Movimento de Projéteis

Movimento de Projéteis

TERRA E UNIVERSOmecânica

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9.1 Introdução

Existe uma gama relativamente grande de movimentos que ocorrem em duas dimensões, isto é, movimentos que ocorrem num plano. Dentre eles, gostaríamos de destacar o problema de objetos em movimento mas ocorrendo próximos à superfície da Terra (movimento dos projéteis). Posteriormente, analisaremos o movimento dos planetas, satélites e cometas, os quais são também movimentos que ocorrem em duas dimensões, mas ocorrendo a grandes distâncias.

No quarto dia, ou quarta jornada, do seu livro “discurso e demonstrações matemáticas sobre duas novas ciências” Galileu fez um exaustivo estudo do movimento dos projéteis. Dentre os pontos altos do seu estudo, é importante ressaltar quatro aspectos percebidos por ele: 1. O movimento se dá num plano vertical. 2. O movimento pode ser decomposto em um movimento uniforme, ao longo de um plano horizontal, e um movimento uniformemente variado ao longo de um eixo na vertical. 3. A trajetória é um segmento de parábola. Essa curva é descrita como uma das cônicas. Esse fato, como apontado por simplício nos diálogos, não era conhecido até então. De acordo com o enunciado do seu primeiro teorema:

Fig. 9.1 Projéteis podem ser colocados em movimento

“Um projétil dotado de um movimento uniforme horizontal composto por um movimento acelerado naturalmente (movimento uniformemente acelerado) na direção vertical descreve uma curva que é uma semi-parábola.”

4. Os itens 2 e 3 acima são válidos desde que não levemos em conta a resitência do ar. Tratase portanto de uma aproximação.

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Sua percepção sobre os efeitos da resistência do ar é bastante interessante, uma vez que, de acordo com Galileu:

Ou seja, a resistência do ar depende da velocidade do mesmo Galileu. Percebeu ainda que a resistencia oferecida pelo ar depende da geometria do objeto que se move.

9.2 O problema Geral

Ao tratarmos do movimento dos projéteis, consideremos a superfície da Terra como sendo plana. Para os fenômenos corriqueiros aqui estudados, essa aproximação é muito boa.

A situação física que gostaríamos de estudar neste capítulo é a seguinte: um projétil (uma bala de canhão, por exemplo) é lançado de um ponto num certo instante (tempo t = 0). O ponto do lan- çamento é especificado pelas coordenadas (x0 , y0 ). O dado mais importante nesse contexto é a altura (h0 ) do qual o objeto é lançado, pois sempre podemos tomar através de uma esco- lha apropriada, x0 = 0.

Esse projétil é lançado no espaço com uma velocidade inicial v0 . O vetor veloci- dade forma um ângulo a com a horizontal (eixo x). Esse ângulo é conhecido como ângulo de tiro.

oferecendo maior resistência a um corpo que se move mais rápido do que o mesmo corpo

em um movimento mais lento.”

Fig. 9.2 Anotações de Galileu Fig. 9.3 Altura do objeto lançado

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As componentes do vetor velocidade inicial são, portanto:

v0x = v0 cosa v0y = v0 sena

Depois de decorrido um certo intante de tempo, O projétil atinge uma altura máxima na qual tem início o seu movimento, na direção vertical, de queda.

O projétil atinge o solo, ou um outro ponto acima da superfície terrestre após um certo intervalo de tempo decorrido desde que o projétil foi atirado, ou solto.

Durante o tempo de percurso o projétil percorre uma distância horizontal conhecido como alcance.

Fig. 9.4a Ângulo de tiroFig. 9.4b Componente da velocidade inicial 9.1

Fig. 9.5 Altura máxima e alcance do projétil.

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Admite-se que a aceleração da gravidade (g) seja constante. Isso vale para alturas máximas não muito grandes.

Veremos, a seguir, que é possível, a partir das considerações iniciais, prever a posição da partícula, bem como prever sua velocidade para qualquer instante de tempo.

Em particular, estaremos interessados em calcular: a) a altura máxima atingida; b) o tempo de queda (o tempo de duração do vôo livre); c) o alcance do projétil na posição horizontal. Para atingir esses objetivos, precisamos primeiramente determinar as equações básicas do movimento.

9.3 Equações Básicas do Movimento

A aplicação realista mais simples que podemos fazer das leis de Newton diz respeito ao movimento das partículas sob a ação da gravidade. A análise desse movimento fica consideravelmente simplificada quando notamos que a força da gravidade não muda muito quando consideramos movimentos próximos da superfície terrestre (alguns quilômetros acima da superfície). São movimentos, como a queda de um objeto, ocorrendo no cotidiano onde desprezamos a resistência do ar.

