39245887 - Metodos - Basicos - Da - Analise - de - Estruturas

39245887 - Metodos - Basicos - Da - Analise - de - Estruturas

(Parte 1 de 9)

Luiz Fernando Martha

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-Rio Departamento de Engenharia Civil Rua Marquês de São Vicente, 225 - Gávea CEP 22453-900 – Rio de Janeiro, RJ Tel.: (21) 3114-1190 – Fax: (21) 3114-1195

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1. INTRODUÇÃO1
1.1. Breve histórico sobre a Engenharia Estrutural2
1.2. Análise estrutural3
1.2.1. Modelo estrutural4
1.2.2. Modelo discreto6
1.2.3. Modelo computacional10
1.3. Organização dos capítulos1
2. CONCEITOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL13
2.1. Classificação de estruturas reticuladas13
2.2. Condições básicas da análise estrutural18
2.2.1. Condições de equilíbrio19
2.2.2. Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações21
2.2.3. Leis constitutivas dos materiais2
2.3. Métodos básicos da análise estrutural24
2.3.1. Método das Forças25
2.3.2. Método dos Deslocamentos28
Deslocamentos31
2.4. Comportamento linear e superposição de efeitos32
2.5. Estruturas estaticamente determinadas e indeterminadas39
2.6. Determinação do grau de hiperestaticidade4
3. IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE BARRAS49
3.1. Relações entre deslocamentos e deformações em barras49
3.1.1. Deformações axiais51
3.1.2. Deformações normais por flexão52
3.1.3. Distorções por efeito cortante53
3.1.4. Distorções por torção54
3.2. Relações diferenciais de equilíbrio em barras5
3.3. Equilíbrio entre tensões e esforços internos56
3.4. Deslocamentos relativos internos59
3.4.1. Deslocamento axial relativo interno provocado por esforço normal59
3.4.2. Rotação relativa interna provocada por momento fletor60
cortante61
3.5. Equação de Navier para o comportamento à flexão62
3.6. Comparação entre vigas isostáticas e hiperestáticas63

Sumário 2.3.3. Comparação entre o Método das Forças e o Método dos 3.4.3. Deslocamento transversal relativo interno provocado por esforço 3.4.4. Rotação relativa interna provocada por momento torçor 61 3.7. A essência da análise de estruturas reticuladas.................................................65

4. SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS69
4.1. Traçado do diagrama de momentos fletores69
4.2. Energia de deformação e princípio da conservação de energia73
4.3. Princípio dos trabalhos virtuais78
4.3.1. Princípio das forças virtuais79
4.3.2. Princípio dos deslocamentos virtuais95
4.3.3. Teoremas de reciprocidade102
4.4. Soluções fundamentais para barras isoladas104
barras de pórticos planos105
4.4.2. Coeficientes de rigidez de barra de pórtico plano108
4.4.3. Coeficientes de rigidez à torção de barra118
4.4.4. Reações de engastamento de barra para solicitações externas120
5. MÉTODO DAS FORÇAS129
5.1. Metodologia de análise pelo Método das Forças129
5.1.1. Hiperestáticos e Sistema Principal130
5.1.2. Restabelecimento das condições de compatibilidade132
5.1.3. Determinação dos esforços internos136
5.2. Matriz de flexibilidade e vetor dos termos de carga138
5.3. Escolha do Sistema Principal para uma viga contínua139
5.3.1. Sistema Principal obtido por eliminação de apoios140
5.3.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas internas150
5.4. Escolha do Sistema Principal para um quadro fechado154
5.4.1. Sistema Principal obtido por corte de uma seção155
5.4.2. Sistema Principal obtido por introdução de rótulas158
5.5. Exemplos de solução pelo Método das Forças161
6. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS193
6.1. Deslocabilidades e Sistema Hipergeométrico193
6.2. Metodologia de análise pelo Método dos Deslocamentos196
6.3. Matriz de rigidez global e vetor dos termos de carga203
6.4. Convenções de sinais do Método dos Deslocamentos205
6.5. Exemplo de solução de uma viga contínua207
6.6. Exemplos de solução de pórticos simples214
6.6.1. Pórtico com três deslocabilidades214
6.6.2. Pórtico com articulação interna219
6.6.3. Pórtico com barra inclinada225

Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha 4.4.1. Funções de forma para configurações deformadas elementares de

DEFORMAÇÕES231
7.1. Classificação das simplificações adotadas232
7.2. Consideração de barras inextensíveis233

7. MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM RESTRIÇÕES NAS 7.2.1. Exemplo de solução de pórtico com barras inextensíveis........................236

