resolução alguns exercícios cap 19 halliday 4 edição em português

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LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, as 4:48 a.m.

Exercıcios Resolvidos de Termodinamica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fısica teorica, Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fısica

Materia para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro “Fundamentos de Fısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteudo

19.1 Questoes2
19.2 Exercıcios e Problemas2
19.2.1 Medindo temperatura2
19.2.3 Expansao termica3

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19.1 Questoes

Um pedaco de gelo e um termometro mais quente sao colocados num recipiente hermeticamente fechado, no vacuo. O gelo e o termometro estao suspensos de tal maneira, que nao ficam em contato. Por que a leitura do termometro diminui, apos algum tempo?O termometro transfere calor por irradiacao. As formas de tranferencia de calor serao estudadas no capıtulo 20.

Q 19-7. Embora pareca impossıvel atingir o zero absolu- to de temperatura, temperaturas tao baixas quantoK foram alcancadas em laboratorios. Isto nao seria suficiente para todos os fins praticos? Por que os fısicos deveriam (como realmente fazem) tentar obter temperaturas ainda mais baixas?Porque a muito baixas temperaturas os materiais exibem propriedadesnao observadasa temperaturasusuais. A supercondutividade e um exemplo dessas propriedades. A motivacao para esse tipo de pesquisa esta na possibilidade de encontrar novos fenomenos e propriedades fısicas dos materiais. A tentativa de reduzir os limites fısicos induz o desenvolvimento de instrumentos de medida mais e mais sofisticados, que sao posteriormente usados em outros campos.

Explique por que, quando colocamos um termometro de mercurio numa chama, a coluna de mercurio desce um pouco, antes de comecar a subir.Porque o vidro que contem o mercurio inicia seu processo de dilatacao primeiro. Depois, a dilatacao do mercurio e mais notavel, porque este tem um coeficiente de dilatacao maior do que o do vidro.

Duas laminas, uma de ferro e outra de zinco, sao rebitadas uma na outra, formando uma barra que se encurva quando e aquecida. Por que a parte de ferro fica sempre no interior da curva?Porque o zinco tem coeficiente linear de expansao termica maior que o ferro. Procure tais valores em alguma Tabela.

Explique por que a dilatacao aparente de um lıquido num tubo de vidro, quando aquecido, nao corresponde a verdadeira expansao do lıquido.Porque o vidro que contem o lıquido tambem se expande.

19.2 Exercıcios e Problemas

19.2.1 Medindo temperatura

Dois termometros de gas a volume constante sao usados em conjunto. Um deles usa nitrogenio e o outro, hidrogenio. A pressao do gas em ambos os bulbos e = m de Hg. Qual e a diferenca de pressao nos dois termometros, se colocarmos ambos em agua fervendo?

Em qual dos termometros a pressao sera mais alta?Tomamos como sendo m de mercurio para ambos termometros. De acordo com a Fig. 19-6, o termometro de N fornece K para o ponto de ebulicao da agua. Usamos a Eq. 19-5 para determinar a pressao: m de mercurio Analogamente, o termometro de hidrogenio fornecepara o ponto de ebulicao da agua e m de mercurio

A pressao no termometro de nitrogenio e maior que a pressao no termometro de hidrogenio por m de mercurio.

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19.2.2 As escalas Celsius e Fahrenheit

A que temperatura os seguintes pares de escalas dao a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius (veja Tabela

19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin?(a) As temperaturas Fahrenheit e Celsius estao relacionadas pela formula . Dizer que a leitura de ambas escalas e a mesma significa dizer que. Substituindo esta condicao na expressao aci- ma temos de onde tiramosC

(b) Analogamente, a condicao para as escalas Fahrenheit e Kelvin e , fornecendo ou seja, K

(c) Como as escala Celsius e Kelvin estao relacionadas por , vemos que nao existe nenhuma temperatura para a qual essas duas escalas possam fornecer a mesma leitura.

