Prova de polinomios

Prova de polinomios

(Parte 1 de 2)

1. (Uerj) Para fazer uma caixa sem tampa com um único pedaço de papelão, utilizou-se um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm de comprimento. De cada um dos quatro cantos desse retângulo foram retirados quadrados de área idêntica e, depois, foram dobradas para cima as abas resultantes.

Determine a medida do lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão, para que a caixa formada tenha:

a) área lateral de 204 cm£;

b) volume de 600 cm¤.

2. (Unesp) A expressão V(x) = x(16 - 2 x)(24 - 2 x) representa o volume em cm¤ de uma caixa na forma de um paralelepípedo retângulo reto, em que x é a altura e os lados da base são 16 - 2x e 24 - 2x.

a) Se nenhuma das arestas da caixa pode ser menor que 1 cm, determine os valores possíveis da variável x.

b) Quando x = 5 cm, o volume da caixa é 420 cm¤. Investigue se existem outros valores de x para os quais o volume é 420 cm¤. Em caso afirmativo, dê esses valores.

3. (Fgv) Dado o polinômio P(x) = x¥ + x¤ - 6x£ - 4x + k:

a) Resolva a equação P(x) = 0, para k = 8.

b) Determine o valor de k de modo que as raízes estejam em progressão aritmética de razão igual a 3.

4. (Ita) a) Mostre que o número real ‘ = [¤Ë(2+Ë5)] + [¤Ë(2-Ë5)] é raiz da equação x¤ + 3x - 4 = 0

b) Conclua de (a) que ‘ é um número racional

5. (Ita) Considere o polinômio p(x) = x¤ + ax£ + x + 1, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira:

"Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais."

6. (Uerj) As figuras abaixo representam as formas e as dimensões, em decímetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um paralelepípedo retângulo com arestas x, x e 5.

A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens, em dm¤, é expressa por x¤ - 5x£ = 36.

Considerando essa equação,

a) determine que 6 é uma das suas raízes;

b) calcule as suas raízes complexas.

7. (Uff) Determine todos os valores possíveis de m Æ IR, de modo que o polinômio

p(x) = x¤ + (m - 1) x£ + (4 - m) x - 4

tenha três raízes distintas, sendo x = 1 a única raiz real.

8. (Unesp) Considere a matriz

O determinante de A é um polinômio p(x).

a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x).

b) Determine todas as raízes de p(x).

9. (Unicamp) Para resolver equações do tipo x¥ + ax¤ + bx£ + ax +1 = 0, podemos proceder do seguinte modo: como x = 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x£ e, após fazer a mudança de variáveis u = x + 1/x, resolve-se a equação obtida [na variável u]. Observe que, se x Æ IR e x > 0, então u µ 2 .

a) Ache as 4 raízes da equação x¥ - 3x¤ + 4x£ - 3x + 1 = 0.

b) Encontre os valores de b Æ IR para os quais a equação x¥ - 3x¤ + bx£ - 3x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz real positiva.

10. (Ufrrj) Resolvendo a equação

encontramos 3 raízes reais.

Determine-as, sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4.

11. (Uerj) Numa auto-estrada verificou-se que a velocidade média do tráfego, V, entre meio-dia e seis horas da tarde, pode ser expressa pela seguinte função:

V(t) = at¤ + bt£ + ct + 40

Nesta função, V é medida em quilômetros por hora, t é o número de horas transcorridas após o meio-dia e a, b e c são constantes a serem determinadas. Verificou-se, ainda, que à 1 hora, às 5 horas e às 6 horas da tarde, as velocidades médias eram, respectivamente, 81 km/h, 65 km/h e 76 km/h.

O número de vezes, em um determinado dia, em que a velocidade média do tráfego atinge 92 km/h, entre meio-dia e seis horas da tarde, é exatamente igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

12. (Fgv) Seja I a matriz identidade de ordem 3 e M a matriz quadrada

Se o determinante da matriz (M + xI) é uma função polinomial na variável x, a soma de suas raízes é igual a

a) -1.

b) 0.

c) 1.

d) 2.

e) 3.

13. (Ita) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio

f(x) = x¥ + x¤ + px£ + x + q, com p, q Æ R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é

a) 4.

b) -4.

c) 6.

d) 5.

e) -5.

14. (Ita) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 - i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e - 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são

a) (3/2) - [(Ë193)/6], 3, (3/2) + [(Ë193)/6]

b) 2 - 4Ë13, 2, 2 + 4Ë13

c) - 4, 2, 8

d) - 2, 3, 8

e) - 1, 2, 5

15. (Ita) Sobre o polinômio p(x) = x¦ - 5x¤ + 4x£ - 3x - 2 podemos afirmar que

a) x = 2 não é raiz de p

b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais

c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira

d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras

e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais

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