Solução e discussão de qualquer sistema linear

Solução e discussão de qualquer sistema linear

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UNIJORGE Centro Universitário Jorge Amado

Dispositivo Prático de Gauss para Solução e Discussão de Sistemas Lineares

2 Dispositivo Prático de Gauss Para Solução e Discussão de Sistemas Lineares Prof. André Gustavo

O Dispositivo Prático de Gauss para Solução e Discussão de

Sistemas Lineares André Gustavo de A. Santos1

Introdução

È comum fazer parte do conteúdo inicial de um curso de Álgebra Linear a álgebra matricial, determinantes e suas propriedades e os sistemas lineares que são de fato, muito importantes no desenvolvimento da disciplina. Percebemos também, que fazem parte do repertório para resolver e discutir sistemas lineares, principalmente, o Teorema de Cramer, O escalonamento denominado Método de Gauss, o Teorema de Rouché – Capelli, usado principalmente para discutir os sistemas lineares dentre outros.

O ensino de Sistemas Lineares, de uma forma geral, tem seu inicio ainda no ensino fundamental (7º ano, antiga 6º série). Os principais autores dos livros textos adotados nesse nível, procuram privilegiar os Métodos da Adição e da Substituição, alguns, ainda, procuram diversificar apresentando além dos métodos citados, um outro método chamado Método da Comparação. No Ensino Médio, o Teorema de Cramer é o preferido pelos autores, pois este traz em seu conceito básico a idéia de resolução de determinantes.

É fato que, os métodos empregados atualmente para resolver e discutir sistemas lineares do tipo AX = B com m equações e n incógnitas, produzem um trabalho muito grande para o estudante. Se pensarmos, por exemplo, no Teorema de Cramer para resolver e discutir um sistema de 5 equações a 5 incógnitas, vamos verificar o quão é trabalhoso e ultrapassada a resolução e discussão por esse método. Por outro lado, apresenta-se o Escalonamento de Gauss, que sem dúvida, na prática é muito mais agradável, pois a idéia básica é a de trabalhar com operações elementares sobre as linhas de uma matriz,

1 Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor do Centro Universitário

Jorge Amado (UNIJORGE)

3 Dispositivo Prático de Gauss Para Solução e Discussão de Sistemas Lineares Prof. André Gustavo seguindo vários passos, todos eles baseados em sistemas equivalentes. O que ocorre com esse método, é que apesar da sua utilidade prática, muitos alunos confundem-se nesses passos, o que provoca a distorção do resultado final obtido. Dessa forma, podemos inferir que, se houver um método que além de resolver, discuta sistemas, e além disso, seja prático e de fácil entendimento, esse método se tornaria mais interessante e menos massivo, do ponto de vista conceitual.

O Dispositivo Prático de Gauss, apresentado como tema desse artigo, difere completamente (em sua forma) daqueles métodos conhecidos nos livros textos, tem sua fundamentação teórica na disciplina de Cálculo Numérico, e aparece nesse contexto como mais uma possibilidade, num cenário onde a tradição ainda e o pragmatismo dos métodos tradicionais ainda imperam.

O método que proponho é subsidiado pelo conhecimento básico em determinantes, sendo este, conceito subjacente para o estudo em questão.

Mostraremos a força e praticidade do método, Respaldando-nos numa idéia simples de determinantes de segunda ordem, mas não sem antes demonstrarmos matematicamente o Dispositivo Prático de Gauss para solução e discussão de Sistemas Lineares afim de consolidá-lo formalmente.

2. Por que o Modelo Linear?

A maioria das ciências naturais busca na matemática a linguagem que permite descrever seus fenômenos físicos, químicos e biológicos etc.

Muito se discute atualmente sobre modelagem matemática no ensino como ambiente de aprendizagem, A Física, por exemplo, como mostra (SANTOS, Pg.2) é ensinada através de fórmulas que descrevem um determinado fenômeno, e leva o aluno a acreditar nos seus resultados como uma espécie de crença. Segundo RICARDO (2004), não se informa que as fórmulas são modelos matemáticos que foram criadas para descrever determinados eventos.

Os modelos são construídos para suprir a necessidade do homem de descrever a natureza a partir de suas inquietações. Segundo Barbosa (2001),

4 Dispositivo Prático de Gauss Para Solução e Discussão de Sistemas Lineares Prof. André Gustavo os modelos matemáticos são satisfatórios para a ciência na medida em que descrevem e predizem os fenômenos físicos, fazendo-a assim convergir numa interface entre as disciplinas Matemática e Física (por exemplo).

Oliveira e Silva (Pg. 1105) afirmam que um dos modelos mais utilizados para descrição de fenômenos naturais é o “linear”, já que uma teoria desenvolvida de forma não-linear acarreta em diversas dificuldades, dentre elas nos cálculos numéricos que permitem em sua maioria suas resoluções somente pelo uso de modernos computadores.

3. O Teorema de Cramer têm interesse prático?

A regra mais conhecida pelos estudantes para resolver sistemas e discuti-lo, sem dúvida é a Regra de Cramer (que faz uso do conceito de determinantes).

Cramer foi um matemático suíço que em meados do século XVII publicou uma obra intitulada “Introduction à L’Analyse des lignes courbes Algébriques, e é justamente nessa obra que se encontra a regra que ganhou seu nome”. Segundo Eves (1995), acredita-se que o matemático Colin Maclaurin fez estudos independentes acerca dos métodos para resolução de sistemas lineares, e que tais métodos utilizados por Cramer já eram conhecidos por Maclaurin. A adoção da Regra com o nome de Cramer deve-se ao fato de que o mesmo usou uma melhor notação para resolução de sistemas lineares2.

O Teorema de Cramer consiste basicamente em resolver e discutir sistemas onde o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou seja, m = n. Sendo assim, “A” é uma matriz quadrada.