Luiz Fernando Martha – Sumário

planos com barras inextensíveis244
7.3. Simplificação para articulações completas251
7.3.1. Pórtico com articulação no topo de uma coluna252
7.3.2. Pórtico com articulação dupla na viga e coluna256
7.3.3. Exemplo de solução de pórtico com duas articulações260
7.4. Consideração de barras infinitamente rígidas262
7.4.1. Exemplo de solução de pórtico com dois pavimentos266
7.4.2. Exemplo de barra rígida com giro268
8. PROCESSO DE CROSS273
8.1. Interpretação física do Método da Distribuição de Momentos274
8.2. Distribuição de momentos fletores em um nó276
8.3. Solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio280
8.4. Formalização do Processo de Cross283
8.4.1. Processo de Cross para um pórtico com uma deslocabilidade283
8.4.2. Processo de Cross para uma viga com duas deslocabilidades285
8.5. Aplicação do Processo de Cross a quadros planos289
10. CARGAS ACIDENTAIS E MÓVEIS; LINHAS DE INFLUÊNCIA294
10.1. Introdução294
10.2. Linhas de influência para uma viga biapoiada295
10.3. Método cinemático para o traçado de LI296
10.4. Metodologia para cálculo de LI’s pelo método cinemático304
10.5. Linha de influência de esforço cortante em viga biengastada305
10.6. Linha de influência de momento fletor em viga biengastada306
10.7. Exemplo de determinação de envoltórias de esforços internos307

7.2.2. Regras para determinação de deslocabilidades externas de pórticos 9. MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA (não incluído, ainda sendo escrito)

APÊNDICE A – CONVENÇÃO DE SINAIS PARA ESFORÇOS INTERNOS (não incluído, ainda sendo escrito)

APÊNDICE B – ANALOGIA DA VIGA CONJUGADA313
B.1. Conversão de condições de apoio314
B.2. Roteiro do processo de Mohr316
B.3. Cálculo de deslocamentos em vigas isostáticas316
B.4. Análise de vigas hiperestáticas318
B.5. Determinação de reações de engastamento de vigas321
B.6. Dedução de coeficientes de rigidez de barras323

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................................. 325

1. INTRODUÇÃO

O projeto e a construção de estruturas é uma área da Engenharia Civil na qual muitos engenheiros civis se especializam. Estes são os chamados engenheiros estruturais. A Engenharia Estrutural trata do planejamento, projeto, construção e manutenção de sistemas estruturais para transporte, moradia, trabalho e lazer.

Uma estrutura pode ser concebida como um empreendimento por si próprio, como no caso de pontes e estádios de esporte, ou pode ser utilizada como o esqueleto de outro empreendimento, como no caso de edifícios e teatros. Uma estrutura pode ainda ser projetada e construída em aço, concreto, madeira, pedra, materiais não convencionais (materiais que utilizam fibras vegetais, por exemplo), ou novos materiais sintéticos (plásticos, por exemplo). Ela deve resistir a ventos fortes, a solicitações que são impostas durante a sua vida útil e, em muitas partes do mundo, a terremotos.

O projeto estrutural tem como objetivo a concepção de uma estrutura que atenda a todas as necessidades para as quais ela será construída, satisfazendo questões de segurança, condições de utilização, condições econômicas, estética, questões ambientais, condições construtivas e restrições legais. O resultado final do projeto estrutural é a especificação de uma estrutura de forma completa, isto é, abrangendo todos os seus aspectos gerais, tais como locação, e todos os detalhes necessários para a sua construção.

Portanto, o projeto estrutural parte de uma concepção geral da estrutura e termina com a documentação que possibilita a sua construção. São inúmeras e muito complexas as etapas de um projeto estrutural. Entre elas está a previsão do comportamento da estrutura de tal forma que ela possa atender satisfatoriamente às condições de segurança e de utilização para as quais ela foi concebida.

A análise estrutural é a fase do projeto estrutural em que é feita a idealização do comportamento da estrutura. Esse comportamento pode ser expresso por diversos parâmetros, tais como pelos campos de tensões, deformações e deslocamentos na estrutura. De uma maneira geral, a análise estrutural tem como objetivo a determinação de esforços internos e externos (cargas e reações de apoio), e das correspondentes tensões, bem como a determinação dos deslocamentos e correspondentes deformações da estrutura que está sendo projetada. Essa análise deve ser feita para os possíveis estágios de carregamentos e solicitações que devem ser previamente determinados.

