Metrologia erros

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CAPÍTULO 4 O ERRO DE MEDIÇÃO

4.1 A Convivência com o Erro

O erro de medição é caracterizado como a diferença entre o valor da indicação do SM e o valor verdadeiro o mensurando, isto é:

onde E = erro de medição

I = indicação V = valor verdadeiro

Na prática, o valor "verdadeiro" é desconhecido. Usa-se então o chamado valor verdadeiro convencional (VVC), isto é, o valor conhecido com erros não superiores a um décimo do erro de medição esperado. Neste caso, o erro de medição é calculado por:

onde VVC = valor verdadeiro convencional

Para eliminar totalmente o erro de medição é necessário empregar um SM perfeito sobre o mensurando, sendo este perfeitamente definido e estável. Na prática não se consegue um SM perfeito e o mensurando pode apresentar variações. Portanto, é impossível eliminar completamente o erro de medição. Mas é possível, ao menos, delimitá-lo.

Mesmo sabendo-se da existência do erro de medição, é ainda possível obter informações confiáveis da medição, desde que a ordem de grandeza e a natureza deste erro sejam conhecidas.

4.2 Tipos de Erros

Para fins de melhor entendimento, o erro de medição pode ser considerado como composto de três parcelas aditivas: sendo

E = erro de medição Es = erro sistemático

Ea = erro aleatório Eg = erro grosseiro

4.2.1 O erro sistemático

E = I - V(4.1)

O erro sistemático (Es): é a parcela de erro sempre presente nas medições realizadas em idênticas condições de operação. Um dispositivo mostrador com seu ponteiro "torto" é um exemplo clássico de erro sistemático, que sempre se repetirá enquanto o ponteiro estiver torto.

Pode tanto ser causado por um problema de ajuste ou desgaste do sistema de medição, quanto por fatores construtivos. Pode estar associado ao próprio princípio de medição empregado ou ainda ser influenciado por grandezas ou fatores externos, como as condições ambientais.

A estimativa do erro sistemático da indicação de um instrumento de medição é também denominado Tendência (Td).

O erro sistemático, embora se repita se a medição for realizada em idênticas condições, geralmente não é constante ao longo de toda a faixa em que o SM pode medir. Para cada valor distinto do mensurando é possível ter um valor diferente para o erro sistemático. A forma como este varia ao longo da faixa de medição depende de cada SM, sendo de difícil previsão.

4.2.2 O erro aleatório

Quando uma medição é repetida diversas vezes, nas mesmas condições, observam-se variações nos valores obtidos. Em relação ao valor médio, nota-se que estas variações ocorrem de forma imprevisível, tanto para valores acima do valor médio, quanto para abaixo. Este efeito é provocado pelo erro aleatório (Ea).

Diversos fatores contribuem para o surgimento do erro aleatório. A existência de folgas, atrito, vibrações, flutuações de tensão elétrica, instabilidades internas, das condições ambientais ou outras grandezas de influência, contribui para o aparecimento deste tipo de erro.

A intensidade do erro aleatório de um mesmo SM pode variar ao longo da sua faixa de medição, com o tempo, com as variações das grandezas de influência, dentre outros fatores. A forma como o erro aleatório se manifesta ao longo da faixa de medição depende de cada SM, sendo de difícil previsão.

4.2.3 O erro grosseiro

O erro grosseiro (Eg) é, geralmente, decorrente de mau uso ou mau funcionamento do SM. Pode, por exemplo, ocorrer em função de leitura errônea, operação indevida ou dano do SM. Seu valor é totalmente imprevisível, porém geralmente sua existência é facilmente detectável. Sua aparição pode ser resumida a casos muito exporádicos, desde que o trabalho de medição seja feito com consciência. Seu valor será considerado nulo neste texto.

4.2.4 Exemplo

A figura 4.1 exemplifica uma situação onde é possível caracterizar erros sistemáticos e aleatórios. A pontaria de quatro tanques de guerra está sendo colocada à prova. O objetivo é acertar os projéteis no centro do alvo colocado a uma mesma distância. Cada tanque tem direito a 15 tiros. Os resultados da prova de tiro dos tanques A, B, C, e D estão mostrados nesta mesma figura.

As marcas dos tiros do tanque "A" se espalharam por uma área relativamente grande em torno do centro do alvo. Estas marcas podem ser inscritas dentro do círculo tracejado desenhado na figura. Embora este círculo apresente um raio relativamente grande, seu centro coincide aproximadamente com o centro do alvo. O raio do círculo tracejado está associado ao espalhamento dos tiros que decorre diretamente do erro aleatório. A posição média das marcas dos tiros, que coincide aproximadamente com a posição do centro do círculo tracejado, reflete a influência do erro sistemático. Pode-se então afirmar que o tanque "A" apresenta elevado nível de erros aleatórios enquanto o erro sistemático é baixo.

No caso do tanque "B", além do raio do círculo tracejado ser grande, seu centro está distante do centro do alvo. Neste caso, tanto os erros aleatórios quanto sistemáticos são grandes. Na condição do tanque "C", a dispersão é muito menor, mas a posição do centro do círculo tracejado está ainda distante do centro do alvo, o que indica reduzidos erros aleatórios e grande erro sistemático. Já a situação do tanque "D" reflete reduzidos níveis de erros aleatórios e também do erro sistemático.

