Matemática básica, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Matemática básica e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! MATEMÁTICA BÁSICA ALUNO: _______________________________________________ ÍNDICE GERAL I. Conjuntos numéricos; II. As quatro operações fundamentais (números decimais); III. Números relativos; IV. Frações ordinárias; V. Potências; VI. Radicais; VII. Operações algébricas; VIII. Equações do 1º grau; IX. Equações do 2º grau; X. Equações irracionais; XI. Inequações do 1º grau; XII. Proporcionalidade; XIII. Relações Trigonométricas; XIV. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções); XV. Noções de Geometria Plana e Espacial; NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 I - CONJUNTOS NUMÉRICOS Esta figura representa a classe dos números. Veja a seguir: N F 0E 0 Naturais “São todos os números positivos inclusive o zero” N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} “Não há números naturais negativos” Z F 0E 0 Inteiros “São todos os números positivos e negativos inclusive o zero” Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} “Não há números inteiros em fração ou decimal” Q F 0E 0 Racionais “São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de zero” Q = {..., , , ...} I F 0E 0 Irracionais “São todas as decimais não exatas, não periódicas e não negativas” I = {..., , , , ...} R F 0E 0 Reais “É a união de todos os conjuntos numéricos, todo número, seja N, Z, Q ou I é um número R (real)” “Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo e o índice par” II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (NÚMEROS DECIMAIS) 1) Adição “Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a operação aditiva, e o resultado é a soma” 2 + 2 = 4 NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 6).)d 48 – 33,45 = 6).)e 2,1 * 3,2 = 6).)f 48,2 * 0,031 = 6).)g 3,21 * 2,003 = 6).)h 8,4708 / 3,62 = 6).)i 682,29 / 0,513 = 6).)j 2803,5 / 4450 = 6).)k (FUVEST) = 6).)l 0,041 * 21,32 * 401,05 6).)m 0,0281 / 0,432 6).)n 6).)o III - NÚMEROS RELATIVOS Definição: É o conjunto dos números positivos, negativos e o zero, que não possuem sinal. 7) Valor absoluto ou Módulo “É um número desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de um número relativo, obtemos um número aritmético, que se denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo, sendo representado pelo símbolo .” Exemplos: 8) Soma e subtração algébrica Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum. Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior. Exemplos: a) 2 + 4 = 6 b) – 2 – 4 = – 6 c) 5 – 3 = 2 d) – 5 + 3 = – 2 e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2 NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22 9) Multiplicação e divisão algébrica Sinais iguais F 0E 0 resposta positiva Sinais diferentes F 0E 0 resposta negativa Isto é: Exemplos: a) 12 * 3 = 36 b) (-12) * (-3) = 36 c) 2 * (-2) = -4 d) (-2) * 3 = -6 e) = 2 f) = -4 g) = 4 h) = -4 10) Expressões numéricas Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. Exemplo: a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ] b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1 11) Decomposição de um número em um produto de fatores primos NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir. Exemplos: 30 = 2 * 3 * 5 21 = 3 * 7 OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1. 12) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. Exemplo: a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720 b) m.m.c. (4; 3) = 12 c) m.m.c. (3; 5; 8) = 120 d) m.m.c. (8; 4) = 8 e) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60 13) Exercícios 13).)a 2 + 3 – 1 = 13).)b – 2 – 5 + 8 = 13).)c – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 = 13).)d 2 * (-3) = 13).)e (-2) * (-5) = 13).)f (-10) * (-1) = 13).)g (-1) * (-1) * (-2) = 13).)h = 13).)i = 13).)j = 13).)k = 13).)l = 13).)m = 13).)n = 13).)o = NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 18) Exercícios Transforme em número misto: a) = b) = c) = Transforme em fração ordinária: a) = b) = c) = Simplifique as frações: a) = b) = c) = Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao menor denominador e comparar os numeradores). OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b” a > b lê-se “a é maior do que b” a) , b) , c) , Resolva: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 k) l) m) n) o) p) Simplifique: a) b) NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 V - POTÊNCIAS Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A. Assim: 2³ = 2 * 2 * 2 = 8 2³ = 8 (- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1 (- 1)4 = 1 CASOS PARTICULARES: