Trabalho Virtual - Meriam

Trabalho Virtual - Meriam

TRABALHO VIRTUAL

7/1 INTRODUÇÃO

Nos capítulos anteriores analisamos o equilíbrio de um corpo isolando-o com um diagrama de corpo livre e igualando a zero as equações dos somatórios de forças e momentos. Esse enfoque é normalmente empregado para um corpo cuja posição de equilíbrio é conhecida ou dada e onde uma ou mais das forças externas é uma incógnita a ser determinada.

Existe uma classe diferente de problemas, na qual os corpos são compostos de elementos interligados, que podem se mover um em relação ao outro. Assim, várias configurações de equilíbrio são possíveis e devem ser examinadas. Para problemas desse tipo, as equações de equilíbrio de forças e momentos, embora válidas e adequadas, freqüentemente não são o enfoque mais direto e conveniente.

Um método baseado no conceito do trabalho feito por uma força é mais direto. Além disso, o método dá um entendimento mais profundo sobre o comportamento de sistemas mecânicos e nos permite examinar a estabilidade de sistemas em equilíbrio. Esse método é chamado de método do trabalho virtual.

7/2 TRABALHO

Primeiramente devemos definir o termo trabalho em seu sentido quantitativo, em contraposição ao seu sentido não técnico mais corriqueiro.

Trabalho de uma Força

Considere a força constante F atuando sobre o corpo mostrado na Fig. 7/la, cujo movimento ao longo do plano desde A até A’ é representado pelo vetor Δs, denominado deslocamento do corpo. Por definição, o trabalho U realizado pela força F sobre o corpo durante esse deslocamento é a componente da força na direção do deslocamento vezes o deslocamento, ou

Da Fig. 7/lb vemos que o mesmo resultado é obtido se multiplicarmos o módulo da força pela componente do deslocamento na direção da força. Isto dará

Como obtemos o mesmo resultado independentemente da direção na qual projetamos os vetores, concluímos que o trabalho U é uma quantidade escalar.

O trabalho é positivo quando a componente da força que está produzindo trabalho está no mesmo sentido que o deslocamento. Quando a componente produzindo trabalho está no sentido oposto ao deslocamento, Fig. 7/2, o trabalho realizado é negativo. Assim,

Generalizaremos agora a definição de trabalho para considerar as condições sob as quais a direção do deslocamento e o módulo e a direção da força são variáveis.

A Fig. 7/3a mostra a força F atuando sobre um corpo no ponto A, que se move no longo do percurso mostrado, desde A1 até A2. O ponto A é localizado pelo seu vetor posição r, medido desde uma origem O arbitrária, mas conveniente. O deslocamento infinitesimal no movimento desde A até A’ é dado pela variação infinitesimal dr do vetor posição. O trabalho realizado pela força F durante o deslocamento dr é definido como

(7/1)

Se F representa o módulo da força F e ds representa o módulo do deslocamento diferencial dr, usamos a definição do produto escalar para obter

Podemos novamente interpretar essa expressão como sendo a componente da força na direção do deslocamento, vezes o deslocamento, ou como a componente do deslocamento na direção da força, vezes a força, como representado na Fig. 7/3b. Se escrevermos F e dr em termos de suas componentes retangulares, temos

Para obter o trabalho total U realizado por F durante um movimento finito do ponto A, desde A1 até A2, Fig. 713a, integramos dU entre essas posições. Assim,

Figuras em Anexo

Para fazer essa integração devemos conhecer a relação entre as componentes de força e suas respectivas coordenadas, ou as relações entre F e s e entre e s.

No caso de forças concorrentes, que estão aplicadas em qualquer ponto sobre um corpo, o trabalho realizado pela resultante dessas forças é igual ao trabalho total realizado pelas diversas forças. Isso acontece porque a componente da resultante na direção do deslocamento é igual a soma das componentes das diversas forças nessa mesma direção.