Obviamente que, do ponto de vista de balística, o melhor dos tanques é o tanque "D", por acertar quase sempre muito próximo do centro do alvo com boa repetitividade. Ao se comparar os resultados do tanque "C" com o "A", pode-se afirmar que o tanque "C" é melhor. Embora nenhum dos tiros disparados pelo tanque "C" tenha se aproximado suficientemente do centro do alvo, o seu espalhamento é muito menor. Um pequeno ajuste na mira do tanque "C" o trará para uma condição de operação muito próxima do tanque "D", o que jamais pode ser obtido com o tanque "A".

Tanto no exemplo da figura 4.1, quanto em problemas de medição, o erro sistemático não é um fator tão crítico quanto o erro aleatório. Através de um procedimento adequado é possível estimálo relativamente bem e efetuar a sua compensação, o que eqüivale ao ajuste da mira do tanque "C" da figura 4.1. Já o erro aleatório não pode ser compensado embora sua influência sobre o valor médio obtido por meio de várias repetições se reduza na proporção de 1/n, onde "n" é o número de repetições considerado na média. A seguir são apresentados procedimentos para a estimativa quantitativa dos erros de medição.

4.3 Estimação dos Erros de Medição

Se o erro de medição fosse perfeitamente conhecido, este poderia ser corrigido e sua influência completamente anulada da medição. A componente sistemática do erro de medição pode ser suficientemente bem estimada, porém não a componente aleatória. Assim, não é possível compensar totalmente o erro.

O conhecimento aproximado do erro sistemático e a caracterização da parcela aleatória é sempre desejável, pois isto torna possível sua correção parcial e a delimitação da faixa de incerteza ainda presente no resultado de uma medição. A forma de estimação destes erros é apresentada a seguir:

4.3.1 Erro sistemático/Tendência/Correção

O erro determinado pela equação (4.2) contém intrinsecamente as parcelas sistemática e aleatória. Nota-se que, quando a medição é repetida várias vezes, o erro aleatório assume tanto valores positivos quanto negativos. De fato, geralmente, o erro aleatório pode ser modelado como tendo distribuição aproximadamente normal com média zero. Na prática, sua média tende a zero à medida que aumenta-se o número de dados observados, uma vez que este tende a distribuir-se simetricamente em valores positivos e negativos.

Desconsiderando o erro grosseiro, e assumindo que um número suficientemente grande de medições foi efetuado, a influência do erro aleatório no valor médio das medições tende a ser desprezável. Sendo assim, o valor médio de um número grande de medidas efetuadas repetidamente estará predominantemente afetado pelo erro sistemático. Logo, para um dado valor do mensurando, o Es poderia ser determinado pela equação (4.4), se fosse considerando um número infinito de medições: onde

Es = erro sistemático MI = média de infinitas indicações do SM VVC = valor verdadeiro convencional

Na prática não se dispõe de infinitas medições para determinar o erro sistemático de um SM, porém sim um número restrito de medições, geralmente obtidas na calibração do instrumento.

Ainda assim, a equação (4.4) pode ser usada para obter uma estimativa do erro sistemático. Define-se então o parâmetro Tendência (Td), como sendo a estimativa do erro sistemático, obtida a partir de um número finito de medições, ou seja:

Td = MI - VVC (4.4a)

No limite, quando o número de medidas tende a infinito, a tendência aproxima-se do valor do erro sistemático.

Alternativamente o parâmetro correção (C) pode ser usado para exprimir uma estimativa do erro sistemático. A correção é numericamente igual à tendência, porém seu sinal é invertido, isto é:

C = - Td (4.4b)

O termo “correção” lembra a sua utilização típica, quando, normalmente, é adicionado à indicação para “corrigir” os efeitos do erro sistemático. A correção é mais freqüentemente utilizado em certificados de calibração.

Nota: A estimativa do erro sistemático através da tendência (ou da correção) envolve uma faixa de incertezas que é função do número de medições repetidas e das incertezas do padrão utilizado como VVC (vide Anexo I).

4.3.2 Erro aleatório

O erro aleatório distribui-se em torno do valor médio das indicações. É possível isolar seu valor individual para uma determinada medição através da seguinte equação:

onde

Eai = erro aleatório da i-ésima indicação

Ii = valor da i-ésima indicação individual MI = média de infinitas indicações

Esta expressão pode ser obtida por substituição da equação (4.4) na (4.3) se o erro grosseiro for desconsiderado. Este erro varia a cada medição de forma totalmente imprevisível. O valor

Eai = Ii - MI (4.5) instantâneo do erro aleatório tem pouco ou nenhum sentido prático, uma vez que é sempre variável e imprevisível.

A caracterização do erro aleatório é efetuada através de procedimentos estatísticos. Sobre um conjunto finito de valores de indicações obtidas nas mesmas condições e do mesmo mensurando, determina-se o desvio padrão experimental, que, de certa forma, está associado à dispersão provocada pelo erro aleatório.