a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: A1 = A; 21 = 2 b) Toda potência de 1 é igual a 1: 1² = 1; 1³ = 1 c) Toda potência de 0 é igual a 0: 0² = 0; 0³ = 0 d) Toda potência de expoente par é positiva: (- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9 e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base: 3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32 19) Multiplicação de potências de mesma base Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes. Realmente: Exemplo: 5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125 20) Divisão de potências de mesma base Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes. Realmente: Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 21) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes) Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum. NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 13).)rr (2 * 3²)0 = 13).)ss 4-2 = 13).)tt 2 * 3-1 = 13).)uu = 13).)vv (2-3 * 5-2)-4 = 13).)ww 2x + 1 * 4x = 13).)xx 32x * 24x = 13).)yy 54x : 252x = Exprimir, utilizando potências de 10: a) 20 000 = b) 4 800 000 = c) 0,01 = d) 0,000045 = Efetuar, utilizando potência de 10: a) = b) = VI – RADICAIS Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A. OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo Assim: a) porque 4² = 16 b) porque 2³ = 8 c) porque 34 = 81 29) Propriedade É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical. Exemplos: a) b) c) d) NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica- se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim: 30) Adição e subtração de radicais semelhantes Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Exemplos: a) b) 31) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum. Exemplo: a) b) c) d) 32) Potenciação de radicais Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice. Exemplo: a) b) 33) Radiciação de radicais Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando. Exemplos: a) b) 34) Expoente fracionário NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. Exemplos: a) b) c) d) 35) Racionalização de denominadores 1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração. Exemplo: a) b) c) d) 2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b. Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo: (a + b) * (a – b) = a² - b² Assim: (5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16 Exemplos: a) b) 36) Exercícios Efetuar: a) NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor. Exemplo: (42a³bx4) : (7ax²) = 6a²bx² 39) Produtos notáveis Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles: I. Quadrado da soma de dois termos: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.” Exemplo: (2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x² II. Quadrado da diferença de dois termos: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.” Exemplo: (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9 III. Produto da soma de dois termos por sua diferença: “O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.” Exemplo: (1 - ) * (1 + ) = 1² - ()² = 1 – 3 = - 2 40) Fatoração Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os menores expoentes. NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum. Exemplos: a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se: b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x². Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2) 41) Exercícios Efetuar: a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = j) = Fatorar: a) 15a² - 10ab = b) 3a²x – 6b²x + 12x = NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAU UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma idéia simples mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para representar os números nas equações. O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde (matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele não existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas. Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades são iguais: Exemplo: _________ 400 cm _________ 4 m Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas equações de Viète. Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. A notação de Viète significou o passo mais decisivo e fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Fraçois Viète é conhecido como o Pai da Álgebra. 