O desenvolvimento das teorias que descrevem o comportamento de estruturas se deu inicialmente para estruturas reticuladas, isto é, para estruturas formadas por

2 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha barras (elementos estruturais que têm um eixo claramente definido). Estes são os tipos mais comuns de estruturas, tais como a estrutura de uma cobertura ou o esqueleto de um edifício metálico. Mesmo em casos de estruturas nas quais nem todos os elementos estruturais podem ser considerados como barras (como é o caso de edifícios de concreto armado), é comum analisar o comportamento global ou parcial da estrutura utilizando-se um modelo de barras.

Este livro está direcionado para a análise de estruturas reticuladas estaticamente indeterminadas, isto é, para a análise de estruturas hiperestáticas. Isso inclui as treliças (estrutura com todas as barras articuladas em suas extremidades), os pórticos ou quadros (planos e espaciais) e as grelhas (estruturas planas com cargas fora do plano). Nele são tratados principalmente os métodos clássicos da análise de estruturas hiperestáticas: o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. Nesse contexto, a análise considera apenas cargas estáticas e admite-se um comportamento linear para a estrutura (análise para pequenos deslocamentos e materiais elásticolineares).

Considera-se como pré-requisito para a leitura deste livro conhecimentos de Mecânica Geral (Estática), Análise de Estruturas Isostáticas (estruturas estaticamente determinadas) e Resistência dos Materiais. Parte-se do princípio de que o leitor entende os conceitos básicos de equilíbrio estático, esforços internos, tensões e deformações. Diversos livros-texto abordam esses assuntos. Como sugestão para leitura, recomenda-se na área de Estática os livros de Hibbeler (1999) ou Meriam e Kraige (1999), na área de Análise de Estruturas Isostáticas os livros de Campanari (1985) ou Süssekind (1977-1), e na área de Resistência dos Materiais os livros de Beer e Johnston (1996), Féodosiev (1977), Hibbeler (2000) ou Timoshenko e Gere (1994).

1.1. Breve histórico sobre a Engenharia Estrutural

Timoshenko (1878-1972), um dos pais da Engenharia Estrutural moderna, descreve em seu livro História da Resistência dos Materiais (Timoshenko 1983) um histórico do desenvolvimento teórico sobre o comportamento de estruturas. A Engenharia Estrutural vai encontrar raízes, se bem que de uma forma empírica, nos grandes monumentos e pirâmides do antigo Egito e nos templos, estradas, pontes e fortificações da Grécia e da Roma antigas. O início da formalização teórica da Engenharia Estrutural é atribuído à publicação do livro Duas Ciências, de Galileu, em 1638, que deu origem a todo o desenvolvimento da ciência desde o século 17 até os dias de hoje. Antes disso, Leonardo da Vinci (1452-1519) já havia escrito algumas notas sobre Estática e Resistência dos Materiais. Durante esses séculos, vários matemáticos e cientistas ilustres deram suas contribuições para formalizar a Engenharia Estrutural tal como se entende hoje. Até o início do século 20 pode-se citar, dentre outros, Jacob Bernoulli (1654-1705), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Coulomb (1736-1806), Navier (1785-1836), Thomas Young (1773-1829), Saint-Venant

Luiz Fernando Martha – Introdução – 3

(1797-1886), Kirchhoff (1824-1887), Kelvin (1824-1907), Maxwell (1831-1879) e Mohr (1835-1918).

A formalização da Engenharia Estrutural através de teorias científicas permite que os engenheiros estabeleçam as forças e solicitações que podem atuar com segurança nas estruturas ou em seus componentes. Também permite que os engenheiros determinem os materiais adequados e as dimensões necessárias da estrutura e seus componentes, sem que estes sofram efeitos prejudicais para o seu bom funcionamento.

A Engenharia Estrutural sofreu um grande avanço no final do século 19, com a Revolução Industrial. Novos materiais passaram a ser empregados nas construções, tais como concreto armado, ferro fundido e aço. Também é nessa época que a Engenharia Estrutural teve um grande desenvolvimento no Brasil. Em seu livro História da Engenharia no Brasil (Telles 1994-1, Telles 1984-2), Pedro Carlos da Silva Telles descreve, com uma impressionante quantidade de informações históricas, esse desenvolvimento. Durante o século 20, os principais desenvolvimentos se deram nos processos construtivos e nos procedimentos de cálculo. A Engenharia Civil brasileira é detentora de vários recordes mundiais, notadamente na construção de pontes.

1.2. Análise estrutural

Como dito, a análise estrutural é a etapa do projeto estrutural na qual é feita uma previsão do comportamento da estrutura. Todas as teorias físicas e matemáticas resultantes da formalização da Engenharia Estrutural como ciência são utilizadas na análise estrutural.

