Matemática Moderna

Matemática Moderna

Fragmento de trabalho entregue e apresentado em 2010 na Disciplina de História da Matemática do curso Licenciatura Plena em Matemática da UPE-FACETG. Autor Leandro Vieira, e-mail: vieira.leandro@ymail.com

A Matemática nos séculos X e XI

Pode-se dizer que a matemática no século X, começa quando em uma conferência David Hilbert lança 23 problemas, que jugava ele, serem de estrema importância para o desenvolvimento do conhecimento humano como um todo. Isso aconteceu em 1900 no congresso internacional de matemática, oportunidade singular que Hilbert encontrou para listar seus vinte e três problemas, até aquele momento sem solução.

Muitos Historiadores da Ciência acreditam que mais da metade da matemática existente foi desenvolvida a partir de 1900, e alguns dizem que até mesmo após 1950. De fato os vinte e três problemas de David Hilbert contribuíram de maneira significativa para o surgimento de novas áreas, e até mesmo na reformulação de áreas que já existiam. O estudante iniciante tem a impressão de que a matemática é uma ciência antiga e imutável, e que tudo nela já está bem definido cabendo a ele apenas aceita-la como é. Na verdade esse século e o século passado mostraram que a matemática é uma ciência dinâmica, que há toda uma gama de problemas a ser resolvida.

Na verdade grande parte da matemática, se não toda a matemática, estudada nos ensinos fundamental e médio, e até mesmo no ensino superior, foi desenvolvida nos princípios da formação do homem até aproximadamente o Renascimento, toda a matemática surgida a partir daí é muito abstrata e difícil, e por isso fora do contexto da escola convencional. Mas apesar dessa grande “distância” do cotidiano, a matemática moderna encontrou muitas aplicações no desenvolvimento de várias outras ciências e na criação de muitos campos de pesquisas em diversas áreas do conhecimento humano.

A matemática se desenvolve como ciência independente, tendo seus campos puros de pesquisa, e muitas vezes as aplicações ocorrem dentro desses campos. Mas pode-se dizer que a parte notável do desenvolvimento na matemática moderna foram as aplicações. Apesar da abstração da matemática moderna, os instrumentos matemáticos desenvolvidos encontram aplicabilidade imediata em ramos do conhecimento que acabavam de surgir. Como é o caso da Teoria da Relatividade, e da Mecânica Quântica, que se utiliza de campos matemáticos que até então jugava-se totalmente distante da realidade física; como por exemplo, a geometria em espaços superiores utilizada pela Teoria da Relatividade, e Teoria das Matrizes utilizada pela

Mecânica Quântica.

Se a Física pode ser considerada como matemática aplicada, a engenharia é física aplicada. Hoje no dia-a-dia encontramos milagres da engenharia, como os celulares, por exemplo, que são na verdade pura matemática aplicada. Um exemplo importante dessa ligação entre matemática e tecnologia são os computadores. Criados por matemáticos e engenheiros, são peças fundamentais na sociedade atual. Essa forte ligação entre a matemática e a informática fez surgir uma nova área de pesquisa na matemática: a ciência da computação.

Em matemática muitas vezes quando se pesquisa numa área determinada pouco se pensa na aplicabilidade do que se estuda. Dessas “pesquisas puras” por assim dizer vem surgindo nesse século, aplicações espantosas, e resultados inesperados. Como é caso da Teoria dos Números, a mais pura área da matemática, que encontrou aplicações na segurança da informação, e se encontra nas transações bancárias, nos cartões de crédito, nos correios eletrônicos etc.. Às vezes ao se estudar uma aplicação óbvia da matemática se encontra novos campos de estudo puros, como Lorentz que estudava massas de ar e desenvolveu a Teoria do Caos. Como dizia Nikolay Lobachevsky (1792 – 1856): “Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.”.

Desenvolvimento da matemática: Os Fundamentos da Matemática

Os problemas de Hilbert abriram novos horizontes para a Pesquisa matemática.