42) Equação Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA) Exemplo: a) só é verdade para x = 7 b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y, como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4. NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 1º) Seja o sistema: 2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação 1: 3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3): 4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y: 5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está isolado) e determina-se x: 6º) A solução do sistema é: x = 1 e y = 2 COMPARAÇÃO 1º) Seja o sistema: 2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações: e 3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x = x): 4º) Resolve-se a equação e determina-se y: 5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está isolado e determina-se o valor de x: 6º) A solução do sistema é: x = 3 e y = 4 ADIÇÃO Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das incógnitas serem simétricos. Exemplos: a) Somando, membro a membro, vem: Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a critério do aluno), vem: b) Somando, membro a membro, vem: Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério do aluno), vem: 45) Exercícios Resolver as seguintes equações: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Resolver os seguintes sistemas de equações: a) b) c) d) NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Considere o problema: A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai e do filho? IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo: onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a0). A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior expoente igual a 2. Se tivermos b0 e c0 teremos uma equação completa. Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta. 46) Resolvendo Equações de 2º Grau Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja: 1º caso: b = 0 e c = 0; temos então: Exemplo: 3 x² = 0 x² = 0 x = 0 S = {0} 2º caso: c = 0 e b 0; temos então: Exemplo: 3 x² - 12 x = 0 x . (3 x – 12) = 0 x = 0 ou 3 x – 12 = 0 3 x = 12 x = 4 S = {0; 4} 3º caso: b = 0 e c 0; temos então: Exemplo: x² - 4 = 0 x² = 4 x = x’ = 2 e x’’ = -2 S = {-2; 2} A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1 114; por meio dela sabemos que o valor da incógnita satisfaz a igualdade: NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Determina-se x e verifica-se na equação original. Verificação: b) Determinar as raízes da equação: Isolando o radical no 1º membro: Elevando-se ambos os membros ao quadrado: As raízes da equação do 2º grau são: Verificando as raízes na equação irracional: Para x1=0 Para x2=-3 Observe que apenas x=0 verifica a igualdade, assim a raiz da equação original é 0. 49) Exercícios a) b) c) d) e) f) g) h) NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 XI – INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 50) Símbolos de desigualdades São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas. Exemplos: a) 7 > 5 (7 é maior do que 5). b) 3 < 6 (3 é menor do que 6). c) x 1 (x é menor ou igual a 1). d) y4 (y é maior ou igual a 4). e) 1 < x 4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a 4). 51) Inequação do 1º grau Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau. Exemplo: 2x > 4 A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x. Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é: x > 2 x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma inequação do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de uma equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o sinal da desigualdade. Exemplos: a) b) 52) Exercícios Resolver as seguintes inequações: a) NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 b) c) d) e) f) g) XII – PROPORCIONALIDADE 53) Razão Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é representada por , a/b ou a : b, sendo b0. 54) Proporção Proporção é a igualdade de duas razões. Seja a proporção: ou ou Seus elementos se denominam: PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Considerando as proporções: então então então A principal aplicação desta propriedade é a determinação de um elemento desconhecido na proporção. Exemplificando: Determine x na proporção: então ou NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 57) Exercícios Resolva os seguintes exercícios: a) Uma bomba eleva 272 litros de água em 16 minutos. Quantos litros elevará em 1 hora e 20 minutos? b) Doze operários levaram 25 dias para executar uma determinada obra. Quantos dias levarão 10 operários para executar a mesma obra? c) Num livro de 200 páginas há 30 linhas em cada página. Se houvesse 25 linhas em cada página, quantas páginas teria o livro? d) Metade de uma obra foi feita por 10 operários em 13 dias. Quantos tempo levarão para terminar essa obra com 3 operários a mais? e) Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 1600 metros de fio com seção