Aula 04 - Estruturas Lógicas

Aula 04 - Estruturas Lógicas

(Parte 1 de 4)

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1 AULA QUATRO: Estruturas Lógicas

Olá, amigos!

Sem mais demora, daremos início hoje fazendo uma revisão sucinta da essência de nossa aula passada. Foram várias as dúvidas trazidas ao nosso fórum, sobretudo questionando acerca da escolha do melhor método para averiguar a validade de um argumento.

Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de um ou de outro, em cada caso. Vejamos: (TABELA 01)

Deve ser usado quandoNão deve ser usado
quando

1º Método Utilização dos

Diagramas (circunferências)

O argumento apresentar as palavras todo, nenhum, ou algum

O argumento não apresentar tais palavras.

2º Método Construção das

Tabelas-Verdade

Em qualquer caso, mas preferencialmente quando o argumento tiver no máximo duas proposições simples.

O argumento apresentar três ou mais proposições simples.

3º Método

Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira

premissa

O 1º Método não puder ser empregado, e houver uma

...que seja uma proposição simples; ou

que esteja na forma de uma

conjunção (e).

Nenhuma premissa for uma proposição simples ou uma conjunção.

4º Método

Verificar a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras

empregado, e a conclusão

O 1º Método não puder ser

...tiver a forma de uma proposição simples; ou

estiver a forma de uma disjunção

...estiver na forma de uma condicional (se...então...)

A conclusão não for uma proposição simples, nem uma disjunção, nem uma condicional.

Vejamos o exemplo seguinte:

~r

Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido: (p ∧ q) → r ~p ∨ ~q

Sol.: Esse mesmo exercício foi resolvido na aula passada. Lá, utilizamos o 2º método (tabelasverdade) para resolvê-lo, pois estávamos interessados em ensinar como se fazia a tabela-verdade para uma sentença formada por três premissas (p, q e r).

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Todavia, vamos seguir um roteiro baseado no quadro acima, para chegarmos ao melhor caminho de resolução. Poderemos usar as seguintes perguntas:

Æ 1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum? A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.

Æ 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?

A resposta também é não! Temos aí três proposições simples! Portanto, descartamos também o 2º método. Adiante.

Æ 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?

A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim, perfeitamente! Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:

Æ 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional?

A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos, poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método!

Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos. Obviamente que, na prova, ninguém vai fazer isso! Basta resolver uma vez! Adiante:

Resolução pelo 3º Método)

Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos: Æ 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!

Æ 1ª Premissa) (p∧q)Ær é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (p∧q) tem que ser também falsa. E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando as duas partes são falsas. Logo: p é falsa e q é falsa.

Em suma, obtivemos que: p, q e r são todos falsos!

Agora vamos testar a conclusão, a qual terá que ser verdadeira, com base nos valores lógicos obtidos acima. Teremos:

~p ∨ ~q = V ou V = V

Só precisaremos nos lembrar de que o teste, aqui no 3º método, funciona assim: se a conclusão for também verdadeira, então o argumento é válido!

Conclusão: o argumento é válido!

Resolução pelo 4º Método)

Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos: Æ Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro! Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos:

Æ 1ª Premissa) (p∧q)Ær é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira parte da condicional acima também é verdadeira. Daí, resta que a segunda parte não pode ser falsa. Logo: r é verdadeiro.

Æ 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é falso! Opa! A premissa deveria ser verdadeira, e não foi!

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Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do teste do 3º: não havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras, teremos que o argumento é válido!

Conclusão: o argumento é válido!

Nem poderia ser outro modo! Vimos, pois, que os distintos métodos, se aplicados da forma correta, não podem ter resultados diferentes. Na aula passada, resolvemos esse mesmo exercício usando o 2º método, e a conclusão foi a mesma: argumento válido!

Passemos agora à resolução do dever de casa.

(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir: Item 1. A seguinte argumentação é inválida.

Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. Sol.: Claramente vemos que é possível usarmos o 1º método. Teremos:

A conclusão nos diz que João não sabe lidar com orçamento, logo, o argumento é válido! Como a questão afirma que a argumentação é inválida, teremos que o item é ERRADO!