Sendo que alguns deles causaram profundas mudanças e chegaram mesmo a abalar toda a matemática existente. Exemplo disso: o primeiro problema de Hilbert falava da Hipótese do Contínuo de Cantor, deixada em aberto por ele, fundador da Teoria dos Conjuntos. Cantor se perguntava se havia um tipo de infinito entre o infinito enumerável dos Números Naturais, e o do infinito não enumerável dos Racionais. A teoria dos conjuntos parecia ser uma base sólida onde a matemática poderia ser construída, o próprio Hilbert era um profundo admirador dessa teoria.

Cantor Construiu sua teoria tomando como base seres sem definição precisa, e formulou afirmações irrefutáveis e também que não podiam ser provadas sobre esses seres, os axiomas, e a partir daí podia-se criar e se provar outras afirmações, os teoremas. Mas havia nesse método simplificado um detalhe pequeno e fundamental: alguns dos axiomas de Cantor abriam espaços para contradições, isso era inadmissível numa ciência que tentava se sustentar numa base lógica, longe de contradições; o próprio Cantor já se tinha deparado com essa situação, quando percebeu a impossibilidade da existência de um conjunto universal (que contivesse todos os conjuntos).

Essa situação piorava com o passar do tempo quando novas contradições iam surgindo era preciso fazer algo para mudar essa situação antes que os Conjuntos fossem obrigatoriamente extintos da matemática, colocando a ciência e os matemáticos num abismo sem fim de dúvidas. Começou uma reforma drástica nos fundamentos da matemática com lógicos como Bertrand Russel. Como ficaram assombrados os matemáticos depois que Gӧdel provou a existência de “teoremas” que não poderiam ser provados nem muito menos refutados, mas assustados ainda ficaram os matemáticos quando Paul Cohen provou ser o primeiro problema de Hilbert um desses estranhos “teoremas”. Na verdade essas afirmações não eram bem Teoremas, pois não podiam ser provadas, o que acontecia era que sua veracidade era consistente com a matemática como um todo; o curioso é que também a falsidade podia ser encarada, podendo a partir daí se criar um matemática também consistente. Daí se ia por alga abaixo o sonho de matemáticos de colocar a matemática em bases lógicas sólida, Nicolas Bourbaki, um dos maiores e mais enigmáticos matemáticos do século X disse: “Deus existe porque a matemática é consistente, mas o diabo também porque não podemos provar este fato”.

Outro ponto chave nesse século foi o uso de computadores como parte fundamental na investigação da matemática. Matemáticos como Alan Turing, já acreditavam nos computadores como meio de resolver teoremas. Programava-se um computador, e o abastecia com axiomas, e com base nesses axiomas o computador provava ou refutava as afirmações que lhe fossem apresentadas. Isso colocou em cheque o conceito de demonstração até então vigente e abria uma nova filosofia daquilo que matemáticos conheciam como prova. Foi se utilizando de computadores que Gӧdel Provou seu teorema da impossibilidade de se provar ou refutar certas afirmações.

Aplicações

O ápice da matemática moderna são as aplicações. Áreas até então desvinculadas da física encontraram utilidade na compreensão da natureza, e mesmo do ser humano. A física atual passou a ser mesmo uma área de estudo na matemática. Muitos dos físicos modernos primeiro desenvolveram suas teorias dentro da matemática para só depois estendê-las para os processos físicos. Quando Niels Bohr desenvolveu sua Teoria Quântica, ele sabia que a matemática existente não bastava para estudo e provas nesse novo campo, com base nisso ele buscou inventar uma nova matemática que servisse aos propósitos da nova ciência. Nascia a moderna teoria das Matrizes. A Mecânica Quântica pega emprestada também a Teoria dos Grupos, campo da abstrata Álgebra Moderna, que para muitos era uma invenção matemática sem utilidades práticas, e também da Teoria das probabilidades, dentre outros campos matemáticos.

