O problema do isomorfismo e a propriedade do normalizador para grupos adjuntos de um anel

O problema do isomorfismo e a propriedade do normalizador para grupos adjuntos...

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matematica

Programa de Pos-Graduacao em Matematica Dissertacao de Mestrado

O Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador para Grupos Adjuntos de um Anel

Ricardo Alcantara Mesquita

Salvador-Bahia Fevereiro de 2009

O Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador para Grupos Adjuntos de um Anel

Ricardo Alcantara Mesquita

Dissertacao de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.

Orientador: Prof. Dr. Thierry Correa Petit Lobao.

Salvador-Bahia Fevereiro de 2009

Mesquita, Ricardo Alcantara.

OP roblemad oI somorfismoeaP ropriedaded oN ormalizador para Grupos

Adjuntos de um Anel / Ricardo Alcantara Mesquita. – Salvador, 2009. 47 f. Orientador: Prof. Dr. Thierry Correa Petit Lobao. Dissertacao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matematica,

Programa de Pos-graduacao em Matematica, 2009.

Referencias bibliograficas. 1. Algebra. 2. Aneis (Algebra). 3. Aneis de grupo. I. Lobao, Thierry Correa Petit. I. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matematica. II. Tıtulo.

O Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador para Grupos Adjuntos de um Anel

Ricardo Alcantara Mesquita

Dissertacao de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Thierry Correa Petit Lobao (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Francisco Cesar Polcino Milies USP

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano UFBA

Agradecimentos

Agradeco a Deus por mais uma conquista, a todos os professores que participaram da minha formacao, em especial ao professor Thierry, que me orientou e esteve ao meu lado durante esta ultima fase do curso, aos colegas que trilharam este caminho comigo e que contribuıram bastante para este momento, a minha famılia e a meus amigos por todo incentivo e motivacao.

Resumo

Neste trabalho, trataremos de dois problemas relevantes na teoria de aneis de grupo integrais, que sao o Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador. Mostraremos alguns resultados que ja foram apresentados na literatura, citando algumas classes de grupos que satisfazem tais problemas e que serao fundamentais para o desenvolvimento do nosso trabalho. Verificaremos a validade de tais propriedades para os grupos cırculos; e para os grupos adjuntos obteremos resultados particulares. Apresentaremos resultados parciais necessarios para que possamos chegar a validade da propriedade do normalizador considerando o grupo adjunto de um anel com unidade e com caracterıstica p, p primo, apresentando a estrutura dos grupos adjuntos nestes casos. Sugeriremos ainda uma possibilidade de extensao para alguns destes resultados, mostrando que estes sao validos para grupos k-adjuntos e k-cırculos, de forma que a verificacao anterior seja obtida como caso particular, fazendo k =1 .

Palavras-chave: Aneis de Grupo Integrais; Problema do Isomorfismo; Propriedade do Normalizador; Grupo Adjunto; Grupo Cırculo.

Abstract

In this work, we deal with two relevant problems in the theory of integral group rings, namely, the Isomorphism Problem and the Normalizer Property. We shall show some results already presented in the literature, and deal some classes of groups which meet such problems and will be fundamental to the development of our work. We shall check the validity of these properties for circle groups and, for adjoint groups, we get some particular results as well. We shall present partial results in order to obtain the normalizer property considering the adjoint group of a ring with unity and characteristic p, p prime, and we also obtain the internal structure of this group. We also suggest possible extensions for some of these results, and we prove that these properties are also valid for k-adjoint and k-circle groups, in this way, the previous results are particular cases with k =1 .

Keywords: Integral Group Rings; Isomorphism Problem; Normalizer Property; Adjoint Groups; Circle Groups.

Sumario

Introducao 1

1.1 Grupos3
1.2 Aneis4
1.3 Aneis de Grupo4

1 Definicoes e resultados preliminares 3

2.1 Os resultados de Sandling10

2 O Problema do Isomorfismo 8

3.1 Os resultados de Coleman19
3.2 Os resultados de Jackowski e Marciniak20
3.3 O resultado de Mazur e os contra-exemplos de Hertweck23

3 A Propriedade do Normalizador 18

4.1 O grupo adjunto como solucao para o (Iso)e o( Nor)25
4.2 O grupo cırculo como solucao para o (Iso)e o( Nor)27
4.3 A estrutura do grupo adjunto29

4 Resultados Obtidos 25

5.1 O grupo k-adjunto como solucao para o (Iso)e o( Nor)40
5.2 O grupo k-cırculo como solucao para o (Iso)e o( Nor)42

5 Possıveis Generalizacoes 39

Conclusao 45 Referencias 46

Introducao

Neste trabalho, trataremos de duas questoes relevantes na teoria de aneis de grupo, o Problema do Isomorfismo e a Propriedade do Normalizador.