A análise estrutural moderna trabalha com quatro níveis de abstração1 para a estrutura que está sendo analisada, tal como indicado na Figura 1.1. O primeiro nível de abstração é o do mundo físico, isto é, esse nível representa a estrutura real tal como é construída. Essa visão de caráter mais geral sobre a análise de estruturas tem por objetivo definir claramente o escopo deste livro.

Modelo Discreto

Estrutura

Real

Modelo Estrutural

Modelo Computacional

Figura 1.1 – Quatro níveis de abstração para uma estrutura na análise estrutural.

1 Baseado na concepção do paradigma dos quatro universos da modelagem em Computação Gráfica idealizado por Gomes e Velho (1998) e no conceito de análise estrutural de Felippa (2001).

4 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha

1.2.1. Modelo estrutural

O segundo nível de abstração da análise estrutural é o modelo analítico que é utilizado para representar matematicamente a estrutura que está sendo analisada. Esse modelo é chamado de modelo estrutural ou modelo matemático e incorpora todas as teorias e hipóteses feitas para descrever o comportamento da estrutura para as diversas solicitações. Essas hipóteses são baseadas em leis físicas, tais como o equilíbrio entre forças e entre tensões, as relações de compatibilidade entre deslocamentos e deformações, e as leis constitutivas dos materiais que compõem a estrutura.

A criação do modelo estrutural de uma estrutura real é uma das tarefas mais importantes da análise estrutural. Essa tarefa pode ser bastante complexa, dependendo do tipo de estrutura e da sua importância. Por exemplo, o modelo estrutural de um prédio residencial de pequeno porte é concebido de uma forma corriqueira. Em geral, o modelo deste tipo de estrutura é formado por um conjunto de linhas que representam as vigas e colunas do prédio e pelas superfícies que representam as lajes de seus pavimentos. Por outro lado, a concepção do modelo estrutural de um prédio que abriga o reator de uma usina atômica é muito mais complexa e pode envolver diversos tipos de elementos estruturais, das mais variadas formas (por exemplo, superfícies para representar paredes estruturais com furos ou a superfície para representar a casca de concreto armado que cobre o prédio).

Na concepção do modelo estrutural é feita uma idealização do comportamento da estrutura real em que se adota uma série de hipóteses simplificadoras. Estas estão baseadas em teorias físicas e em resultados experimentais e estatísticos, e podem ser divididas nos seguintes tipos:

• hipóteses sobre a geometria do modelo;

• hipóteses sobre as condições de suporte (ligação com o meio externo, por exemplo, com o solo);

• hipóteses sobre o comportamento dos materiais;

• hipóteses sobre as solicitações que agem sobre a estrutura (cargas de ocupação ou pressão de vento, por exemplo).

No caso de estruturas reticuladas, o modelo estrutural tem características que são bastante específicas. O modelo matemático deste tipo de estrutura usa o fato de os elementos estruturais terem um eixo bem definido e está embasado na Teoria de Vigas de Navier, que rege o comportamento de membros estruturais que trabalham à flexão, acrescida de efeitos axiais e de torção. A Figura 1.2 mostra um exemplo de um modelo estrutural bidimensional para o pórtico de um galpão industrial.

Luiz Fernando Martha – Introdução – 5 Estrutura Real Modelo Estrutural

Figura 1.2 – Estrutura real e o seu modelo estrutural.

Observa-se na Figura 1.2 que os elementos estruturais do galpão (vigas e colunas) aparecem representados por linhas. A informação tridimensional das barras fica representada por propriedades globais de suas seções transversais, tais como área e momento de inércia. Portanto, no caso de estruturas reticuladas, a consideração da geometria do modelo é uma tarefa simples: os eixos das barras definem os elementos do modelo estrutural.

Entretanto, a consideração das outras hipóteses simplificadoras que entram na idealização do comportamento da estrutura real pode ser bastante complexa. Por exemplo, a representação das solicitações (cargas permanentes, cargas acidentais, etc.) pode envolver um alto grau de simplificação ou pode ser muito próxima da realidade. O mesmo pode ser dito com respeito à consideração do comportamento dos materiais ou do comportamento das fundações (condições de apoio). No exemplo da Figura 1.2, a ligação da estrutura com o solo foi modelada por apoios que impedem os deslocamentos horizontal e vertical, mas que permitem o giro da base das colunas. Outro tipo de hipótese poderia ter sido feito para os apoios: por que não considerá-los como engastes perfeitos (que impedem também o giro da base)? Nesse mesmo modelo, as cargas verticais representam o peso próprio da estrutura e as cargas horizontais representam o efeito do vento. De quantas maneiras se pode considerar os efeitos do vento ou de outras solicitações?

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