Outro caso seria a Teoria da Relatividade de Einstein que reviveu uma obscura geometria criada por Hiemman, além de se utilizar de ferramentas da análise e do cálculo. Mas não foi apenas dentro da física que a matemática encontrou aplicações, o Cálculo ganhou uma nova veste sendo utilizado nos mais variados campos do conhecimento humano, se tornando uma ferramenta indispensável desde a biologia até as ciências sociais. Sem falar na utilização da matemática para as ciências e engenharias como um todo.

Talvez a mais notável aplicação da matemática seja a informática. Essa nova ciência que surge, cheia de aplicações e que se tornou talvez até um dos ramos do conhecimento mais presente no cotidiano do ser humano. A bem dizer: a internet que está presente em quase tudo que é feito atualmente, desde compras até comunicação, do entretimento até a segurança.

Com o estudo moderno do átomo notou-se que a química era na verdade uma área da física. A ciência passou a ser encarada como um todo interligado. Cientistas como Stephen Hawking; um das maiores mentes da atualidade, físico, e matemático que ocupa a mesma cadeira de Newton na universidade de Cambridge; busca criar uma grande teoria unificadora. Na verdade já era um sonho do Gigante Albert Einstein, quando lhe foi apresentado a Mecânica Quântica, Juntar sua Teoria a essa (a teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande).

Apesar dessa íntima ligação entre ciência e matemática existe uma diferença muito acentuada entre uma prova matemática e uma prova científica. Muitas vezes, para citar um exemplo, para explicar as estranhezas do átomo, os físicos diziam que a natureza era ambígua e que aquilo deveria ser aceito como uma verdade. Pelo menos explicava os fatos até aquele momento conhecidos. Essa abertura é inaceitável em matemática, quando um teorema é provado se espera que independentemente do que vier a acontecer esse teorema continuará a ser verdadeiro. A crise nos fundamentos da matemática fez rever essa rigidez matemática e abriu uma questão fundamental: até que ponto a matemática pode ser encarada em termos rigorosos? Certa vez Einstein afirmou: Deus não joga dado com o universo, Heisenberg, o criador do princípio da incerteza, como resposta disse: Ele não apenas joga como também esconde os dados.

Matemática Pura

Não apenas em aplicações houve grande desenvolvimento da matemática, mas também em seu campo puro de atuação. Como exemplo a Teoria dos Jogos. A Teoria dos Jogos pode ser definida como a teoria dos modelos matemáticos que estuda a escolha de decisões ótimas sob condições de conflito. Ela foi criada para se modelar fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisão interagem entre si. Apesar de ser um campo puro da matemática, ela encontrou inúmeras aplicações, por exemplo, em economia. Inclusive John Nash maior nome da Teoria dos Jogos, ganhou o Prêmio Nobel da Economia em 1994. John Nash não foi o criador da Teoria, ela pode ser encarada como o produto dos estudos de John Von Neumann, ele mesmo foi quem a apresentou a Nash. John Nash deu uma nova cara aos Jogos. Nash se afastou da pesquisa em matemática depois de ter um ataque de esquizofrenia, sua história de vida deu a origem ao livro Uma Mente Brilhante, depois o livro acabou virando filme.

Lorentz estudava massas de ar modelando-as através de um programa de computador, quando resolveu modificar um número nos seus modelos, isso em algumas poucas casas decimais, achando que isso traria poucas mudanças no modelo como um todo. Ele ficou impressionado ao perceber que todo o modelo havia sofrido mudanças drásticas depois daquelas mudanças, para Lorentz era como se um bater de asas de borboleta na América causasse um furacão na Ásia. Nascia aí a Teoria do Caos, uma das leis mais importantes do universo. A ideia da Teoria do Caos é que uma pequenina mudança no início de um evento qualquer pode trazer consequências enormes e absolutamente desconhecidas no futuro.

A Teoria do Caos tonou-se um forte campo de pesquisa matemática, o mais interessante foi quando Bernoit Mandelbrot viu que havia semelhanças entre as equações de Lorentz e a geometria Fractal, descoberta sua, a geometria fractal busca interpretar de melhor forma a geometria da natureza. Muitos cientistas notaram que as equações de Lorentz não só apareciam em massa de ar, mas também em vários outros fenômenos da natureza. Parecia que o caos do universo podia ser enfim compreendido.