Figuras

Trabalho de um Binário

Além do trabalho feito por forças, binários também podem realizar trabalho. Na Fig. 714a, o binário M atua sobre o corpo e muda a sua posição angular por um valor . O trabalho realizado pelo binário é facilmente determinado a partir do trabalho combinado das duas forças que formam o binário. Na parte b da figura representamos o binário por duas forças iguais e opostas, F e – F, atuando em dois pontos arbitrários A e B, tal que . Durante o movimento infinitesimal no plano da figura, a linha AB se move para A”B’. Consideramos agora o deslocamento de A em dois passos. Primeiro, um deslocamento igual ao de B e, a seguir, um deslocamento (lido como o deslocamento de A em relação a B) devido à rotação em torno de B. Assim, o trabalho realizado por F durante o deslocamento de A até A’ é igual e oposto em sinal ao devido a – F, agindo sobre o mesmo deslocamento de B até B’. Concluímos, portanto, que nenhum trabalho é realizado por um binário durante uma translação (movimento sem rotação).

Durante a rotação, entretanto, F realiza trabalho igual a , onde e onde é o ângulo de rotação infinitesimal em radianos. Como , temos

(7/2)

O trabalho do binário é positivo se M tem o mesmo sentido que (no sentido horário na ilustração) e negativo se M tem um sentido oposto àquele da rotação. O trabalho total de um binário durante uma rotação finita em seu plano será

Dimensões de Trabalho

Trabalho tem dimensões de (força) x (distância). Em unidades SI, a unidade de trabalho é o joule (J), que é o trabalho realizado por uma força de um newton sobre uma distância de um metro no sentido da força (J = N·m). Em unidades SI do sistema gravitacional, a unidade de trabalho é o quilograma-força metro (kgf·m), que é o trabalho realizado por uma força de um kgf sobre uma distância de um metro, no sentido da força.

As dimensões do trabalho de uma força e do momento de uma força são as mesmas, embora sejam quantidades físicas inteiramente diferentes. Observe que o trabalho é um escalar, obtido pelo produto escalar, e, assim, envolve o produto de uma força e uma distância, ambas medidas ao longo da mesma linha. Momento, por outro lado, é um vetor, dado pelo produto vetorial e envolve o produto da força e da distância, medida ortogonal à força. Para distinguir entre essas duas quantidades quando escrevemos suas unidades, usamos o joule (J), em unidades SI, para trabalho e reservamos as unidades combinadas newton-metro (N·m) para momento.

Trabalho Virtual

Consideramos agora uma partícula cuja posição de equilíbrio estático é determinada pelas forças que atuam sobre ela. Qualquer deslocamento pequeno e arbitrário considerado, , para fora dessa posição natural, e consistente com as restrições do sistema, é chamado um deslocamento virtual. O termo virtual é usado para indicar que o deslocamento não existe realmente, mas apenas considera-se que ele existe, de modo que podemos comparar várias possíveis posições de equilíbrio para determinar a correta.

O trabalho realizado por qualquer força F atuando sobre a partícula durante o deslocamento virtual é chamado trabalho virtual e vale

ou

onde α é o ângulo entre F e e é o módulo de . A diferença entre e é que se refere a uma variação infinitesimal real na posição e pode ser integrada, enquanto se refere a um movimento infinitesimal virtual, ou considerado, e não pode ser integrado. Matematicamente ambas as quantidades são diferenciais de primeira ordem.

Um deslocamento virtual pode também ser uma rotação de um corpo. De acordo com a Eq. 7/2 o trabalho virtual realizado por um binário M durante um deslocamento angular virtual vale .

Podemos encarar a força F ou o binário M como permanecendo constantes durante qualquer deslocamento virtual infinitesimal. Se levarmos em conta qualquer variação em F ou em M durante o movimento infinitesimal, aparecerão termos de ordens superiores, que desaparecerão no limite. Essa consideração é, matematicamente, a mesma que aquela que permite desprezar o produto quando escrevemos para o elemento de área sob a curva .

7/3 EQUILÍBRIO

Expressamos, agora, as condições de equilíbrio em termos do trabalho virtual. Primeiramente para uma partícula, depois para um corpo rígido e, então, para um sistema de corpos rígidos interligados.

