 2,08 67,32667,3× = = ;
32,3687 2,008 64,99665,00× = = ;

Nota: A literatura corrente não é muito conclusiva quanto ao número de algarismos significativos no resultado do produto de dois números. Existem autores que afirmam:

“O número de algarismos significativos de um produto é dois fatores é no máximo

1m+, e no mínimo igual a m, em que m é o número de algarismos significativos do fator que contém o menor número de algarismos significativos (ou o número de algarismos significativos de qualquer um dos fatores, se ambos tiverem o mesmo número igual de algarismos significativos).” Isto é bem verdade, conforme se deperende dos exemplos abordados através do artifício dos 0, mas nos coloca em um dilema: Quando utilizar m algarismos e quando utilizar 1m+? Outros autores reconcem a regra acima, mas preferem errar, ocasionalmente, por falta, recomendando a utilização de apenas m algarismos. Queremos crer que estas duas opções não são as melhores, e que as regras instituídas neste trabalho são bem mais abrangentes, se bem que mais extensas. Sugerimos que, pelo menos durante algum tempo, o instrutor incentive o estudante a fazer um resumo das mesmas e permita a sua utilização inclusive em exames.

3.3) Divisão: Devemos agir de acordo com as seguintes regras:

1ª) Quando o dividendo e o divisor forem números inteiros e o resultado for uma divisão exata e inteira, o resultado será o número inteiro que aparecerá no visor da calculadora. Caso ela tenha sido programada para operar com um certo número de casas decimais dentro do seu do seu range, então dever-se-á desconsiderar todos os zeros que aparecerem após a vírgula. Exemplo:

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