Muitos outros desenvolvimentos também se deram em Análise, como Teoria dos números, e diversas áreas como Topologia e Álgebra Linear. A modelagem matemática encontrou na física matemática sua fonte de pesquisa. E como disse Stephen Hawking: a matemática é única linguagem que temos em comum com a natureza. É quase impossível falar em matemática pura sem falar em matemática aplicada. Nesse século e no século passado a matemática consolidou sua posição de instrumento indispensável para a compreensão da natureza, por outro lado os matemáticos viram-na ressurgir com toda uma área de pesquisa nova, como ciência pura que é.

Nicolas Bourbaki

Nicolas Bourbaki é umas das figuras mais inusitadas do cenário moderno.

Historicamente Bourbaki foi um militar, lutando junto com Napoleão, sendo que sua campanha foi de muita valia para França, levando em consideração o fato de que lhe foi oferecido o trono da Grécia. O Nicolas que falamos teve uma importância extrema para o desenvolvimento da matemática e também sistematização do ensino. Com um domínio extremo de praticamente todos os campos da matemática, Nicolas Bourbaki tem inúmeras publicações que vão desde a análise até a geometria diferencial.

Na verdade Nicolas Bourbaki não existe! Ao final da segunda guerra mundial muitos países da Europa se virão na difícil situação de retomar suas atividades normais. Para a matemática a situação era semelhante, os centros de pesquisa europeus haviam se transferidos para a América, e muitos matemáticos importantes se afastaram de vez de seus estudos. Sendo assim um grupo de matemáticos francês, recém-formados da école Normale Supéreure de Paris encarregados de ensinar nas diversas universidades francesas passou a discutir a validade dos textos antigos. Nos dizeres de Henry Cartan um dos integrantes desse grupo: “somos a primeira geração pós-guerra. Há uma lacuna antes de nós. Temos que começar tudo de novo.”

O grupo de amigos resolveu então refazer o livro texto de E. Goursat, utilizados nos cursos de Cálculo. Após algumas discursões resolveram então modificar todo o livro sem acrescentar nada de novo, mas estabelecendo uma melhor didática de apresentação. Muitos dos membros permaneceram unidos e em atividade durante toda a sua vida, e sua contribuição ultrapassou de longe sua proposta inicial. O curioso é que o grupo passou a escrever sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki, sendo que nome Bourbaki foi escolha de André Weil, um dos líderes do grupo, enquanto o segundo nome foi sugestão de sua esposa. Como os integrantes participavam do meio acadêmico francês o grupo sempre recebia novos integrantes, provenientes de várias universidades. Para que um matemático continuasse no grupo era necessário além de um talento raro para essa ciência, mas que também mostrasse interesse e participasse das discussões que havia entre os integrantes.

Muito tempo se passou até que fossem descobertos os nomes dos integrantes do grupo Bourbaki. O grupo Bourbaki acreditava que a antigas divisões da matemática não mais deveriam ser consideradas válidas e resolveram propor uma nova divisão. Todo o que o grupo produzia era de extrema qualidade técnica, pois cada resultado era discutido por todos sendo publicado apenas quando tinha a aprovação de todos. Num consenso eles resolveram que o estudo sistemático dessa da ciência matemática deveria começar com Teoria dos Conjuntos, isso se reflete até hoje no ensino, sendo que muitos dos livros do primeiro ano do ensino médio começam com conjuntos. Foi a partir de Bourbaki que se inicia o modelo de estudo sistemático da axiomática, sendo que seus livros eram bastante rigorosos.

Nicolas Bourbaki foi o introdutor de muitas notações como os símbolos N, Z,

Q, R e C para representar os conjuntos numéricos. Seus livros são referência mundial em termos de técnica, e foram muito bem aceitos pela comunidade matemática da época. Mas apesar disso foi em 1985 sua última publicação, o grupo passou a se envolver em problemas com as editoras sobre direito de publicar seus livros e acabou se dissolvendo.

