Sistema de coordenadas polares

Sistema de coordenadas polares

(Parte 1 de 3)

Sistema de Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas é muito útil no estudo das diversas curvas e alguns problemas relacionados a lugares geométricos.

No sistema de coordenadas polares, um ponto é localizado especificando-se sua posição em relação a uma reta fica e um ponto nessa reta, as coordenadas de P consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo em relação um ponto fixo e a um semi-eixo fixo.

(r, )

r

O ponto P é determinado a partir do par ordenado (r , ), onde r é denominado raio vetor, e  o ângulo vetorial de P.

r = distância entre P e a origem

 = medida em radianos, do ângulo orientado AÔP.

O ponto P é determinado também pelos diversos pares de coordenadas representadas por (r,+2k), onde K é um inteiro ou ainda P pode ser representado por (-r,+2k), sendo K qualquer inteiro ímpar.

Transformações de Coordenadas

Para certos casos é conveniente a transformação de coordenadas polares em coordenadas cartesianas e vice-versa. Para facilitar a comparação entre os dois sistemas, consideremos o ponto O(origem) coincidindo com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar coincidindo com o eixo positivo das abscissas.

Para isso tomemos o ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r,), temos:

i)

Observamos que:

cos =  e sen = 

ii)

cos =  =  e sen =  = 

Portanto,

x = r cos

y = r sen

Usando x = r cos e y = r sen , vem que:

x² = r²cos²

y² = r²sen²

x² + y² = r²

Portanto,

r =  .

Podemos também transformar equações polares em cartesianas e vice-versa.

Gráficos com coordenadas polares

Como já foi dito, o uso de coordenadas polares simplifica em alguns casos a representação de equação de curvas.

O gráfico de F(r,) = 0 é formado por todos os pontos cuja as coordenadas polares satisfazem a equação.

A equação é apresentada da seguinte forma:

r = f ()

Para traçarmos o gráfico usaremos os seguintes procedimentos:

  1. Calcular os pontos máximos e / ou mínimos;

  2. Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo;

  3. Verificar a simetria:

- Se a equação não se altera ao substituirmos r por –r, ou seja, simetria em relação à origem.

- Se a equação não se altera ao substituirmos  por –, ou seja, simetria em relação o eixo polar.

- Se a equação não se altera ao substituirmos  por , ou seja, existe simetria em relação o eixo .

O uso de algumas relações trigonométricas será útil nesse procedimento:

- cos = cos(-), cos = - cos() e cos = cos()

- sen = - sen(), sen = sen() e sen = sen()

Equações de algumas curvas em coordenadas polares

- Equações de reta

Se uma reta passa pelo pólo, sua equação polar é da forma:

 = k

Onde k é uma constante, que representa o ângulo vetorial de qualquer ponto sobre a reta.

*Paralelos ao eixo polar:

a

A

A

0

0

a

r sen = a, a>0 r sen = a, a<0

Paralelos ao eixo 

b

0

A

0

b

A

r cos = b, b<0 r cos = b, b>0

- Circunferências

i) r = c: circunferência com centro no pólo e raio |c|;

(Parte 1 de 3)

Comentários