É comum exprimir de forma quantitativa o erro aleatório através da repetitividade (Re). A repetitividade de um instrumento de medição expressa uma faixa simétrica de valores dentro da qual, com uma probabilidade estatisticamente definida, se situa o erro aleatório da indicação. Para estimar este parâmetro, é necessário multiplicar o desvio padrão experimental pelo correspondente coeficiente “t” de Student, levando em conta a probabilidade de enquadramento desejada e o número de dados envolvidos.

onde:

Re = faixa de dispersão dentro da qual se situa o erro aleatório (normalmente para probabilidade de 95%) t = é o coeficiente “t” de Student s = desvio padrão experimental da amostra de n medidas

Os procedimentos para a determinação do coeficiente “t” de Student, e estimação do desvio padrão da amostra "s" e da repetitividade (Re) são detalhados no anexo I.

4.3.3 Exemplo de determinação da Tendência e Repetitividade

A figura 4.2 apresenta um exemplo onde são estimados os erros de uma balança eletrônica digital. Para tal, uma massa padrão de 1.0 ± 0.00001 kg é medida várias vezes por esta balança. Sabe-se de antemão que o valor do erro da massa padrão é desprezável em relação aos erros tipicamente esperados para esta balança. Neste caso, o valor desta massa pode ser assumido como o valor verdadeiro convencional (VVC) do mensurando. Note que a determinação dos erros de um SM só é possível quando se mede um mensurando já previamente conhecido, isto é, apenas quando o VVC é conhecido.

A primeira indicação obtida é 1014 g, que difere do valor verdadeiro convencional 1000 g. Nota-se a existência de um erro de medição de E = 1014 - 1000 = + 14 g. Entretanto, ao medir-se uma única vez não é possível identificar as componentes dos erros sistemático e aleatório. Os valores das indicações obtidas nas onze medições adicionais apresentaram variações. Como trata-se de um mensurando invariável, a dispersão dos valores das indicações é atribuída aos efeitos dos erros aleatórios do sistema de medição. A distribuição dos valores das indicações obtidas, mostrada na parte "c" da figura, agrupa-se em torno do valor central médio de 1015 g e tem uma forma que se assemelha a uma distribuição normal (anexo I). Por observação direta nota-se que os valores das doze indicações estão enquadradas dentro da faixa de 1015 ± 3 g.

A tendência e o desvio padrão experimental foram estimados com o auxílio da tabela da figura 4.2b. O valor médio das indicações foi determinado (MI = 1015 g) e com este a tendência foi estimada por meio da equação (4.4a), sendo obtido:

Td = 1015 - 1000 g Td = 15 g 1

A quarta coluna da figura 4.2b é obtida subtraindo-se o valor da tendência do erro total (E), resultando no erro aleatório para cada ponto. Nota-se que, neste caso, este erro distribui-se aleatoriamente em torno do zero dentro do limite ± 3 g.

A aplicação da equação I.8 (ver apêndice I) leva ao seguinte valor para o desvio padrão experimental:

s = 1,65 g

O coeficiente t de Student para 12 medidas, portanto 1 graus de liberdade, e confiabilidade 95% é de 2,20 (fig. I.5). Logo, a repetitividade (Re), dentro da qual situa-se o erro aleatório, resulta em:

Re = ± (2,20 . 1,65) g Re = ± 3,6 g

Isto quer dizer que existe 95% de probabilidade do erro aleatório se enquadrar dentro de uma faixa simétrica de ± 3,6 g centrada em torno do valor médio 1015g.

observação:

Caso o valor real da massa aplicada à balança fosse desconhecido, o leigo muito provavelmente afirmaria, após o experimento, que o valor da mesma é:

m = (1014 ± 3) g

Ao fazer isto ele estaria cometendo um grave erro, pelo fato de não considerar a existência do erro sistemático. A forma correta da determinação do resultado da medição (RM) será exposta no capítulo 7, porém, pode-se adiantar que, desconsiderando as demais parcelas de incerteza, o RM poderia ser expresso por:

onde:

MI = valor médio das indicações Td = tendência Re = repetitividade n = número de medidas efetuadas que leva a: RM = (1000 ± 1) g

4.3.4 Curva de erros de um sistema de medição

Os valores estimados para a tendência e repetitividade de um sistema de medição normalmente são obtidos não apenas em um ponto, mas são repetidos para vários pontos ao longo da sua faixa de medição. Estes valores podem ser representados graficamente, facilitando a visualização

RM = MI -Td Re do comportamento metrológico do SM nas condições em que estas estimativas foram obtidas. O gráfico resultante é denominado de curva de erros.

O procedimento efetuado no exemplo da figura 4.2 é repetido para valores adicionais de massas cujos valores verdadeiros convencionais sejam conhecidos (massas padrão). Costuma-se selecionar dentro da faixa de medição do SM um número limitado de pontos, normalmente regularmente espaçados, e estimar o Td e Re para cada um destes pontos. Tipicamente são usados em torno de 10 pontos na faixa de medição.

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