Observamos, no dia-a-dia, que objetos, quentes ou frios, esfriam ou aquecem ate adquirir a temperatura ambien- te. Se a diferenca de temperatura entre o objeto e o ambiente nao for muito grande, a taxa de esfriamento ou aquecimento sera proporcional a diferenca de temperatura, isto e, onde A e uma constante. O sinal menos aparece porquediminui com o tempo, se for positivo, e aumenta, se negativo. Esta e a lei de Newton do resfriamento. (a) De que fatores depende A? Qual a sua dimensao? (b) Se no instante a diferenca de temperatura for , mostre que num instante posterior t. (a) Mudancas na temperaturam ocorrem atraves de radiacao, conducao e conveccao. O valor de pode ser reduzido isolando os objetos atraves de uma camada de vacuo, por exemplo. Isto reduz conducao e conveccao. Absorcao de radiacao pode ser reduzida polindo-se a superfıcieate ter a aparencia de um espelho. Claramente depende da condicao da superfıcie do objeto e da capacidade do ambiente de conduzir ou convectar energia do e para o objeto. Como podemos reconhecer da equacao diferencial acima, tem dimensao de (tempo) .

(b) Rearranjando a equacao diferencial dada obtemos

Integrando-a em relacao a e observando que temos que reescrita de modo equivalente fornece o resultado desejado:

Uma barra feita com uma liga de alumınio mede cm a C e cm no ponto de ebulicao da agua. (a)

Qual o seu comprimento no ponto de congelamento da agua? (b) Qual a sua temperatura, se o seu comprimento e cm?(a) A relacao para a variacao do comprimento, , permite calcular o coeficiente de expansao li- near da barra: = .

Portanto, partindo-se dos cm a C, vemos que ao baixarmos a temperatura ate o ponto de congelamento da agua a barra sofre uma variacao de comprimento dada por cm http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 3 de 7

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Portanto o comprimento procurado e cm

(b) Partindo-se novamente dos cm a C, perce- bemos logo que para chegar a cm a temperatura tera que aumentar. A matematica nos fornece sempre o sinal correto. Como , da relacao obtemos facilmente a temperatura procurada:C

E 19-30. Um cubo de latao tem aresta de cm. Qual o aumento de sua area, se a temperatura subir de para C?Aqui consideramos a equacao da expansao superfi- cial, com coeficiente de dilatacaolatao onde tiramos o latao da Tabela 19-3, pag. 176. Portanto,

Uma barra de aco a tem cm de diametro. Um anel de latao tem diametro interior de cma .

A que temperatura comum o anel se ajustara exatamente a barra?Apos a mudanca de temperatura o diametro da barra de aco e a o diametro do anel de diametros originais, a sao os coeficientes lineares de expansao, e e a mudanca da temperatura.

A barra se ajustara exatamente a barra quando tivermos, os seja quando de onde obtemos

Portanto a temperatura procurada e C

Densidade e massa dividida por volume. Como o volume depende da temperatura, a densidade tambem de- pende. Mostre que, se a temperatura variar de , a variacao da densidade sera onde e o coeficiente de dilatacao volumetrica. Expli- que o sinal negativo.Sabemos que , ou seja, que

Da definicao de densidade obtemos

Comparando as duas extremidades obtemos que

Quando e positivo, o volume aumenta e a densidade diminui, ou seja, e negativo. Se e negativo, o volume diminui e a densidade aumenta, isto e, e positivo.

A temperatura de uma moeda de cobre aumenta de e seu diametro cresce . De o aumento percentual, com dois algarismos significativos, (a) na area, (b) na espessura, (c) no volume e (d) na massa da moeda. (e) Qual o coeficiente de dilatacao linear da moeda?(a) Como sabemos que o coeficiente de expansao superficial e o dobro do coeficiente de expansao linear, http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 4 de 7

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podemos afirmar imediatamente que o aumento percentual na area sera o dobro do aumento percentual linear, ou seja .