Utilizaremos aqui principalmente aneis de grupo integrais, denotados por ZG, em que os elementos do grupo G, que e finito, formam uma base para estrutura e os coeficientes sao tomados no anel dos inteiros, Z.

O Problema do Isomorfismo consiste em verificar se dois grupos serao isomorfos sempre que seus aneis de grupo o forem. A questao passou a ser estudada considerandose aneis de grupo integrais a partir dos trabalhos de Higman, 1940, quando entao se conjecturou: (Iso) ZG ￿ ZH ⇒ G ￿ H

Foi intensa a busca por classes de grupos que satisfazem a tal conjectura. No segundo capıtulo, apresentamos este problema e alguns dos principais resultados dando maior atencao aqueles que consideramos mais importantes para nosso trabalho.

A outra questao abordada por nos, ainda com respeito a teoria de aneis de grupo, foi a Propriedade do Normalizador e que tambem foi apresentada como conjectura: o normalizador de G no grupo das unidades de ZG e igual ao produto de G pelo centro do grupo das unidades. No terceiro capıtulo, trataremos desta questao abordando os resultados que serao mais importantes, principalmente os resultados de Jackowski e Marciniak [7], que terao fundamental utilidade para conclusao dos resultados propostos por nos. Ainda neste capıtulo, falaremos da existencia de uma relacao entre as duas propriedades que foi verificada por M. Mazur em 1995, [10], e dos contra-exemplos apresentados recentemente por M. Hertweck [6], para as duas questoes.

Ate entao buscava-se verificar a validade destas conjecturas, mas, depois dos contra-exemplos citados, mudou-se o caminho da pesquisa, pois agora busca-se determinar as classes de grupos para as quais estas serao satisfeitas.

No capıtulo seguinte, estudaremos o grupo adjunto G de um anel R, sendo que

G e composto por elementos de R que admitem quase-inverso, ou seja, para x ∈ R, existe y ∈ R, tal que x◦y = y◦x =0 , com respeito a operacao associativa x◦y = x+y+xy, cujo neutro e o zero (pag. 18), de modo que (G,◦) e um grupo. No caso particular em que todos os elementos do anel R sao quase-regulares, chamamos o grupo G de cırculo. Considerando R um anel nilpotente, verificamos que o seu grupo adjunto sera nilpotente, daı usando o resultado de K. W. Roggenkamp e L. L. Scott [12], podemos concluir que tais grupos adjuntos representam solucao para o (Iso), e ainda que tais grupos representam resposta positiva para a propriedade do normalizador ja que esta sempre e valida se considerarmos um grupo nilpotente finito. Quando o grupo adjunto e todo o anel, ou seja, trata-se de um grupo cırculo, sem a necessidade de supor um anel nilpotente, conseguimos verificar que estes grupos satisfazem o (Iso), o que nos da um outro caminho para verificarmos um dos resultados de Sandling [13] e ainda conseguimos mostrar que vale a propriedade do normalizador. Estas conclusoes para grupos adjunto e cırculo, no que diz respeito a propriedade do normalizador, sao resultados novos da dissertacao.

Ainda no quarto capıtulo, tentamos mostrar a validade da propriedade do normalizador para um anel R com unidade e caracterıstica prima. Nao chegamos a concluir o resultado, mas acreditamos ter dado um grande passo quando conseguimos mostrar que, neste caso, podemos escrever o grupo adjunto de R, G, como um produto semidireto entre o radical de Jacobson J, de R, e um subgrupo B de G, que pode ser escrito como produto direto de grupos gerais lineares, ou seja, o subgrupo B e da forma

B ￿ GL(n1,Fq1) ×× GL(nk,Fqk

sendo G = J ￿ B. Mostramos ainda que o conjunto dos automorfismos e subgrupo do grupo de automorfismos internos, Inn(GL(n,Fq)), ou seja, o grupo geral linear GL(n,Fq) representa uma solucao para a propriedade de acordo com a tecnica desenvolvida por Jackowski e Marciniak [7]; daı, usando o resultado de Li, Parmenter e Sehgal [8], concluımos que o subgrupo B tambem sera solucao para a propriedade do normalizador. E estes sao tambem resultados novos da dissertacao.