Equilíbrio de uma Partícula

Considere a partícula, ou o corpo pequeno, na Fig. 7/5, a qual atinge uma posição de equilíbrio como resultado das forças nas molas presas a ela. Se a massa da partícula fosse significativa, então o peso deveria também ser incluído como uma das forças. Para um deslocamento virtual considerado, r, da partícula para fora de sua posição de equilíbrio, o trabalho virtual total realizado sobre a partícula vale

Expressamos agora em termos de suas somas escalares e em termos das componentes de seus deslocamentos virtuais nas direções coordenadas;

O somatório vale zero, pois , o que implica , e . A equação é, portanto, um enunciado alternativo das condições de equilíbrio para uma partícula. Essa condição de trabalho virtual nulo para o equilíbrio é tanto necessária quanto suficiente, pois podemos aplicá-la a deslocamentos virtuais considerados um de cada vez, em cada uma das três direções mutuamente perpendiculares. Nesse caso ela se torna equivalente às três condições escalares de equilíbrio conhecidas.

O princípio do trabalho virtual nulo para o equilíbrio de uma única partícula normalmente não simplifica esse problema, já simples, pois e dão a mesma informação. Entretanto, introduzimos o conceito do trabalho virtual para uma partícula, de modo que possamos aplicá-lo posteriormente a sistemas de partículas.

Equilíbrio de um Corpo Rígido

Podemos facilmente estender o princípio do trabalho virtual de uma partícula para um corpo rígido, tratado como uni sistema de elementos pequenos ou partículas rigidamente presas entre si. Como o trabalho virtual realizado em cada partícula do corpo em equilíbrio vale zero, então o trabalho

Figuras

virtual realizado sobre todo o corpo rígido é zero. Para o corpo inteiro, apenas o trabalho virtual realizado por forças externas aparece na avaliação de , pois todas as forças internas ocorrem em pares de forças colineares, iguais e opostas, e o trabalho resultante realizado por estas forças durante qualquer movimento vale zero.

Como no caso de uma partícula, verificamos novamente que o princípio do trabalho virtual não oferece nenhuma vantagem particular à solução para um único corpo rígido em equilíbrio. Quaisquer deslocamentos virtuais considerados, definidos por um movimento linear ou angular, aparecerão em cada termo de , e quando cancelados nos levarão à mesma expressão que obteríamos usando diretamente uma das equações de equilíbrio de força ou de momento.

Essa condição está ilustrada na Fig. 7/6, onde queremos determinar a reação R sob o rolete para uma placa articulada de peso desprezível sob a ação de uma dada força P. Uma pequena rotação considerada, , em torno de O é consistente com a restrição da articulação em O e é tomada como o deslocamento virtual. O trabalho realizado por é , e o trabalho realizado por é . Desse modo, o princípio de que

Cancelando tem-se

que é simplesmente a equação de equilíbrio do momento em torno de O. Assim sendo, nada se ganha usando o princípio do trabalho virtual para um único corpo rígido. O princípio é, entretanto, decididamente vantajoso para corpos interligados, como discutido a seguir.

Equilíbrio de Sistemas Ideais de Corpos Rígidos

Ampliaremos agora o princípio do trabalho virtual ao equilíbrio de um sistema interligado de corpos rígidos. Nosso tratamento será limitado aqui aos chamados sistemas ideais. Esses sistemas são compostos por dois ou mais elementos rígidos interligados por conexões mecânicas, que são incapazes de absorver energia por meiQ de alongamento ou compressão e nas quais o atrito é suficientemente pequeno, podendo ser desprezado.

A Fig. 7/7a mostra um exemplo simples de um sistema ideal onde o movimento relativo entre suas duas partes é possível e onde a posição de equilíbrio é determinada pelas forças externas aplicadas P e F.