Mais formalmente, podemos ver isto comparando as formulas

(b) A espessura da moeda varia linearmente e, portanto, sua variacao percentual coincide com a do item anterior:

(c) A variacao no volume e:

(d) Nao ha variacao na massa da moeda. (e) Qualquer das relacoes acima pode ser usada para de- terminar . Por exemplo, usando a do item (a) temos:

donde tiramos que

Perceba que para responder aos itens (a)-(d) nao e necessario conhecer-se . Esta e a razao do livro pedir para determinar apenas ao final do exercıcio.

P-46.

(a) Mostre que, se os comprimentos de duas barras de materiais diferentes sao inversamente proporcionais aos seus respectivos coeficientes de dilatacao linear, a mesma temperatura inicial, a diferenca em comprimento entre elas sera a mesma, a todas as temperaturas. (b) Quais devem ser os comprimentos de uma barra de aco e outra de latao a C, tais que, a qualquer temperatura, a diferenca de comprimento seja m?(a) A temperatura inicial, considere-se os comprimentos das duas barras dados por:

onde e a constante de proporcionalidade.

Quando a temperatura varia de um , tem-se:

A diferenca entre os comprimentos iniciais das barras e:

A diferenca entre os comprimentos das barras quando a temperatura variou de e:

(b) Sendo m e os valores dos coeficientes de expansao do aco e do latao dados poraco e m

Uma barra composta, de comprimento , e feita de uma barra de material e comprimento , ligada a outra de material e comprimento (Fig. 19-

18). (a) Mostre que o coeficiente de dilatacao efetivo para esta barra e

(b) Usando aco e latao, dimensione uma barra compos- ta de cm e o coeficiente de dilatacao linear efetivo http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 5 de 7

LISTA 4 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 25 de Fevereiro de 2004, as 4:48 a.m.(a) A variacao no comprimento da barra composta e dada por

Por outro lado, tambem temos que

Igualando-se as duas expressoes para obtemos que, ou seja, que

(b) Reescrevendo a expressao acima e usando o fato que, obtemos que nos da, com e

,cm onde ja simplificamos o fator comum que aparece no numerador e denominador da fracao. Finalmente,cm

E claro que este valor tambem poderia ter sido obtido independentemente, subsituindo-se na ex- pressao acima para : cm

Um cubo de alumınio de aresta cm flutua em mercurio. Quanto afundara o cubo, se a temperatura subir de para K? O coeficiente de dilatacao do mercurio e

.A forca da gravidade no cubo e , onde e o vo- lume do cubo e e a densidade de massa do alumınio.

O empuxo do mercurio no cubo e , onde e a densidade de massa do mercurio, e a area de uma das faces do cubo, e e a profundidade de submersao, de modo que fornece o volume do mercurio deslocado.

O cubo esta em equilıbrio, de modo que a magnitu- de das duas forcas e o mesmo: .

Substituindo-se e nesta expressao ob- temos

Quando a temperatura muda, todas as tres quantidades que aparecem em tambem mudam, sendo tal mudanca dada por

Primeiro, consideremos a mudanca da densidade do alumınio. Suponhamos que uma massa de alumınio ocupe um volume . A densidade sera, portanto,, sendo a variacao da densidade dada por

Como sabemos que , encontramos onde representa o coeficiente de expansao linear do alumınio. Segundo, de modo analogo, para o mercurio temos

Agora porem, como tratamos com um lıquido e nao de um solido como acima, , onde representa o coeficiente de expansao volumetrica do mercurio. Portanto

Terceiro, temos que .

Substituindo estes tres resultados na expressao para acima obtemos:

cm m http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 6 de 7

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onde usamos o fato que

K.Solucao alternativa: Para o bloco flutuando no mercurio a K, pelo Princıpio de Arquimedes, temse:

ou seja, (1)

Para e

, a equacao (1) fornece m, ou seja, o cubo esta com % da sua aresta submersa. Mas todas as quantidades envolvidas na equacao (1) variam com a temperatura: (2)

E claro que a massa do cubo nao varia com a temperatura:

Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2) temos: Trazendo o resultado da Eq. (1) para y:

Introduzindo os valores das quantidades na equacao acima, obtem-se, finalmente, m m http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 7 de 7

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