Uma coisa curiosa nessa história é o grupo acabou dando características humanas a Nicolas sendo que comemorou junto com seus amigos e familiares o casamento de sua filha. Isso abre uma brecha na história da matemática: quantos colossos matemáticos não foram na verdade grupos semelhantes ao grupo Bourbaki?

E o Futuro?

O século X foi bastante turbulento, se ao mesmo tempo em que havia um desenvolvimento bastante acentuado em todos os ramos do conhecimento humano, também houve as duas grandes guerras, ao passo que no final do século sentia-se o medo de uma trágica guerra nuclear. Todo esse progresso põe em cheque a matemática, pois a mesma matemática que explica o caos do universo é utilizada na fabricação de armas, e a economia que se utiliza tão bem de modelos matemáticos é grande opressora das massas, cabendo a poucas pessoas os seus frutos. Fica uma pergunta: vale a pena todo o desenvolvimento impulsionado pela ciência no geral, se na verdade uma parcela pequena da população é que na verdade se beneficia com isso?

O século XXI inicia a era mais ambígua da história, se por um lado existe a nanotecnologia e a internet, que mostram a que ponto ser humano evoluiu, um quarto da população mundial vive na miséria. Até que ponto valeu a pena esse desenvolvimento, se o planeta sofre, e toda a humanidade começa a sentir as consequência do consumo degenerado das reservas naturais e da poluição.

A matemática linda das pesquisas e das aplicações é também a matemática utilizada para controlar a humanidade pelo sistema capitalista. Esse século traz além da necessidade de mais pesquisa, a necessidade de se resolver a pergunta: “Para que tudo isso?”. Pondo a humanidade numa situação de se avaliar, pois caso não aconteça, sofrerá a pena de extinguir-se.

A ciência é peça fundamental na vida do ser humano, mas vale salientar que é através dela que o ser humano é escravizado, e que o sentido da vida passou a uma esfera mais técnica: manter o sistema funcionando. A matemática é o veículo que impulsiona o desenvolvimento dessa ciência que ao mesmo tempo em que é útil nos aprisiona.

Cogito ergo Sun

Muitos matemáticos do século XIX achavam que a matemática estava em seus últimos momentos. Jugavam eles que tudo que havia de ser descoberto já o havia sido. Isso era só não um pensamento puramente matemático, mas em, toda a ciência como um todo. No final do século XIX um William Thompson, grande físico, chegou a dizer que em física quase tudo já havia sido explicado, exceto dois pontos. Vale salientar que esses dois detalhes a que Thompson se referia deram origem Mecânica Quântica e Teoria da Relatividade. O século X mostrou que todos eles estavam enganados, havia muita coisa a se estudar e a matemática estava mais produtiva do que nunca. Matemáticos do X pensavam que tudo podia ser compreendido pela mente humana. Mas foi provado o contrário: existem coisas que nos fogem ao alcance. E nesse despontar de século muitos estudiosos acham que a matemática se transformou num monstro, que acabará a destruir a si mesmo. Ressurge a ideia Platônica de mundo, e inundado de Mecânica Quântica o mundo começa a questionar até a existência. Curioso, para Descartes, questionar e existir eram coisas que mutuamente se implicavam: “penso logo existo”, a ciência duvida dessa incontestável razão. Outra tenência da matemática atual é forte especialização, praticamente não existem matemáticos universais, mas apenas técnicos específicos que dominam um instrumento qualquer da matemática. Isso devido ao grande avanço e grande quantidade de conhecimento de matemático atualmente. Mas afinal o que se espera da matemática? O ressurgimento da geometria, mas com outras vestes, a análise começa a se encaixar na Ciência com um papel semelhante ao Cálculo, e a modelagem matemática é ainda mais útil, encontrando aplicações em todos os ramos do conhecimento: as equações diferenciais estão pro toda parte, no crescimento da população até os batimentos cardíacos. E o que se espera mais da matemática nesse século são suas aplicações á informática. “A inteligência artificial está por aí”.

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