Notasde Aula - Integrais Indefinidas - Metododa Substituicao

Notasde Aula - Integrais Indefinidas - Metododa Substituicao

Cursos de Engenharias e Tecnologias – Cálculo Diferencial e Integral I Professor Luís Humberto Miquelino

Integral Indefinida por substituição

Apresentamos a você a tabela de integrais imediatas e você resolveu alguns exercícios utilizando esta tabela. No entanto, até este momento, para encontrar a integral indefinida de uma função você basicamente utilizou as propriedades da integral indefinida, que vamos agora relembrar:

Soma/subtração de funções no integrando que se transforma em soma/subtração de integrais. Integrando dado pelo produto de uma constante por uma função, que se transforma no produto da constante pela integral da função.

Ao aplicar estas propriedades na integral que se desejava calcular, tornava-se simples buscar na tabela de integrais a fórmula que se deveria utilizar. Mas existem algumas integrais que não podem ser determinadas de maneira direta, e precisamos então recorrer a algumas técnicas que permitem a manipulação do integrando para que possamos recair em expressões cuja integral seja tabelada.

Método da integração por substituição algébrica

O método da integração por substituição algébrica consiste, de uma forma geral, em reescrever a função integrando através de uma substituição de variáveis, permitindo que a integral seja reescrita de uma maneira que possa ser encontrada na tabela e integrais imediatas.

Alguns dos exemplos que iremos apresentar aqui, e resolver pelo método da substituição de variáveis, podem ser encontrados generalizados de forma direta em outras tabelas de integrais, que sejam mais completas que esta fornecida a você no roteiro.. Porém, nossa preocupação em resolver estas integrais pelo método da substituição é de que você entenda o processo algébrico da determinação da integral.

Podemos observar certos aspectos na função integrando que, de um modo geral, facilitam a visualização da substituição mais adequada de ser utilizada. Destacamos que não são regras fixas que estamos apresentando, e sim alguns procedimentos práticos que em boa parte dos casos permitem a solução do problema.

Na função integrando, se:

Existir um produto de duas funções polinomiais, pode-se substituir por outra variável a expressão de maior grau. Existir um produto de funções trigonométricas seno e cosseno, sendo que uma delas esteja elevada a uma potência diferente de um, normalmente a substituição se aplica neste termo elevado à potência. Houver uma expressão polinomial no interior de um radical, ou ainda, no denominador de uma função racional onde o numerador é uma constante, a substituição geralmente se dá trocando o polinômio por uma única variável. Existirem funções trigonométricas, onde a variável aparece multiplicada ou acrescida de algum termo, no interior do arco destas funções, normalmente a substituição se processa trocando todo o arco por uma variável única.

Vamos agora resolver com você alguns exemplos, mas como já dissemos anteriormente, não há um conjunto de regras que devem ser seguidas para

Cursos de Engenharias e Tecnologias – Cálculo Diferencial e Integral I Professor Luís Humberto Miquelino

ser fazer a substituição. Recomendamos ainda que você procure fazer o maior número possível de exercícios sobre a substituição de variáveis, e observe com atenção os exemplos resolvidos que se encontram nas bibliografias, pois desta forma você tomará conhecimento das mais diferentes trocas de variáveis que se pode fazer, facilitando seu processo de aprendizagem e fixação dos conceitos estudados.

Roteiro para a substituição u:

Passo 1: Procure alguma composição (())fgxdentro do integrando para o qual a

substituição (), '()ugxdugxdx== produza uma integral expressa inteiramente em termos de u e du. Isso pode ou não ser possível.

Passo 2: Se o passo 1 tiver sido completado com sucesso, tente calcular a integral resultante em termos de u. Novamente, isso pode ou não ser possível.

Passo 3: Se o passo 2 tiver sido completado com sucesso, substitua u por g(x) para expressar a resposta final em termos de x.

EXEMPLOS: Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição:

21ux=+ Derivando ambos os termos 2duxdx=

Isolando dx, teremos:

2 dudx x uxx∫

Note que podemos cancelar o termo 2x, ficando: 50 u du u c u c

Agora é só substituir u por 21x+.

d) cos5xdx∫ Resposta: 155 senxc+ f) 2.cos.senxxdx∫ Resposta: 3 sen x c+

1) Calcule as integrais usando a substituição indicada:

Cursos de Engenharias e Tecnologias – Cálculo Diferencial e Integral I Professor Luís Humberto Miquelino

2) Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição:

xc+

d) 2xedx∫ Resposta:

xec+

x dx

i) 21xx e dx e+∫ Resposta: xarctgec+ sen t dt

k) cos424sendθθθ−∫ n) 4tt e dt x c+

Comentários