Item 2. A seguinte argumentação é válida.

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.

Conhece contabilidade

Paga imposto

É honesto CARLOS

Sabe lidar com orçamento

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Carlos não necessariamente é uma pessoa honesta! Vejam que ele pode estar simplesmente dentro do círculo maior (azul) e sem tocar o menor (vermelho)!

Daí, o argumento é inválido! Como a questão diz que é válido, o item está ERRADO!

(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir. Item 3. A argumentação • Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.

• Lógica não é fácil.

• Sócrates não foi mico de circo.

é válida e tem a forma • P → Q

Sol.: A forma simbólica está correta. Isso é facilmente constatado. O que temos que analisar é sobre a validade do argumento.

Qual o melhor método a ser utilizado? Vamos ao roteiro aprendido acima!

1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum? Resposta: Não! Descartamos o 1º método! 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples? Resposta: Sim! Se quisermos, podemos usar o 2º método, facilmente!

3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?

Resposta: Sim! A segunda premissa é uma proposição simples! Se quisermos, poderemos usar o 3º método!

4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional?

Resposta: Sim, também! A conclusão é uma proposição simples. Opcionalmente, poderemos igualmente usar o 4º método!

São três alternativas: poderemos concluir acerca da validade do argumento, por meio do 2º ou do 3º ou do 4º método! Como são apenas duas proposições simples, optaremos pelo 2º método, e construiremos a tabela-verdade! Teremos:

TABELA 02

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Da tabela-verdade acima nos interessarão somente as duas últimas linhas! Por que isso? Porque são as duas únicas em que as premissas têm, simultaneamente, valor lógico verdade! Daí, para que o argumento fosse válido, seria preciso que a conclusão (última coluna) fosse também verdade nas duas linhas! Como isso não ocorre (vide terceira linha!), diremos que o argumento é inválido!

O item está, portanto, ERRADO!

(Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)

Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.

Sol.: A bem da verdade, para responder a este item (e aos próximos), podemos até deixar de lado as palavras do enunciado. Já sabemos o que é um argumento válido!

Já é do nosso conhecimento que a análise da validade do argumento se prende à forma, e não ao conteúdo das premissas (ou da conclusão!). Logo, mesmo uma premissa sendo absurda em seu conteúdo, ou seja, mesmo sendo falsa, pode perfeitamente gerar um argumento válido.

O item 4 está, portanto, ERRADO!

Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.

Sol.: Mesmo raciocínio do item anterior. O que se leva em conta na verificação da validade do argumento é se a construção é perfeita em sua forma. A conclusão pode ter conteúdo falso, e isso não necessariamente redundará em um argumento inválido!

O item 5 está ERRADO!

Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido. Sol.: Não necessariamente! A idéia é a mesma dos dois itens anteriores. O item 6 está ERRADO!

Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.

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Os diagramas acima não deixam qualquer dúvida: a conclusão é resultado necessário das premissas! Ou seja, o argumento é válido.

O item 7 está, pois, CORRETO!

Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:

Premissas: Todos os cachorros têm asas.

Todos os animais de asas são aquáticos. Existem gatos que são cachorros.

Conclusão: Existem gatos que são aquáticos. Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que: (A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro. (B) A não é válido, P e C são falsos. (C) A é válido, P e C são falsos. (D) A é válido, P ou C são verdadeiros. (E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.

Sol.: Para dizer se a conclusão (C) ou se as premissas (P) são verdadeiras ou falsas, observaremos o que há em seu conteúdo.

Ora, sabemos que cachorros não têm asas; que gatos não são cachorros; e que não existem gatos aquáticos! Portanto, são falsas tanto as premissas quanto a conclusão!

Há duas opções de resposta que nos dizem isso: as letras B e C. O que vai definir a resposta da questão é a análise da validade do argumento! Façamos tal análise com uso do 1º método (diagramas). Teremos:

Mais uma vez o desenho é inequívoco: necessariamente a conclusão do argumento será verdadeira, uma vez consideradas verdadeiras as premissas! Ou seja, o argumento é válido!