No quinto e ultimo capıtulo, sugeriremos possibilidades de generalizacoes de alguns dos resultados do capıtulo anterior, agora usando grupos k-adjuntos e k-cırculos definidos a partir da operacao x◦ky = x+y+kxy com k inteiro, de forma que se fizermos aqui k =1 , teremos exatamente o que foi obtido antes.

Capıtulo 1

Definicoes e resultados preliminares

Neste capıtulo, citaremos algumas definicoes e resultados importantes a respeito das Teorias de Grupos, Aneis e Aneis de Grupo que serao utilizados no decorrer do trabalho. Estes resultados poderao ser verificados pelo leitor nas referencias de C. P. Milies e S. K. Sehgal [1], S. K. Sehgal [14] ou em qualquer outro livro introdutorio de Teoria de Aneis de Grupo.

Definicao 1.1. Seja H um subgrupo de um grupo G, definimos o normalizador de H em

Definicao 1.2. Um grupo H e chamado nilpotente se contem uma serie de subgrupos:

{1} = H0 ⊂ H1 ⊂⊂ Hn = H

tal que cada subgrupo Hi−1 e normal em H e cada quociente Hi/Hi−1 esta contido no centro de H/Hi−1, 1 ≤ i ≤ n.

O Teorema seguinte da uma caracterizacao usual para grupos nilpotentes finitos.

Teorema 1.3. Seja G um grupo finito. As seguintes condicoes sao equivalentes: i) G e nilpotente. i) Todo subgrupo de Sylow de G e normal em G. i) G e o produto direto de seus subgrupos de Sylow.

Definicao 1.4. Um grupo G e chamado de grupo metabeliano se contem um subgrupo normal A tal que ambos, A e G/A sao abelianos.

Exemplo 1.5. Seja S3 o grupo das permutacoes em um conjunto de tres elementos e A3 o grupo das permutacoes pares. Temos que A3 ￿ S3, sendo que A3 e S3/A3 sao abelianos, mas S3 nao e abeliano, ou seja, S3 e metabeliano.

Muitas informacoes obtemos a respeito de um anel analisando o conjunto dos seus elementos que possuem inverso multiplicativo, chamados unidades e definidos como segue:

E facil observar que tal conjunto e um grupo multiplicativo.

Sejam I e J dois subaneis de um anel R, o produto denotado por I · J ou IJ ´e o conjunto de todas as somas finitas ￿ imjm, em que im ∈ I e jm ∈ J. Em particular podemos pensar em R2 = R.R = R, ou ainda, generalizando, em Rn para algum inteiro positivo n. Podemos entao fazer a seguinte definicao:

Definicao 1.7. Dizemos que um anel R e nilpotente, se existe um inteiro positivo n tal que Rn =0 .

Exemplo 1.8. Seja T0(n,K) o anel das matrizes triangulares superiores de ordem n, com coeficientes no corpo K e entradas iguais a 0 na diagonal principal. Podemos observar

Definicao 1.9. Uma algebra A sobre um corpo K e separavel se em qualquer extensao L : K a algebra A ⊗K L e semi-simples (a Jacobson).

1.3 Aneis de Grupo

Definicao 1.10. Sejam G um grupo e R um anel com unidade. Um anel de grupo, denotado por RG, e o conjunto de todas as combinacoes lineares formais da forma

g∈G agg em que ag ∈ R, g ∈ G e ag =0 para quase todos os g, isto e, apenas um numero finito de coeficientes sao diferentes de 0 em cada uma dessas somas, com as seguintes operacoes:

i) A soma de dois elementos em RG:￿￿

i) O produto de dois elementos em RG:￿￿ g,h∈G agbhgh

Observe que gh denota a operacao no grupo G. Reordenando os termos em i), podemos escrever o produto αβ como

u∈G cuu em que cu = gh=u agbh.

i) Produto de elementos de RG por elementos λ ∈ R :λ ￿￿

ou seja, RG tem uma estrutura de modulo sobre R.

Observe que para 1 ∈ R, o elemento neutro do anel R e g ∈ G, temos que 1g = g, de modo que G ⊆ RG es e λ ∈ R, e e ∈ G e o elemento neutro do grupo G temos que λe = λ e ntao R ⊆ RG, ou seja, existem copias de G e R em RG.