Figura

Podemos identificar três tipos de forças que atuam nesse sistema interligado. Elas são, como se segue:

(1) Forças ativas são forças externas capazes de realizar trabalho virtual durante possíveis deslocamentos virtuais. Na Fig. 7/7a as forças P e F são forças ativas porque poderiam realizar trabalho à medida que as conexões se movessem.

(2) Forças reativas são forças que atuam nos apoios, em posições fixas, onde não ocorrem deslocamentos virtuais na direção da força. Forças reativas não realizam trabalho durante um deslocamento virtual. Na Fig. 7/7b a força horizontal exercida pela guia vertical sobre a extremidade com rolamento do elemento não pode realizar trabalho porque não pode existir deslocamento horizontal do rolamento. A força reativa exercida sobre o sistema pelo apoio fixo em O também não realiza trabalho porque O não pode se mover.

(3) Forças internas são forças nas conexões entre elementos. Durante qualquer possível movimento do sistema ou de suas partes, o trabalho resultante realizado pelas forças internas nas conexões vale zero. Isto ocorre porque as forças internas sempre existem em pares de forças iguais e opostas, como indicado para as forças internas e no nó A na Fig. 7/7c. Desse modo, o trabalho de uma força necessariamente cancela o trabalho da outra força durante seus deslocamentos idênticos.

Figuras

Princípio do Trabalho Virtual

Observando que apenas forças ativas externas realizam trabalho durante qualquer possível movimento do sistema, podemos agora enunciar o princípio do trabalho virtual como se segue:

Por restrição queremos dizer impedimento ao movimento devido aos apoios. Enunciamos matematicamente o princípio pela equação

(7/3)

onde representa o trabalho virtual total realizado sobre o sistema por todas as forças ativas durante um deslocamento virtual.

Somente agora podemos ver as vantagens reais do método de trabalho virtual, que são essencialmente duas. Primeiro, não é necessário desmembrar sistemas ideais para estabelecer as relações entre as forças ativas, como geralmente ocorre com o método de equilíbrio baseado nos somatórios de forças e momentos. Segundo, podemos determinar as relações entre as forças ativas diretamente, sem referência às forças reativas. Essas vantagens tornam o método do trabalho virtual particularmente útil na determinação da posição de equilíbrio de um sistema sob cargas conhecidas. Esse tipo de problema contrasta com o problema de determinação das forças atuando em um corpo cuja posição de equilíbrio é conhecida.

O método do trabalho virtual é especialmente útil para os propósitos mencionados, mas requer que as forças de atrito internas realizem um trabalho desprezível durante qualquer deslocamento virtual. Conseqüentemente, se o atrito interno em um sistema mecânico for apreciável, o método do trabalho virtual não pode ser usado para o sistema como um todo, a menos que o trabalho realizado pelo atrito interno seja incluído.

Exemplo 7/3

Para a conexão OA na posição horizontal mostrada, determine a força P sobre a bucha móvel, que impedirá OA de girar sob a ação do momento M. Despreze a massa das partes móveis.

Solução: O esboço ao lado serve como o diagrama de forças ativas para o sistema. Todas as outras forças são ou internas ou forças reativas que não realizam trabalho devido às restrições.

Daremos ao eixo OA um pequeno movimento angular no sentido horário, , com o nosso deslocamento virtual e determinaremos o trabalho virtual resultante realizado por M e P. A partir da posição horizontal do eixo, o movimento angular resulta em um deslocamento para baixo de A igual a

(1)

onde é, claro, dado em radianos.

A partir do triângulo retângulo para o qual a conexão AB é a hipotenusa podemos escrever

Fazemos agora a diferencial da equação e obtemos

(2)

ou

Assim,

e a equação do trabalho virtual torna-se

(3) []

Resp.

Observamos, novamente, que o método do trabalho virtual produz uma relação direta entre a força ativa P e o momento M, sem envolver outras forças que são irrelevantes para essa relação. A solução pelas equações de equilíbrio de forças e momentos, embora bastante simples nesse problema, iria requerer que inicialmente todas as forças fossem consideradas para, então, eliminar as irrelevantes.

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