Isso somente ratifica o que dissemos na análise dos itens anteriores: mesmo sendo absurdos os conteúdos das premissas e da conclusão, a construção é perfeita em sua forma, o que nos leva a um argumento válido!

A resposta da questão é a LETRA C.

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Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas. b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira. c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira. d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira. e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Sol.: Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata.

Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tãosomente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das premissas!

É o que diz a opção A Æ Resposta!

10P → Q
¬P____
¬Q

Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:

Sol.: Mesmo argumento já foi analisado no item 03 supra! Como o argumento traz apenas duas proposições simples (p e q), usamos o 2º método, da construção da tabela-verdade. Chegamos a:

1P ∨ Q
Q ∨ R_
P ∨ R

Pela análise das duas últimas linhas, concluímos que o argumento é inválido!

Sol.: Temos três proposições simples neste argumento, de sorte que não é muito conveniente usarmos o 2º método. Vamos escolher entre o 3º e o 4º.

Façamos as duas últimas perguntas do roteiro. Teremos:

TABELA 03

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3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma conjunção?

Resposta: Não! Descartemos, pois, o 3º método!

4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção ou de uma condicional?

Resposta: Sim! A conclusão é uma condicional. Adotaremos, pois, o 4º método!

4º Método)

Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos: Æ Conclusão) P v R é falso. Logo: P é falso e R é falso! Agora, passamos a testar as premissas. Teremos:

Æ 1ª Premissa) P v Q é verdade. Sabendo que P é falso, teremos que Q terá que ser verdadeiro!

Æ 2ª Premissa) Q v R é verdade.

Os valores lógicos obtidos anteriormente foram: Q é V e R é F. Substituindo estes valores lógicos nesta premissa (Q v R), teremos como resultado um valor verdadeiro. O que concorda com a consideração feita inicialmente de que a premissa era verdadeira.

Lembramos que, no 4º método, quando se confirma a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa, constataremos que o argumento é inválido!

12P → Q
R → ¬Q
R______
¬P

Sol.: Aplicaremos novamente aqui o 4º método. Teremos:

Æ Conclusão) ~P é falso. Logo: P é verdadeiro! Considerando as premissas verdadeiras e testando-as, teremos:

Æ 1ª Premissa) PÆQ é verdade. Sabendo que P é verdadeiro, teremos que Q terá que ser também verdadeiro!

Æ 2ª Premissa) RÆ~Q é verdade. Sabendo que Q é verdadeiro então ~Q é falso. Daí, sendo ~Q falso, teremos que R terá que ser também falso.

Æ 3ª Premissa) Sabendo (da 2ª premissa) que R é falso, constatamos que a 3ª premissa é falsa! Ou seja, se a conclusão é falsa, e 1ª e 2ª premissa são verdadeiras, então esta premissa não pode ser verdadeira!

Ora, falhou a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa! Daí, o argumento é válido!

13Se x=1 e y=z, então y>2
Y = 2________________
y ≠ z

Sol.: Aplicando o 3º método, iremos considerar as premissas verdadeiras e testar a conclusão. Teremos:

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9 Æ 2ª Premissa: y=2 é verdadeira!

Æ 1ª Premissa: Ora, se é verdadeiro que y=2, então a segunda parte da 1ª premissa (y>2) é falsa. E sendo falso que y>2, teremos que a primeira parte desta condicional deverá ser também falsa. Ou seja, é falso que x=1 e y=z. Daí, teremos que: x≠1 OU y≠z.

Este ou da análise acima denota que não é uma conclusão necessária que y≠z. Pode ser, ou não! Daí, diremos que o argumento é inválido!

14Se trabalho não posso estudar.
Trabalho ou serei aprovado em Matemática.
Trabalhei._
Fui aprovado em Matemática.

Sol.: Só para variar, vamos resolver essa aqui por meio da Tabela-Verdade, embora sejam três proposições simples a compor esse argumento. Vamos chamar de:

(Parte 1 de 4)

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