Resumo Eletromagnetismo

Resumo Eletromagnetismo

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EletromagnetismoEletromagnetismoEletromagnetismoEletromagnetismo

∇.B=0 Prof. Evandro C. Gondim

Livro texto:Eletromagnetismo - Willian H. Hayt Jr (Livro Técnico)
Eletromagnetismo - Kraus-Carver (Ed. Guanabara)

1 Livros recomendados: Eletromagnetismo - Joseph A. Edminister (Coleção Schaum)

CAPITULO 1 - RECORDAÇÃO DA TEORIA BÁSICA DA ANÁLISE VETORIAL 1 - Sistemas de coordenadas.

São usados os três sistemas: cartesiano, cilíndrico e esférico sendo que a escolha depende da geometria do campo vetorial. De um sistema para outro não passa-se vetores, passa-se apenas coordenadas de pontos.

2 - Representação de unitários e vetores

Para evitar confusão com outras grandezas usa-se as seguintes notações

cilíndricas:A=Arar+Aøaø+Azaz
esféricas:A=Arar+Aθθθθaθθθθ +Aøaø

cartesianas: A=Axax+Ayay+Azaz obs.: usa-se o r em lugar do ρ porque esta letra grega é usada para outras grandezas. No restante adotaremos sempre a notação do livro texto.

3 - Os três sistemas e mudanças de coordenadas de um ponto dos sistemas cilíndrico e esférico para o sistema cartesiano.

Todos os sistemas se referenciam sempre ao sistema cartesiano.

Coordenadas cilíndricas:ar×aφ=az

y r P(r ; φφφφ ; z)

• Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar

• O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°

• Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o cilíndrico e vice-versa:
cartesiana para cilíndricas:x=8 ; y=7 ; z=6
r=√82+72=10,63; ø=arctg(7/8)=41,186° ; z=6
x=10cos40°=7,6; y=10sen40°=6,428 ; z=7
Coordenadas esféricas:ar×aθ=aφ

Exemplos: cilíndricas para cartesianas: r=10 ; ø=40°; z=7 r y P(r ; θθθθ ; φφφφ)

• Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar.

• O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°.

• O sentido de contagem de θ é no sentido do ponteiro dos relógios a partir do eixo z variando de 0 a

180° apenas, para evitar que um ponto possa ser definido por dois conjuntos de coordenadas diferentes.

• Para memorizar: o angulo que não e comum aos dois sistemas no caso θ é que fica limitado a apenas 180°.

• Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o esférico e vice-versa:
x=rsenθcosø , y=rsenθsenø , z=rcosθ
Exemplos:
cartesiana para esféricas:x=3 ; y=5 ; z=9
r=√32+52+92=10,724; θ=arccos(9/10,724)=32,939° ; ø=arctg(5/3)= 59,036°

esféricas para cartesianas: r=35 ; ø=60° ; θ=29° x = 35sen29°cos60°=8,484 ; y = 35sen29°sen60°=14,695 ; z = 35cos29°=30,612

4 - Campos vetoriais

Temos um campo vetorial quando os módulos das componentes dos vetores nas três direções não são expressas por escalares e sim por funções que assumem valores diferentes para cada ponto no espaço. Em eletromagnetismo temos inúmeros campos vetoriais tais como por exemplo um campo elétrico qualquer que poderíamos exprimir por:

E=x3ax+(x2+z4)ay+ y7azeste mesmo campo poderia variar com o tempo E=[x3ax+(x2+z4)ay+ y7az]senwt

5 - Operações básicas com vetores que são muito usadas em Eletromagnetismo.

Em todas as leis existem o uso do produto escalar e do produto vetorial. O produto vetorial em particular evita que se use a antiga regra da mão direita com os três dedos da mão em leis que podem ser expressas por este produto.

ax ayaz
AxB= Ax Ay Az
Bx By Bz

Para achar o sentido desta operação usamos a regra do parafuso de rosca destrógira ou a mão direita:

Além dos produtos escalar e do produto vetorial que são iguais nos três sistemas é muito comum na resolução de problemas nos depararmos com as seguintes operações:

5.1 - Dados dois pontos encontrar a distância entre os mesmos e o vetor correspondente.

Só pode ser usado para coordenadas cartesianas não valendo para outros sistemas.

Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2):d= √ (x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2

Em outros sistemas temos que converter os pontos para coordenadas cartesianas. Vetor apontando do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2)

R= (x2−x1)ax+(y2−y1)ay+(z2−z1)az
final origem

5.2 - Unitário aN normal a uma reta e apontando da reta para o ponto e menor distância R.

Dado uma reta caracterizada por:

R=()()xxyy122122−+−; aR=
aax

y y2 x2

P(x1;y1;z1)

5.3 - Componente de um vetor B em uma direção especificada. O produto escalar resolve este tipo de problema

em uma direção especificada por um vetor A: []2|A| AB.A

5.4 - Referenciar um vetor R à um sistema de coordenadas qualquer

R=r−−−−r’ com r’ sendo um vetor da origem do sistema para a origem do vetor a r

r’ R=r−−−−r’
origem r

5.5 - Vetores deslocamento dL: Importante: O vetor dL é sempre positivo !

cilíndricas:dL=drar+rdøaø+dzaz
esféricas:dL=drar+rdθaθθθθ +r senθdøaø

cartesianas: dL=dxax+dyay+dzaz Elementos diferenciais de volume e área: 6 - As arestas são as componentes do vetor deslocamento

Praticamente todas as fórmulas se baseiam nestes elementos diferenciais cartesianas cilíndricas

esféricas

cartesianas dv=dxdydz ds=dxdy; ds=dydz ; ds=dzdx

SISTEMA VOLUME ÁREA cilíndricas dv=rdrdødz ds=rdrdø ; ds=rdødz ; ds=drdz esféricas dv=r2senθdrdødθ ds=r2senθdθdø ; ds=rdθdr ; ds=rsenθdrdø

7 - Vetor área ds=dsaN onde ds é o modulo do vetor que igual à área aN é um vetor unitário normal a área e com sentido determinado em cada lei formulada

8 - Vetores genéricos

Podem ser definidos como vetores apontando de qualquer ponto pertencente à uma reta, área ou até um volume para um determinado ponto no espaço.

Exemplos esclarecem o assunto:

Em coordenadas cartesianas vetor apontando de uma reta sobre o eixo z para um ponto P(x1;y1;z1) com x1,y1,z1>0

R21=x1ax+y1ay−(z −z1)az ou R21=x1ax+y1ay+(z1−z)az
com z1>z2 e z1,z2>0R12= −xax−yay+(z1−z2)az

y x z Plano z=z1

fica negativo porque z1<z2
com z1<z2 e z1,z2<0R 12= − xax−yay+(z1−z2)az

Em coordenadas cilíndricas vetor apontando de uma superfície cilíndrica infinita centrada no eixo z para um ponto situado na origem P(0;0;0):

R12= −rar−zaz

não é coordenada negativa é sentido negativo.

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