Capítulo 6 - Treliças

6.1. Definição

Denomina-se treliça plana, o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, cantoneiras, I, U, etc.), interligados entre si, sob forma geométrica triangular, através de pinos, soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, com a finalidade de resistir a esforços normais apenas.

A denominação treliça plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencerem a um único plano. A sua utilização na prática pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc. Dois métodos de dimensionamento podem ser utilizados para as treliças:

• Método dos Nós ou Método de Cremona

• Método de Ritter ou Método das Seções (analíticos e usados com maior freqüência)

6.2. Métodos dos Nós ou Método de Cremona

A resolução de treliças planas pelo método dos nós consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça, seguindo-se os passos descritos a seguir:

(a) determinação das reações de apoio

(b) identificação do tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada ou barra comprimida)

(c) verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando-se sempre os cálculos pelo nó que tenha o menor número de incógnitas.

Exemplo 1 Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

Professor Luciano Rodrigues Ornelas de Lima e-mail: llima@rdc.puc-rio.br Sala 5016 – Bloco A

Solução (a) Cálculo das reações de apoio

As reações de apoio em VA e em VB são iguais, pois a carga P está aplicada simetricamente aos apoios. Portanto,

(b) Identificação dos esforços nas barras

As barras 1 e 5 estão comprimidas, pois equilibram as reações de apoio. A barra 3 está tracionada, pois equilibra a ação da carga P no nó D. As barras 2 e 4 estão tracionadas, pois equilibram as componentes horizontais das barras 1 e 5.

(c) Cálculo dos esforços nas barras

Inicia-se o cálculo dos esforços pelo nó A, que juntamente com o nó B é o que possui o menor número de incógnitas.

PF1

α α= otgc2P sencos2

PF2

Determinada a força na barra 2, o nó que se torna mais simples para os cálculos é o nó D.

Para determinar a força normal na barra 5, utiliza-se o nó B.

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PF5

As forças normais nas barras 4 e 5, podem ser determinadas através da simetria da estrutura e do carregamento aplicado.

Exemplo 2 Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

Solução

O ângulo α formado pelas barras 1 e 2 e pelas barras 4 e 5 deve ser determinado:

37º75,02

(a) Cálculo das reações de apoio

0dFM n

(a priori, adotar-se-á como positivo, o momento no sentido horário)

4 αααααααα

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Agora, pode-se utilizar a equação do somatório das forças verticais para obterse a reação vertical no apoio B.

E finalmente, aplicando-se a equação do somatório das reações horizontais igual a zero, tem-se,

(b) Cálculo dos esforços nas barras

Inicia-se o cálculo dos esforços pelo nó A, que juntamente com o nó B é o que possui o menor número de incógnitas.

Determinada a força F2, o nó que se torna mais simples para prosseguir os cálculos é o nó C.

20 F3=kN Para determinar a força normal na barra 5, utiliza-se o nó B.

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B5Vº37senF= F5 = 20,42 kN

Exemplo 3 Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

Solução

O ângulo α formado pelas barras 1 e 2 e pelas barras 4 e 5 deve ser determinado:

53º1,2

1,6 tg=α⇒=α (sen 53º = 0,80 e cos 53º = 0,60)

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(c) Cálculo das reações de apoio

0dFM n

(a priori, adotar-se-á como positivo, o momento no sentido horário) kN 22VB= Agora, pode-se utilizar a equação do somatório das forças verticais para obterse a reação vertical no apoio B.

E finalmente, aplicando-se a equação do somatório das reações horizontais igual a zero, tem-se,

(d) Cálculo dos esforços nas barras

Iniciando-se o cálculo dos esforços pelo nó A, determina-se a força normal nas barras 1 e 2.

18F V53º sen F1

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kN 16,5 0,6 . 27,5 53º osc F F76=== Finalmente, efetuando-se o equilíbrio do nó E, determina-se a força na barra 5.

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6.3. Métodos das Seções ou Método de Ritter

Para determinar as cargas axiais atuantes nas barras de uma treliça plana, através do método de Ritter, deve-se proceder da seguinte forma:

(a) corta-se a treliça em duas partes; (b) adota-se uma das partes para verificar o equilíbrio, ignorando-se a outra parte até o próximo corte. Ao cortar a treliça deve-se observar que o corte a intercepte de tal forma, que se apresentem no máximo 3 incógnitas, para que possa haver solução, através das equações de equilíbrio. É importante ressaltar que entrarão nos cálculos, somente as barras da treliça que forem cortadas, as forças ativas e reativas da parte adotada para a verificação de equilíbrio. (c) Repetir o procedimento, até que todas as barras da treliça estejam calculadas.

Neste método, pode-se considerar inicialmente todas as barras tracionadas, ou seja, barras que “puxam” os nós, as barras que apresentarem sinal negativo nos cálculos, estarão comprimidas.

Exemplo 4 Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

Solução A altura h é determinada através da tangente de 53º:

m 1,3 h 3º5 tg h≈⇒=

(a) Cálculo das reações de apoio

Devido à simetria da estrutura e do carregamento, VA = VB = P / 2 (b) Cálculo dos esforços nas barras

Para determinar a carga axial nas barras 1 e 2, aplica-se o corte A na treliça e adota-se a parte à esquerda do corte para verificar o equilíbrio.

53º 53º 1 3 5 7

2 6 53º 53º h A B

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53º sen 2 PF

F1 = -0,625 P (barra comprimida) ∑=0Fx

P 53º cos F- F12

F2 = + 0,375 P (barra tracionada) Através do corte B, determina-se as forças nas barras 3 e 4.

2 P 53º sen F3=

P 0,625

(barra tracionada) Como a treliça é simétrica, pode-se concluir que:

F7 = F1 = - 0,625 P F6 = F2 = + 0,375 P F5 = F3 = + 0,625 P

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Exemplo 5 Determinar as forças normais nas barras da treliça dada.

Solução O ângulo α é determinado através de sua tangente.

(a) Cálculo das reações de apoio

0dFM n

(a priori, adotar-se-á como positivo, o momento no sentido horário) kN 30VB= Agora, pode-se utilizar a equação do somatório das forças verticais para obterse a reação vertical no apoio B.

9 A B

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(b) Cálculo dos esforços nas barras Através do corte A, determina-se as cargas axiais nas barras 1 e 2.

F1 = -3,95 kN (barra comprimida) ∑=0Fx

Aplica-se o corte B na treliça, e adota-se a parte à esquerda para cálculo, para que se determine a força axial nas barras 3 e 4.

∑=0Fy kN 24 F3+= (barra tracionada)

(barra comprimida)

Para determinar as forças nas barras 5 e 6, aplica-se o corte C, e adota-se a parte à esquerda do corte para cálculo.

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(barra comprimida)

kN 30F 02 . 18 - 24 . 4 F 266=⇒=+− (barra tracionada) No corte D, isola-se o nó F, para determinar a força na barra 7 e 8.

∑=0Fy kN 36 F7+= (barra tracionada)

kN 30 F F68== (barra tracionada) Através do corte E, determina-se a força axial na barra 9.

(barra comprimida)

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