Exercícios Resolvidos - Vetores Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle

Exercícios Resolvidos - Vetores Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle

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GUIDG.COM – PG. 1

27/7/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos - Vetores

* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. * Das Provas de Álgebra-1, UDESC-CCT.

Calcular o módulo dos vetores u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk e u jjjjjjjjk @v jjjjjjjjk

, sabendo que |u jjjjjjjjk|=4, |v jjjjjjjjk|=3 e o ângulo entre u jjjjjjjjk e v jjjjjjjjk é de

Solução:

O exercício pede |u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk| e |u jjjjjjjjk

@v jjjjjjjjk|, e para isso devemos lembrar de três conceitos:

I) Ângulo entre dois vetores:

cosθ = u jjjjjjjjk

A v jjjjjjjjk

| u jjjjjjjjk|A|v jjjjjjjjk|

I) Fatoração, quadrado perfeito:

| u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk|2=|u jjjjjjjjk|2+2u jjjjjjjjk

A v jjjjjjjjk+|v jjjjjjjjk|2

I) Lei dos co-senos:

| u jjjjjjjjk

@v jjjjjjjjk|2=|u jjjjjjjjk|2+ |v jjjjjjjjk|2@2|u jjjjjjjjk|A|v jjjjjjjjk|cosθ

Do primeiro conceito:

u jjjjjjjjk

A v jjjjjjjjk

4A3 f[ 12 u jjjjjjjjk

A v jjjjjjjjk assim u jjjjjjjjk

A v jjjjjjjjk=6

Do segundo encontramos |u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk|:

| u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk|2=|u jjjjjjjjk|2+2u jjjjjjjjk

A v jjjjjjjjk+|v jjjjjjjjk|2 tirando a raizquadrada dos dois lados:

| u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk|= |u jjjjjjjjk|2+2u jjjjjjjjk

A v jjjjjjjjk+|v jjjjjjjjk|2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Outra coisa importante é quanto ao módulo:

Se | u jjjjjjjjk|=4 e |v jjjjjjjjk| =3, então elevando os dois ladosao quadrado temos:

Agora substituímos na fórmula anterior:

| u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk|= 16+2.6+9pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 37pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Do terceiro encontramos |u jjjjjjjjk

@v jjjjjjjjk|:

| u jjjjjjjjk

@v jjjjjjjjk|2=|u jjjjjjjjk|2+ |v jjjjjjjjk|2@2|u jjjjjjjjk|A|v jjjjjjjjk|cosθ aquitambémtiramosa raizquadrada dosdoislados:

| u jjjjjjjjk

@v jjjjjjjjk|= |u jjjjjjjjk|2+ |v jjjjjjjjk|2@2|u jjjjjjjjk|A|v jjjjjjjjk|cosθqwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

| u jjjjjjjjk @v fffswwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww = 13pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Portanto |u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk| = 37pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwe|u jjjjjjjjk

@v jjjjjjjjk|= 13pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

GUIDG.COM – PG. 2

Livro: Pg.92, exercício 40.

Determinar u jjjjjjjjk

Av jjjjjjjjk+u jjjjjjjjk

Aw jjjjjjjjjjjjjjjjk+v jjjjjjjjk

Aw jjjjjjjjjjjjjjjjk

, sabendo que u jjjjjjjjk+v jjjjjjjjk+w jjjjjjjjjjjjjjjjk=0, |u jjjjjjjjk|=2, |v jjjjjjjjk|=3 e |w jjjjjjjjjjjjjjjjk|= 5pwwwwwwwwwwwwwwwww .

Solução:

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