Cálculo Numérico - Cuminato

Cálculo Numérico - Cuminato

(Parte 1 de 9)

Cálculo Numérico

José Alberto Cuminato ICMC/USP

Sumario

1.1 Introducao1
1.2 Espaco Vetorial2
1.3 Processo de Gram-Schmidt15
1.4 Projecao Ortogonal18
1.5 Auto-Valores e Auto-Vetores2
1.6 Exercıcios Complementares30
2.1 Introducao32
2.2 Sistema de Numeros Discreto no Computador32
2.3 Representacao de Numeros no Sistema F(β,t,m,M)37
2.4 Operacoes Aritmeticas em Ponto Flutuante40
2.5 Efeitos Numericos42
2.5.1 Cancelamento43
2.5.2 Propagacao do erro4
2.5.3 Instabilidade Numerica46
2.5.4 Mal Condicionamento48
2.6 Exercıcios Complementares51

2 Analise de Arredondamento em Ponto Flutuante 32

3.1 Introducao5
3.2 Iteracao Linear61
3.3 Metodo de Newton68
3.4 Metodo das Secantes71
3.5 Metodo Regula Falsi74
3.6 Sistemas de Equacoes nao Lineares7
3.6.1 Iteracao Linear7
3.6.2 Metodo de Newton79
3.7 Equacoes Polinomiais82
3.7.1 Determinacao de Raızes Reais83
3.7.2 Determinacao de Raızes Complexas86
3.7.3 Algoritmo Quociente-Diferenca91
3.8 Exercıcios Complementares94
3.9 Problemas Aplicados e Projetos97

3 Equacoes nao Lineares 5 i

4.1 Introducao108
4.2 Decomposicao LU113
4.3 Metodo de Eliminacao de Gauss119
4.4 Metodo de Gauss-Compacto127
4.5 Metodo de Cholesky130
4.6 Metodo de Eliminacao de Gauss com Pivotamento Parcial135
4.7 Refinamento da Solucao137
4.8 Mal Condicionamento140
4.9 Calculo da Matriz Inversa143
4.10 Exercıcios Complementares146
4.1 Problemas Aplicados e Projetos150

4 Solucao de Sistemas Lineares: Metodos Exatos 108

5.1 Introducao156
5.2 Processos Estacionarios156
5.2.1 Metodo de Jacobi-Richardson158
5.2.2 Metodo de Gauss-Seidel162
5.3 Processos de Relaxacao168
5.3.1 Prıncipios Basicos do Processo de Relaxacao171
5.3.2 Metodo dos Gradientes173
5.3.3 Metodo dos Gradientes Conjugados176
5.4 Exercıcios Complementares181
5.5 Problemas Aplicados e Projetos185

5 Solucao de Sistemas Lineares: Metodos Iterativos 156

6.1 Espaco Vetorial191

6 Programacao Matematica 191

7.1 Introducao192
7.2 Metodo de Leverrier194
7.3 Metodo de Leverrier-Faddeev195
7.4 Metodo das Potencias201
7.4.1 Metodo da Potencia Inversa205
7.4.2 Metodo das Potencias com Deslocamento207
7.5 Auto-Valores de Matrizes Simetricas211
7.5.1 Metodo Classico de Jacobi213
7.5.2 Metodo Cıclico de Jacobi218
7.6 Metodo de Rutishauser (ou Metodo LR)220
7.7 Metodo de Francis (ou Metodo QR)223
7.8 Exercıcios Complementares227
7.9 Problemas Aplicados e Projetos230

7 Determinacao Numerica de Auto-Valores e Auto-Vetores 192

8.1 Introducao234
8.2 Aproximacao Polinomial235
8.2.1 Caso Contınuo235
8.2.2 Caso Discreto:241
8.2.3 Erro de Truncamento245
8.3 Aproximacao Trigonometrica246

