GA Lista circunferencia

GA Lista circunferencia

(Parte 1 de 3)

Pág 1 d d d r r dr AB

1)Escrever a equação da circunferência cujo centro é o ponto (–3,–5) e raio igual a 7.

2)Uma circunferência tem um diâmetro cujo extremos são A=(2,3) e B=(–4,5), encontre sua equação.

Solução: Usando a distância entre dois pontos, encontramos o diâmetro.

Mas como o raio é a metade do diâmetro, temos:

yxyx yxyx yxyx yx

A B d

Pág 2 r rd d

Para encontrar o ponto do centro, devemos calcular o ponto médio entre A=(2, 3) e B=(–4, 5)

Logo temos a equação da circunferência, com centro P = (–1,4), e r = 10

3)Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto (7,–6) e que passa pelo ponto (2,2).

Solução:

Centro P= (7,–6), passa pelo ponto (2,2). A distância entre o centro e o ponto (2,2) é exatamente o raio da circunferência.

Logo com centro (7,–6) e r = 89

4) Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto P(2,–4) e é tangente ao eixo Y. Solução: A distância entre o ponto central e o eixo y é a coordenada x do ponto P, logo o raio r = 2.

P yyxxP

Pág 3 d d

Logo com centro (2,–4) e r = 2

5) Uma circunferência tem seu centro no ponto (0,–2) e é tangente a reta 5x–12y+2=0. Encontrar a equação.

Solução: O raio pode ser determinado pela equação da distância entre um ponto e uma reta:

Logo com centro (0,–2), e Raio r = 2:

r y reta cbyax dPR

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IIyx IIxyx

IIyx xIyx

6) A equação de uma circunferência é (x – 3)2 + (y + 4)2 = 36. Mostrar que o ponto ( 2, – 5) se encontra no interior da circunferência e o ponto ( –4, 1), no exterior.

Solução:

Para descobrirmos de o ponto está dentro ou fora da circunferência, simplesmente substituímos o valor dos pontos no x e no y da equanção da circunferência.

Se o resultado for menor que r2, está dentro. Se o resultado for maior que r2, está fora. No nosso caso r = 6, ou seja, r2 = 36.

Ponto está dentroPonto está fora

7) Determinar a equação da circunferência cujo raio é 5 e cujo centro é a interseção das retas 3x–2y–24 = 0 e 2x+7y+9 = 0

Solução:

O centro da circunferência está no ponto em comum entre as duas retas: Logo para encontrar o ponto em comum O entre as retas, temos que resolver um sistema de equações.

Substituímos o valor de y em I, temos:

y y y y y y x yx

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8) Uma corda da circunferência x2 + y2 = 25 se encontra sobre a reta cuja equação é x – 7y + 25 = 0. Encontrar o comprimento da corda.

Solução: Pela equação da circunferência, o centro está na origem (0,0).

Para encontrar os pontos A e B que pertencem a reta e a circunferência, devemos colocar ambas as equações em um sistema.

IxIIyx Iyx xIIyx Iyx em substitui 257 25 y 50yy y y

BAy y

Logo substituindo os valores de y, temos:

Logo a distância entre A e B é o tamanho da corda:

d d d d d

9) Determinar a equação da circunferência cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos dois pontos ( 1, 3 ) e ( 4, 6).

Solução:

Como o centro está na origem, então o ponto é do tipo: (x, 0). Como a distância AO é igual a distância BO, logo podemos igualar a eq. da distância entre 2 pontos de AO e BO.

IIyxxd Iyxxd

Elevando ambos ao (quadrado), temos:

x x x x

Logo o centro é (7,0)Então a eq. da circunferência com centro

Substituindo o x =7 em (I), temos: (7,0) e raio r = 45 , é:

d d d xd

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