Leis Kepler - elipses, Notas de estudo de Engenharia Aeronáutica

Baixe Leis Kepler - elipses e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Aeronáutica, somente na Docsity! 1. Mecanica do Sistema Solar (II): Leis de Kepler do movimento planetário Astronomy: A Beginner’s Guide to the Universe, E. Chaisson & S. McMillan (Caps. 0 e 1) Introductory Astronomy & Astrophysics, M. Zeilek, S. A. Gregory & E. v. P. Smith (Cap.1) Apostila (www.iag.usp.br/~dalpino/aga215 Johannes Kepler Tycho Brahe Astrônomo Dinamarquês 1546 - 1601 Matemático e Astrônomo Alemão 1571 - 1630 Elipse rr’ FF’ 2a r + r’ ≡ 2a Elipse Q Elementos de uma elipse PA O F f b a B B’ a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor f = distância focal e = excentricidade e ≡ f/a f ≡ ae afélio periélio 2ª Lei: O raio vetor que liga o corpo maciço (Sol, por ex.) ao corpo mais leve (um planeta, por ex.) varre áreas iguais em tempos iguais Segunda Lei de Kepler: Lei das Áreas Tabela : Algumas Propriedades dos Planetas 1.0010.248248.639.53Pluto 1.0000.010164.830.06Neptune 0.9990.04684.0119.19Uranus 1.0000.05629.469.539Saturn 0.9990.04811.865.203Jupiter 1.0000.0931.8811.524Mars 1.0000.0171.0001.000Earth 1.0010.0070.6150.723Venus 1.0020.2060.2410.387Mercury (Earth years) (astronomical units) P2/a3Orbital Eccentricity Orbital Period, P Orbital Semi- Major Axis, aPlanet Tabela : Algumas Propriedades dos Planetas 1.0010.248248.639.53Pluto 1.0000.010164.830.06Neptune 0.9990.04684.0119.19Uranus 1.0000.05629.469.539Saturn 0.9990.04811.865.203Jupiter 1.0000.0931.8811.524Mars 1.0000.0171.0001.000Earth 1.0010.0070.6150.723Venus 1.0020.2060.2410.387Mercury (Earth years) (astronomi cal units) P2/a3 Orbital Eccentr icity Orbital Period , P Orbital Semi-Major Axis, a Planet Logo se: P : em ANOS Terrestres a : em 1UA = distancia Terra- Sol K = 1 ! Mostrar que a média dos raios orbitais é o semi-eixo maior F PA O F' Q1 rr' Q'1 r r' Q1 ⇒ r + r' = 2a Q'1 ⇒ r' + r = 2a r + r' + r' + r = 2a + 2a r + r' + r' + r = 4a (r + r' + r' + r) / 4 = a r1 = a Q1 e Q'1 ⇒ r1 = a Q2 e Q'2 ⇒ r2 = a QN e Q'N ⇒ rN = a ... r1 + r2 + ... + rN = N.a (r1 + r2 + ... + rN ) / N = a rm = a Para um par de pontos simétricos Para todos os pares de pontos simétricos 2ª: Lei de Newton: da força A taxa de variação da quantidade de movimento de um corpo é igual à força que atua sobre o corpo. 1. A força da mão acelera a caixa. 2. Duas vezes a força produz uma aceleração duas vezes maior (a é prop. à força aplicada) 3. Duas vezes a força sobre uma massa duas vezes maior, produz a mesma aceleração original (a é inversamente prop. a m) am dt vdm dt )vd(m dt pdF r rrrr ==== 3ª: Lei da ação e reação • A cada ação existe sempre uma reação igual e de sentido contrário. Para simplificar, vamos supor que o corpo possui órbita circular, de raio r: força centrípeta: Se P é o período orbital do corpo: mas, pela terceira lei de Kepler: , então: Assim, a força que mantém a órbita é inversamente proporcional ao quadrado do raio. r vmF 2 cent = P r2v π= 32 rkP = 2 2 3 22 2 22 rk m4 rrk r4m rP r4mF πππ === • Uma vez que a força gravitacional atua ao longo da linha imaginária que os une, ambos os corpos devem completar uma órbita no mesmo período P (embora se movam com velocidades diferentes). • Para uma órbita circular: . • A força centrípeta necessária para manter as órbitas é: P r2v v r2P ππ =⇒= r vmF 2 = Lembrando a lei da gravitação universal: podemos escrever também que: O corpo de massa maior permanece mais próximo do centro de massa. (1) r mmGF 2 21= 2 11 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 11 P mr4 r m P r4 r vmF ππ === 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 P mr4 r m P r4 r vmF ππ === ⇒=⇒= 221121 mrmrFF 1 2 2 1 m m r r =mas (1b) Como 21 rra += 1 2 1 1 2 1 2 11 m mr m ma m m)r(ar −=−= 1 2 1 21 1 m ma) m mm(r =+ ⇒ (2) 21 2 1 mm mar + = Lembrando que 2 21 21grav r mmGFFF === ⇒ (3) a mmGF 2 21 grav = Podemos reformular a 3ª lei de Kepler , combinando (1b), (2), e (3): 2121 2 12 2 1 11 2 2 2 11 2 1 mmG)m(m amma4 F mr4P P mr4F + ==⇒= πππ 3 21 2 2 a )mG(m 4P ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = π então K !!