8 Aproximacao de Funcoes: Metodo dos Mınimos Quadrados 234 i

8.3.2 Caso Discreto250
8.4 Outros Tipos de Aproximacao252
8.5 Sistemas Lineares Incompatıveis262
8.6 Exercıcios Complementares265
8.7 Problemas Aplicados e Projetos268
10.1 Introducao280
10.2 Polinomio de Interpolacao280
10.3 Formula de Lagrange283
10.4 Erro na Interpolacao287
10.5 Interpolacao Linear290
10.6 Formula para Pontos Igualmente Espacados292
10.7 Outras Formas do Polinomio de Interpolacao296
10.7.1 Diferenca Dividida297
10.7.2 Calculo Sistematico das Diferencas Divididas297
10.7.3 Alguns Resultados sobre Diferencas Divididas299
10.7.4 Formula de Newton299
10.7.5 Diferencas Ordinarias306
10.7.6 Calculo Sistematico das Diferencas Ordinarias307
10.7.7 Formula de Newton-Gregory310
10.8 Exercıcios Complementares312
10.9 Problemas Aplicados e Projetos316

10 Aproximacao de Funcoes: Metodos de Interpolacao Polinomial 280

1.1 Introducao321
1.2 Formulas de quadratura interpolatoria322
1.2.1 Formulas de Newton-Cotes325
1.2.2 Erro nas Formulas de Newton-Cotes335
1.3 Polinomios Ortogonais340
1.3.1 Principais Polinomios Ortogonais342
1.3.2 Propriedades dos Polinomios Ortogonais344
1.4 Formulas de Quadratura de Gauss348
1.4.1 Formula de Gauss-Legendre351
1.4.2 Formula de Gauss-Tchebyshev353
1.4.3 Formula de Gauss-Laguerre355
1.4.4 Formula de Gauss-Hermite356
1.5 Erro nas Formulas de Gauss357
1.6 Exercıcios Complementares361
1.7 Problemas Aplicados e Projetos366
12.1 Introducao379
12.2 Metodo de Taylor de Ordem q380
12.3 Metodos Lineares de Passo Multiplo383
12.3.1 Obtidos do Desenvolvimento de Taylor384
12.3.2 Obtidos de Integracao Numerica386

12 Solucao Numerica de Equacoes Diferenciais Ordinarias 379 i

12.3.4 Erro de Truncamento Local391
12.3.5 Consistencia e Estabilidade393
12.3.6 Convergencia394
12.4 Metodos do Tipo Previsor - Corretor397
12.4.1 Erro de Truncamento Local399
12.5 Metodo Geral Explıcito de 1-passo401
12.5.1 Ordem401
12.5.2 Consistencia401
12.5.3 Convergencia402
12.5.4 Metodos de Runge-Kutta403
12.6 Sistemas de Equacoes e Equacoes de Ordem Elevada412
12.6.1 Sistemas de Equacoes Diferenciais413
12.6.2 Equacoes Diferenciais de Ordem Elevada418
12.7 Exercıcios Complementares420
12.8 Problemas Aplicados e Projetos423
13.1 Introducao429
13.2 Equacoes Parabolicas431
13.3 Metodos de Diferencas Finitas436
13.4 Problemas Nao Lineares453
13.5 Equacoes Parabolicas em Duas Dimensoes455
13.6 Equacoes Elıpticas460
13.7 Metodos de Diferencas Finitas462
13.8 Erro de Truncamento Local465
13.9 Condicoes de Fronteira em Domınios Gerais469
13.10Condicao de Fronteria de Neumann473
13.11Diferencas Finitas em Coordenadas Polares475
13.12Exercıcios476

13 Solucao Numerica de Equacoes Diferenciais Parciais 429 14 Exercıcios Mistos 486

Capıtulo 1 Conceitos Basicos

1.1 Introducao

Pretendemos neste capıtulo relembrar alguns conceitos basicos, que irao facilitar a compreensao dos metodos numericos apresentados nos proximos capıtulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados sao de algebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da algebra linear, em geral, e da teoria dos espacos vetoriais, em particular, na analise numerica e tao grande, que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser encontrados em livros de algebra linear.

Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente ja sao conhecidos do leitor. O primeiro e o conjunto dos vetores da geometria, definidos atraves de segmentos orientados, e o outro e o conjunto das matrizes reais m × n.

A primeira vista pode parecer que tais conjuntos nao possuem nada em comum. Mas nao e bem assim conforme mostraremos a seguir.