Consideremos ainda D = det(A). Do teorema de Cramer temos que: Se considerarmos um sistema linear com o número de equações igual ao número de incógnitas e 0D, então o sistema terá uma única solução, isto

2 Introdução à história da matemática, Howard Eves. Ed. da Unicamp, Campinas, 1995 –

Facchine, Walter. Matemática para escola de hoje: Livro único – São Paulo. FTD, 2006 (ensino Médio), pg 246 – pág. 736

5 Dispositivo Prático de Gauss Para Solução e Discussão de Sistemas Lineares Prof. André Gustavo é, o sistema será possível e n,...,,,321 é tal que D Dii

}...,3,2,1{ni, onde iD é o determinante da matriz obtida A, substituindo-se a i’ésima coluna pela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

Ocorre que o Teorema de Cramer tem um interesse muito mais teórico histórico, do que prático, pois, como já vimos acima, resolver um sistema de 5 equações a 5 incógnitas teríamos que calcular 6 determinantes de ordem 5, o que torna o método muito dispendioso, e ainda, de acordo com a definição do teorema, só é possível resolver problemas usando o método quando os sistemas tiverem o número de equações igual ao número de incógnitas, ou seja, m = n. E quando m  n?

4. Sistemas Escalonados

O método para escalonar sistemas se respalda justamente na idéia de sistemas equivalentes, ou seja, a de que, dados dos sistemas S1 e S2, dizemos que eles são equivalentes se toda solução de S1 for solução S2 e toda solução de S2 for igual a de S1. Com essa idéia, estabelecem-se alguns passos que devem ser cumpridos na resolução do sistema, como a de colocar como 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita é não nulo. Depois, temos de anular o coeficiente da primeira incógnita de todas as equações (com exceção da primeira) substituindo a i’ésima equação )2(ipela soma da mesma com a primeira multiplicada por um número conveniente, vamos aplicando esses passos nas equações restantes. Observemos que o excesso de informações pode causar, e causa confusões no processo de construção do aprendizado dos alunos, muitos deles, aprendem o método através de exemplos e não do conceito, na verdade, os alunos desejam assimilar tal método momentaneamente para passar numa avaliação ou teste proposto por isso, acaba por decorar a forma de fazer, para depois esquecer, assim como ocorre na maioria dos conteúdos matemáticos.

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A raiz do problema:

No século XVII, a teoria dos determinantes foi cuidadosamente ampliada por matemáticos que contribuíram de forma decisiva para o seu desenvolvimento, como Bezout, que utilizou técnicas em seus cálculos advindas das permutações.

Bezout foi um matemático francês que em seus estudos a respeito das permutações, verificou a existência de inversões quando um inteiro precede outro de menor valor. Chamando de permutação par quando existir um número par de inversões e permutação impar quando existir um número ímpar de inversões, atribuiu o sinal positivo para permutações pares e o sinal negativo para as permutações ímpares.

Veja abaixo exemplos de permutações:

4.1 Qual a idéia de Johann Carl Friedrich Gauss no desenvolvimento do dispositivo?

Gauss era alemão, e foi considerado o mais brilhante matemático que existiu, trabalhou em diversas áreas da Matemática e da Física. De acordo com Neto, Filho e Carvalho (2005) dentre os seus trabalhos, os mais importantes foram na Teoria dos Números, na Geometria Diferencial, em Probabilidade, em Geodésias, Magnetismo, Astronomia e Óptica.

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O Dispositivo Prático de Gauss mostra que a idéia era a de que qualquer sistema linear (independente da quantidade de equações ou de incógnitas) pode ser discutido e resolvido com base no conceito de determinantes de segunda ordem, e consiste na eliminação de incógnitas, sucessivamente, por substituição com a ajuda apenas do determinante de segunda ordem. A raiz do problema reside exatamente no fato de que, o produto extraído de uma matriz é o produto de n elementos de uma matriz quadrada M, de modo que nesse produto figure somente um elemento de cada linha e de cada coluna de M.

Por exemplo:

322113aaaP , é um produto extraído da matriz

Observe que em P figura somente um elemento de cada linha e de cada coluna de M, ao passo que o produto322111aaaP não é um produto extraído da matriz M, pois nele aparecem dois elementos de uma mesma coluna (primeira coluna).

Sobre a paridade de um produto, Oliveira e Silva (pág. 1002) afirmam que os índices dos elementos extraídos de uma matriz M formam uma substituição. Dessa forma, se uma substituição S é par, diz-se que o produto P é par, e se a substituição S for ímpar, o produto P é ímpar.

Isso nos leva a definição de termo extraído de uma matriz. Segundo os mesmos autores, podemos chamar de termo extraído da matriz M, ao produto P extraído da matriz M, afetado de um sinal de mais (+) ou de menos (-) conforme P seja par ou ímpar”.

Dessa forma, o produto 322113aaaP afetado do sinal de (+) forma o termo 322113aaaT ao passo que o produto312213aaaP deve receber o sinal de (-), pois nesse caso, P é ímpar.

Essa é uma das idéias centrais que está por trás da resolução de determinantes de segunda e terceira ordem e motivaram seus idealistas em seu desenvolvimento de uma forma mais rigorosa, por outro lado, não

8 Dispositivo Prático de Gauss Para Solução e Discussão de Sistemas Lineares Prof. André Gustavo podemos tratar do problema sem investigar em suas raízes sua validade. É justamente tratando sobre a discussão do problema fornecido pelas equações do primeiro grau com duas incógnitas, que chegaremos às primeiras noções que desembocam nas idéias sobre o desenvolvimento do Método de Gauss, ou das Reduções Sucessivas e, por conseqüência, sua validade como método.

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