Nesta dissertacao, trabalharemos com aneis de grupo integrais, ou seja, tomaremos coeficientes no anel dos inteiros, Z, e os grupos considerados serao sempre finitos.

e chamado aplicacao aumento de ZG e seu nucleo, denotado por ∆(G), e chamado ideal de aumento de ZG.

Note que, se um elemento α = ￿ g∈G agg pertence a ∆(G), entao ε

g∈G ag = 0; entao podemos escrever α na forma

g∈G agg −

Como, claramente, todos os elementos da forma g−1, g ∈ G, pertencem a ∆(G), a observacao acima mostra que {g − 1: g ∈ G, g ￿=1 } e um conjunto de geradores de ∆(G) sobre Z, e daı obtemos a seguinte caracterizacao para o ideal aumento:

em que, apenas um numero finito de coeficientes ag e diferente de 0.

Definicao 1.13. Seja H um subgrupo de G e seja S um conjunto de geradores de H, entao, ∆(G,H) e o ideal a esquerda de ZG gerado pelo conjunto {s − 1: s ∈ S}.

O resultado a seguir e uma interpretacao para ∆(G,H) quando H e um subgrupo normal de G. Neste caso o homomorfismo canonico ω : G −→ GH pode ser estendido ao epimorfismo ω : ZG −→Z(GH) dado porω ￿￿

Corolario 1.15. Seja H um subgrupo normal de um grupo G, entao, ∆(G,H) e um ideal bilateral de ZG e ZG

A demonstracao deste resultado segue dos teoremas de isomorfismo de aneis. Quando estudamos o anel de grupo integral ZG, a aplicacao

e uma anti-involucao, ou seja, satisfaz as seguintes propriedades: i)( α + β)∗ = α∗ + β∗, i)( αβ)∗ = β∗α∗, i) α∗∗ = α. Assim como definimos o grupo multiplicativo das unidades para um anel A, dados um grupo G e o anel Z, U(ZG) denota o grupo das unidades do anel de grupo ZG.C omo a aplicacao aumento ε : ZG → Z, e um homomorfismo de aneis com unidade e ε(1) = 1, segue que ε(u) ∈ U(Z)= {−1,1}, para todo u ∈ U(ZG).

Denotamos por U1(ZG) o subgrupo das unidades de aumento 1 em U(ZG), isto e, U1(ZG)= {u ∈ U(ZG): ε(u)=1 }, chamado tambem de subgrupo das unidades normalizadas.

Para uma unidade u do anel de grupo integral ZG temos que ε(u)= ±1, entao vemos que U(ZG)= ±U1(ZG). Uma unidade trivial de ZG e um elemento da forma ±g,g ∈ G.

A seguinte proposicao e um resultado acerca da aplicacao definida acima e que sera utilizada na demonstracao de alguns resultados apresentados adiante.

Definicao 1.17. Um isomorfismo ψ : ZG −→ZH e chamado de Isomorfismo Normalizado se, para todo elemento α ∈ ZG, temos que ε(α)= ε(ψ(α)) ou, equivalentemente, se, para todo elemento g ∈ G, temos ε(ψ(g)) = 1.

Observamos que, se existe um isomorfismo ψ : ZG −→ZH, entao existe tambem um isomorfismo normalizado entre estes aneis de grupo. De fato, e suficiente considerar uma nova aplicacao ξ : ZG −→ ZH dada da seguite forma: para cada elemento α =n￿

i=1 rigi ∈ ZG definimos ξ(α)= e ε e um epimorfismo, temos ε(ψ(g)) inversıvel em Z). Podemos ver que ξ e, de fato, um isomorfismo normalizado.

Seja Cg a classe de conjugacao de g em G, para algum g ∈ G. Seja Cg= ￿

x∼g x, denominado a soma de classe da classe Cg, entao y−1 Cgy = Cg para todo y ∈ G,o que e precisamente dizer que Cg ecentral em ZG. Alguns resultados de D. Glauberman e D. Passman nos revelam a existencia de uma correspondencia bijetora entre as classes de conjugacao de G e H que preserva algumas caracterısticas destas classes, vejamos:

Proposicao 1.18. Se ψ : ZG −→ZH e um isomorfismo e Cg uma soma de classe em

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