No conjunto dos vetores esta definida uma adicao dotada das propriedades comutativa, associativa, alem da existencia do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.

Alem disso, podemos multiplicar um vetor por um numero real. Essa multiplicacao tem as seguintes propriedades (ja certamente vista por voce no seu curso):

onde u, v sao vetores e α, β sao escalares quaisquer.

No conjunto das matrizes tambem esta definida uma adicao dotada tambem das propriedades associativa, comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.

Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto a adicao e o mesmo.

Mas nao param por aı as coincidencias.

Pode-se tambem multiplicar uma matriz por um numero real. Essa multiplicacao apresenta as mesmas propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades:

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 2 onde A, B sao matrizes e α, β sao escalares quaisquer.

Logo o conjunto dos vetores e o das matrizes apresentam uma certa coincidencia estrutural no que se refere a um par importante de operacoes definidas sobre eles. Nada entao mais logico que estudar simultaneamente o conjunto dos vetores, das matrizes e todos os conjuntos que apresentem a mesma estrutura acima apontada.

1.2 Espaco Vetorial

Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma operacao de adicao: (x,y) ∈ E ×E → x+y ∈ E , e que esteja definida uma operacao entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplicacao por escalar): (α,x) ∈ K ×E → αx ∈ E .

Entao E e um K-espaco vetorial, em relacao a essas operacoes, se as seguintes condicoes estiverem

O leitor devera lembrar-se sempre de que, na definicao acima, nao se especifica nem a natureza dos vetores nem das operacoes. Assim qualquer conjunto que satisfaca as oito condicoes acima especificada sera um espaco vetorial.

α1 v1 + α2 v2 ++ αk vk = 0 .

Observamos que essa relacao e sempre valida se os αi, i = 1,2,...,k sao todos iguais a zero. Nesse caso dizemos que os vetores sao linearmente independentes.

Definicao 1.2 - Um K-espaco vetorial tem dimensao n se: a) existem n vetores linearmente independentes; b) (n + 1) vetores sao sempre linearmente dependentes.

Definicao 1.3 - Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes e chamado base de um K-espaco vetorial de dimensao n.

Assim, qualquer vetor do espaco pode ser representado como combinacao linear dos vetores da base.

Mudanca de Base

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 3

Estudaremos inicialmente mudanca de base em um espaco vetorial bi-dimensional, e a seguir, em um espaco de dimensao n.

Entao v se exprime de maneira unica como combinacao linear dos elementos de B1, isto e, existem escalares v1,v2 (elementos de K) tais que:

(onde os escalares v1,v2 sao as coordenadas de v na base B1).

Seja B′1 = {e′1,e′2}, como mostrado na Figura 1.1, uma outra base de E. Analogamente, podemos escrever:

Desejamos saber como, dadas as coordenadas de v na base B1 (aqui denominada base antiga), poderemos determinar as coordenadas de v na base B′1 (aqui denominada base nova). Sendo e′1,e′ 2 elementos de E podemos, em particular, escrever cada um deles como combinacao linear dos elementos

isto e, cada vetor da base nova se exprime de maneira unica como combinacao linear dos vetores da base antiga. Assim, em virtude de (1.1), (1.2) e (1.3) temos:

Como as coordenadas de um vetor em relacao a uma determinada base sao unicas, podemos igualar

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 4 ou na forma matricial: ( v1

O sistema (1.4), possui sempre uma e uma so solucao v′1,v′2, pelo fato de B1 e B′1 serem bases de E. Entao, conhecidas, na base antiga, as coordenadas v1,v2 de v e as coordenadas de cada um dos vetores e′1,e′2, na base antiga, podemos determinar as coordenadas v′1,v′2 de v na base nova usando (1.4). Sendo A nao singular, (det(A) 6= 0), existe a inversa A−1 de A. Assim, pre-multiplicando (1.5) por

A equacao matricial (1.6) mostra como calcular as coordenadas de v na base antiga quando conhecidas as coordenadas de v na base nova.

Solucao: De (1.3), temos:

i=1 viei =

CAPITULO 1. CONCEITOS BASICOS 5

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