Adotamos, para o estudo, um sistema cartesiano tal que o eixo das abcissas (o eixo x) é tomado como sendo paralelo à superfície terrestre e o eixo y é tomado na direção perpendicular à superfície. Consideramos a terra como sendo plana e, como a gravidade aponta sempre para o interior da terra, e tendo em vista a escolha do referencial acima a expressão para a força gravitacional é:

Fig. 10.6 Sistema de referência e as coordenadas cartesianas

888988MOVIMENTO dOS pROjéTEIS9 e, portanto, para essa escolha do referencial, as componentes horizontal e vertical da força gravitacional serão dadas por:

Fx = 0

Fy = - mg

Fig. 10.7 A velocidade dos projéteis tem duas componentes, uma na vertical e outra na horizontal

Assim, podemos estudar o movimento do projétil como sendo composta por dois movimentos. Um movimento na direção vertical (eixo y) e outro movimento na direção horizontal (eixo x). Justificamos assim, matematicamente, a boa intuição de Galileu.

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Substituindo as expressões acima nas duas equações fundamentais do movimento dos projéteis obtemos duas equações:

ydv

A primeira equação nos leva a concluir que a velocidade ao longo do eixo x (a componente x da velocidade) permanece constante ao longo do movimento. Ou seja:

( )0ߧ§x x xdvm v v tdt

A segunda equação nos permite a concluir que a aceleração do corpo na direção vertical é igual á aceleração da gravidade. Essa equação pode ser escrita como

E, portanto integrando ambos os termos com respeito ao tempo temos a igualdade:

t t y t t t t dv t g dt

O resultado dessas integrais é trivial. Obtemos: Fig. 9.8 Os projéteis se movimentam em um plano

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A equação (0) pode ser reescrita como v tdt = a qual adotando-se um procedimento análogo ao anterior nos leva á solução:

Portanto, na direção do eixo x o movimento é uniforme. Finalmente, consideramos a equação (0) a qual pode ser reescrita como;

A qual pode ainda ser agrupada em dois termos:

TERRA E UNIVERSOmecânica t t

Donde efetuando-se a integração em ambos os membros dessa equação, obtemos o resultado:

Para uma força gravitacional constante, as soluções (0)-(0), são as mais gerais do movimento sob a ação da gravidade. Essas soluções envolvem a velocidade e a posição da partícula no instante de tempo inicial (t0 ). São soluções, portanto, dependentes das componentes da po- sição e da velocidade no instante do lançamento:

≡ x(t0)v0x

x0 ≡ vx (t0

≡ y(t0)v0y

y0 ≡ vy (t0

Essas componentes são, em geral, os dados do problema, onde y0 é coordenada inicial (eixo y) e v 0y é a componente da velocidade inicial.

A conclusão à qual chegamos é a de que, dadas a posição inicial (x0 , y0

) e a velocidade inicial

(v 0x , v 0y ) do projétil, podemos determinar a sua posição e velocidade em qualquer instante (t) depois do lançamento.

9.4 Trajetória do projétil

Determinemos agora, a partir das soluções encontradas, a trajetória da partícula. Para tal, escrevemos o tempo como sendo dependente da coordenada x (na verdade, como sabemos, é o inverso). Obtemos, formalmente, que:

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0x x xt t v

Substituindo a expressão acima em (0), encontramos a equação para a trajetória:

v gy x y t x x x x v v = + − − −

A equação acima descreve uma parábola.

Fig. 9.9 A trajetória dos projéteis é uma parábola

9.5 Altura Máxima

A altura máxima do projétil é atingida quando sua velocidade na vertical se anula (ou seja, quando ele pára de subir). Isto acontece no instante de tempo (tm ) dado por:

g(vy = 0)

0 = v0y - tm

TERRA E UNIVERSOmecânica isto é,

A altura máxima é obtida, portanto, pela substituindo-se a expressão de tm dada acima em (10.6):

y y m y v vgy y v g g e portanto, a altura máxima é dada pela expressão:

0 2ym v h y g

9.6 Tempo de Queda

O projétil atinge o chão no instante tq , tal que, a coordenada y se anula (y = 0). Obtemos assim, para o tempo de queda tq :

A única solução dessa equação de segundo grau, aceitavél fisicamente, é:

Fig. 9.10 Na altura máxima o projétil “pára” no sentido do movimento vertical

949594MOVIMENTO dOS pROjéTEIS9 v v gy t g

9.7 Alcance do projétil

O alcance é a posição do projétil quando ele cai. Como y = 0, essa posição é caracterizada apenas pela variável xm. Para determiná-la basta substituir o tempo t, obtido na equação (), pelo tempo de queda tq , obtida na equação (10.2). Obtém-se portanto:

xm = x0 + v0xt q

Fig. 9.1 Quanto tempo durou a queda?

Fig. 9.12 O alcance depende do tempo de queda

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Portanto se o alcance, al , é definido como xm - x0

, ele é igual ao produto da componente x da velocidade inicial vezes o tempo de queda.

al = v0xtq9.26

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