de 12 mm². Se a seção for de 8 mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos? XIII – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 58) Triângulo retângulo Um triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto (90º). Em um triângulo retângulo temos: a) Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. Nas figuras acima são hipotenusas: a, x e r. b) Catetos: são os outros dois lados do triângulo. Nas figuras são catetos: b, c; y, z e s, t. 59) Relações trigonométricas no triângulo retângulo No triângulo retângulo ao lado consideremos o ângulo C formado pelo lado b e a hipotenusa a. O lado b denomina-se cateto adjacente ao ângulo C. (É o cateto que faz parte da constituição do ângulo). O lado c denomina-se cateto oposto ao ângulo C. Os lados do triângulo e um dos ângulos (não o reto), podem ser relacionados por: NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Existem tabelas que fornecem os diversos valores de senos, co- senos e tangentes dos mais diversos ângulos. Assim, conhecido um ângulo de um triângulo retângulo e um dos lados, pode-se determinar os demais lados. A seguir temos uma tabela com os valores das funções trigonométricas para os ângulos de 30º, 45º e 60º. 30 graus 45 graus 60 graus Seno Co-seno Tangente 1 Exemplos: a) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale 4 m e dos ângulos agudos vale 60º. Determine os dois catetos do triângulo. b) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 m e um dos catetos 2,5 m. Determinar o ângulo formado pela hipotenusa e por esse cateto. Determine o outro cateto. c) Em um triângulo retângulo os lados valem 3 m, 4 m e 5 m. Determine o seno, o co-seno e a tangente do ângulo formado entre o lado de 3 m e o de 5 m. Todo triângulo de lado 3, 4 e 5, ou múltiplos destes valores, é denominado Triângulo Pitagórico. 60) Exercícios a) Dado o triângulo retângulo abaixo, calcular: NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 .i sen .ii cos .iii tg b) Um ângulo de um triângulo mede 30º e o cateto que se opõe a este ângulo vale 5 cm. Calcular a hipotenusa e o outro cateto. c) Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 3 cm e um dos ângulos agudos vale 45º. Calcular a medida comum dos catetos. d) Num triângulo retângulo, as medidas dos dois catetos são iguais. Calcular a medida comum dos ângulos agudos. e) Calcular os ângulos formados pelos catetos com a hipotenusa de um triângulo retângulo sabendo que um dos catetos é a metade da hipotenusa. f) Calcular x e y na figura a seguir: XIV – PLANO CARTESIANO (SEU PRODUTO, RELAÇÕES E FUNÇÕES) 61) Os eixos cartesianos Dois eixos graduados, perpendiculares entre si, com origens coincidentes, são denominados eixos cartesianos. 62) Um ponto no plano cartesiano Um ponto situado em um plano cartesiano tem sua posição definida por um par de números (coordenadas do ponto). O primeiro valor numérico representa a abscissa do ponto e o segundo a ordenada do ponto. 63) Uma reta no plano cartesiano NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Geometria Plana possui como sua principal característica pertencer ao R2, isto é, possui duas dimensões sendo estas x e y como em um plano cartesiano, também conhecidas como base (b) e altura (h). OBS: o b da base e o h da altura provem do inglês onde base = base e altura = height. Na Geometria Plana podemos encontrar a área (A) e o perímetro (P) das figuras, onde: Toda figura plana possui uma fórmula para encontrar o valor de seu perímetro e sua área, veja: 67) Apresentação das figuras planas e suas fórmulas Quadrado Retângulo Losango Paralelogramo Trapézio Triângulo Qualquer Triângulo Eqüilátero NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Círculo Circunferência GEOMETRIA ESPACIAL 68) Definição e apresentação da Geometria Espacial Geometria Espacial possui como sua principal característica pertencer ao R³, isto é, possui três dimensões sendo estas x, y e z como no espaço, também conhecidos como base (b) e altura (h) e espessura (e). Na Geometria Espacial podemos encontrar o volume (V) e a área lateral (S), onde: 69) Apresentação das figuras espaciais e suas fórmulas Cubo Pirâmide Cilindro circular reto Cone circular reto NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1 Esfera CURIOSIDADE O ALFABETO GREGO F 0E 0 alfa F 0E 0 beta F 0E 0 gama F 0E 0 delta F 0E 0 epsilon F 0E 0 zeta F 0E 0 eta F 0E 0 teta F 0E 0 iota K F 0E 0 kapa F 0E 0 lambda F 0E 0 mi F 0E 0 ni F 0E 0 csi F 0E 0 ômicron F 0E 0 pi F 0E 0 ro F 0E 0 sigma F 0E 0 tau F 0E 0 ipsilon F 0E 0 fi F 0E 0 qui F 0E 0 psi F 0E 0 omega NTEGRADO COLÉGIO E FACULDADE – APOIO 1 & 2 “Toda segunda-feira das 14 h às 14 h e 50 min” PAGE 1