Exercícios Resolvidos de Álgebra 1 2013 Retas, Planos e Distâncias Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle

Exercícios Resolvidos de Álgebra 1 2013 Retas, Planos e Distâncias Alfredo...

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14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Retas, Planos e Distâncias

* Da Lista de exercícios de Álgebra 1 – Retas, Planos e Distâncias (UDESC-CCT-JOINVILLE); * Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

Lista: exercício 4.

x+ 3y@z@2 =0V como interseção de dois planos, obter a sua equação simétrica.

Solução:

Esta não é a única solução, porém é uma das mais fáceis. Para resolver precisamos de conhecimentos sobre planos e retas. 1 – A reta r é dada na forma de interseção, portanto resolvemos o sistema para encontrar a equação da reta ou o ponto, neste caso faremos para o ponto. 2 – Olhe para as equações da reta r, e veja que se fizermos x = 2 , as equações serão simplificadas.

x+ 3y@z@2 = 0 Q fazendo x= 2 e somando as equações:

agora substituimos y = 0 na equação e encontramos z também igual à zero quando x = 2 b c :

Essas coordenadas encontradas são um ponto da reta interseção dos planos, portanto P=(2,0,0). Agora só precisamos encontrar o vetor, há várias maneiras, uma delas é o produto vetorial dos vetores normais dos planos dados, e são facilmente encontrados, conhecendo-se a equação geral do plano:

os vetores são v1 jjjjjjjjjjjjjjjjk 1,1,1 b c e v2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk 1,3,@1 b c

Fazendo o produto vetorial v1 jjjjjjjjjjjjjjjjjjk jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk :

i j k d e e este é o vetor simultaneamente ortogonal aos dois planos dados, portanto é o normal de um outro plano que contém o ponto P = 2,0,0 b c!

Substituindo na equação geral do plano:

@4x + 2y + 2z + 8 = 0 dividimos por 2 para simplificar, e encontramos o vetor da reta! b c bc

Agora substituímos na equação simétrica da reta:

x@x1a f= y@y1b f= z@z1c f [ x@2

@2 f= y@01 f= z@01 f ou

@2 f=y= z

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Lista: exercício 15 Calcular as equações das retas r que contém o ponto A(2,-1,1) e que interceptam a reta

X\ Z segundo um ângulo de 45º.

Solução:

O exercício não fornece figuras. Desenhado (veja a figura 1) é assim que a reta r deve se parecer, pois forma 45º com s. Nesse caso o ângulo dado só serve para encontrar o vetor diretor da reta r, isso por que 45º é a metade de 90º. Então se encontrarmos um vetor perpendicular à s jjk (chamaremos de t jjk), então podemos encontrar r jjjjk , porque podemos somar os vetores.

Temos a equação paramétrica da reta s, e pela formula identificamos o vetor e o ponto, então:

Z Então o vetor de s é s jjk 2,0,1 b c

Agora precisamos de um vetor perpendicular a s jjk 2,0,1 b c , pela condição de ortogonalidade, dois vetores são ortogonais quando o produto escalar é igual a zero, então:

b c

Note que a componente b do vetor s jjk é nula, fazendo o vetor t jjk também pertencer ao plano x0z.

Fazendo x = 1 temos: s jjkAt jjk=0 Q 2,0,1

b c

Agora somamos os vetores (veja a figura 2): t jjk

Que é o vetor diretor da reta r.

Pode-se fazer t jjk @s jjk que dará um outro vetor para r, mas também formando 45º com a reta s). t jjk b c .

Encontramos os vetores e temos o ponto A(2,-1,1), então é só escrever as equações paramétricas de r.

Zou r:

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Lista: exercício 16.

Obter a equação do plano que contém a reta r: x + y@z + 3 =0 x @y + 2z + 5 =0V e seja paralelo ao eixo das abscissas.

1 - Para resolver devemos obter o vetor da reta, e o Ponto

Solução: 2 - Depois devemos obter um vetor perpendicular ao eixo das abscissas e ao vetor da reta. Que será o vetor do plano, pois cumpre com as restrições.

1 – Das equações da reta r, resolvemos o sistema, colocamos na forma reduzida e tiramos as informações necessárias (ou seja escrevemos y e z em função de x).

x @y + 2z + 5 =0V (basta somar as duas equações)

r : x + y@z + 3 = 0 multiplicamos por 2 para fazer z desaparecer b c

Da fórmula da equação reduzida podemos identificar o vetor e o ponto.

b c

b c isso quando fazemos x = 0

Agora devemos fazer o produto vetorial do vetor diretor da reta, pelo vetor diretor do eixo das abscissas, assim encontramos um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores dados.

i j k

e este é o vetor normal n jjjjjjjjkb c do plano!

Como já temos o ponto Pr0,@1,@8 b c , agora é só substituir na equação geral do plano.

@2y+ 3z+ 2 = 0 multiplicamos por @ 1 a para simplificar! b c

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