Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

Manual de Analise Matematica I para 2010-2011

(Parte 6 de 11)

A relacao entre os limites e as operacoes algebricas e muito simples.

Proposicao. Sejam u e v sucessoes convergentes com limu = a e limv = b. Tem-se as seguintes relacoes.

- limuv = ab

- lim uv = a b

Conforme vimos anteriormente, estes resultados generalizam-se ainda aos casos em que limu = ±∞ excepto quando a expressao resultante designa uma indeterminacao. E por isso habitual manipular algebricamente os valores +∞ e −∞ como se de numeros reais se tratassem, sujeitos as seguintes regras operatorias, onde a designa um real arbitrario.

Estes sımbolos relacionam-se ainda com os sımbolos 0+ e 0− da seguinte forma.

Observe-se que excluımos os casos que geram indeterminacoes. Estas tem de ser levantadas da forma adequada.

Exemplo.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.2. LIMITES DE SUCESSOES 21

= lim

(e) lim

(j) lim(

A potenciacao traz alguns problemas novos. Vimos ja que lim(uv) = limulimv quando ambos os limites sao finitos e limu > 0; quando permitimos que u seja um infinitesimo positivo ou que u ou v sejam infinitamente grandes, temos ainda um conjunto de regras operatorias, mas temos tres novos sımbolos de indeterminacao: 0, ∞0 e 1∞.

Observe-se que se tem (0+) +∞

Exemplo.

, aplicamos directamente as propriedades dos limites.lim

Apontamentos de Analise Matematica I

, temos que lim

Exercıcio 20. Calcule os limites das seguintes sucessoes.

Para percebermos a razao de ser dos tres sımbolos de indeterminacao 0, ∞0 e 1∞, temos de analisar as tendencias de crescimento simbolizadas por cada um deles.

Numa indeterminacao 0, temos um infinitesimo elevado a outro infinitesimo; ora, tendendo a base para 0, o valor da potencia tende para 0, mas tendendo o exponente para 0, o valor da potencia deveria tender para 1. De facto, podemos encontrar facilmente exemplos de cada um destes casos — e de outros.

Numa indeterminacao ∞0, o problema e semelhante: sendo a base um infinitamente grande positivo, a potencia deveria ser igualmente um infinitamente grande positivo; porem, uma potencia de expoente 0 deveria tender para 1. Temos novamente duas tendencias opostas, e e facil encontrar exemplos de sucessoes com todos os limites intermedios.

Finalmente, a indeterminacao 1∞ deve-se ao facto de uma potencia de base 1 ser sempre igual a 1, enquanto que uma potencia de base menor tende para 0 e uma de base maior tende para +∞. Mais uma vez, uma indeterminacao deste tipo pode tender para qualquer limite positivo. A forma de levantar estas indeterminacoes e sempre a mesma e assenta em dois princıpios:

a definicao do numero e como limite da sucessao en = ( 1 + 1

)n , cuja convergencia nao vamos demonstrar aqui; e a regra operatoria ab = eblog(a). Esta regra, bem como as propriedades dos logaritmos, serao discutidas em detalhe na Seccao 2.5.3, em particular nas paginas 92 e seguintes. As indeterminacoes do tipo 1∞ conseguem reescrever-se muitas vezes a custa da

)n usando subsucessoes.

Esta transformacao gera normalmente indeterminacoes no expoente do tipo 0 × ∞, que se resolvem tendo em conta que o logaritmo cresce mais devagar do que qualquer polinomio; ou seja, a sucessao lognn e um infinitesimo positivo.

Exemplo.

1. O calculo do limite da sucessao un = n√ n gera uma indeterminacao de tipo ∞0, ja quen√ n = n1 n. Aplicando logaritmos, otemos limn1 n = lime logn tendo em conta que lim lognn = 0.

L. Cruz-Filipe e P. Engracia

1.2. LIMITES DE SUCESSOES 23

)n , que e uma indeterminacao de tipo 1∞, vamos reescrever o

termo geral da sucessao da seguinte forma.

3. Ja o calculo de lim( 1

)1 n pode ser feito da seguinte forma.

lim

Exercıcio 21. Calcule os limites das seguintes sucessoes.

1.2.3 Teoremas de convergencia

Um dos grandes interesses do conceito de limite e permitir-nos calcular aproximacoes de numeros reais. Se soubermos, por exemplo, que uma determinada sucessao u tende para um numero real a e quisermos determinar um valor aproximado de a, sabemos da definicao de limite que podemos obter uma aproximacao tao boa quanto queiramos: a diferenca un − a aproxima-se tanto de 0 quanto queiramos, pelo que basta escolher n suficientemente elevado para un ser uma boa aproximacao de a. Esta ideia vai ser recorrente durante todos estes apontamentos, sendo posteriormente desenvolvida noutras disciplinas.

Por este motivo, outra questao que muitas vezes se coloca e a de determinar se uma sucessao e convergente, independentemente de saber qual e o seu limite. Ha varias razoes para querer responder a esta pergunta; a mais natural e querer usar a sucessao para calcular um valor aproximado de alguma constante. Muitas vezes e facil definir sucessoes que, se convergirem, tem um limite que satisfaz determinada propriedade. Mostrando a convergencia da sucessao, pode-se depois obter uma aproximacao tao boa quanto se queira do limite.

Os criterios de convergencia que vamos ver sao todos bastante simples. O primeiro e consequencia duma das propriedades que ja vimos atras.

Teorema (Teorema da sucessao encaixada). Sejam u, v e w sucessoes satisfazendo as relacoes un ≤ vn ≤ wn para todo o valor de n. Se limu = limw = a, entao v tambem e convergente e limv = a.

Demonstracao. Se limu = a e limw = a, entao as sucessoes u − a e w − a sao ambas infinitesimos.

1N ; uma vez que un ≤ vn ≤ wn, a partir dessa ordem tambem se tera necessariamente a

Apontamentos de Analise Matematica I

Exercıcio 2. Utilizando este teorema, calcule o limite das seguintes sucessoes.

Outro resultado importante relaciona a monotonia com convergencia. Teorema. Toda a sucessao monotona e limitada e convergente.

Demonstracao. Suponhamos que u e uma sucessao monotona crescente e seja M o menor dos majorantes do conjunto dos seus termos. Entao para qualquer valor de N existe um termo de u tal que un > M − 1N — caso contrario M − 1n seria um majorante dos termos de u, o que e absurdo. Uma vez que u e crescente, todos os termos a partir dessa ordem satisfazem

. Entao limu = M, donde em particular u e

(Parte 6 de 11)

Comentários