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Guias e Dicas
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teoria cinetica, Notas de estudo de Física

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Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 27/04/2010

jefferson-santos-38
jefferson-santos-38 🇧🇷

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Baixe teoria cinetica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Versão preliminar 23 de março de 2004 Notas de Aula de Física 20. TEORIA CINÉTICA DOS GASES ................................................................................ 2 UMA NOVA MANEIRA DE VER OS GASES ................................................................................ 2 O NÚMERO DE AVOGADRO.................................................................................................. 2 GASES IDEAIS..................................................................................................................... 2 Trabalho com temperatura constante ........................................................................... 3 CÁLCULO CINÉTICO DA PRESSÃO.......................................................................................... 3 ENERGIA CINÉTICA DE TRANSLAÇÃO ..................................................................................... 6 PERCURSO LIVRE MÉDIO ..................................................................................................... 6 DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES MOLECULARES..................................................................... 7 CALORES ESPECÍFICOS MOLARES DE UM GÁS IDEAL............................................................... 9 A energia interna EINT................................................................................................... 9 Calor específico molar a volume constante – CV .......................................................... 9 Calor específico molar a pressão constante – CP ....................................................... 10 Relação entre CV e CP para um gás ideal ............................................................... 10 TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA DE UM GÁS IDEAL ................................................................. 11 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 13 10 ................................................................................................................................ 13 “10”.............................................................................................................................. 13 11 ................................................................................................................................ 15 12 ................................................................................................................................ 15 15 ................................................................................................................................ 16 16 ................................................................................................................................ 17 17 ................................................................................................................................ 17 19 ................................................................................................................................ 18 23 ................................................................................................................................ 18 “27”.............................................................................................................................. 19 28 ................................................................................................................................ 20 33 ................................................................................................................................ 20 36 ................................................................................................................................ 21 43 ................................................................................................................................ 21 45 ................................................................................................................................ 23 47 ................................................................................................................................ 23 57 ................................................................................................................................ 24 61 ................................................................................................................................ 24 Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 2 20. Teoria Cinética dos Gases Quando consideramos um gás contido em um recipiente podemos analisá-lo de uma maneira global usando a Termodinâmica, e calcular as suas propriedades macros- cópicas tais como temperatura, pressão, volume e etc. Por outro lado, se quisermos entender os porquês do comportamento macroscópi- co, devemos analisar os constituintes deste gás, como eles interagem entre si e como interagem com as paredes do volume que os contém. Uma nova maneira de ver os Gases Os gases são constituídos de pequenas entidades, que podem ser átomos, molé- culas ou ambos. Ele será um gás monoatômico quando composto apenas de átomos (ou seja: moléculas monoatômicas) ou um gás poliatômico, dependendo das suas caracterís- ticas moleculares. As moléculas interagem entre elas, e essa interação acontece aos pares, ou seja elas interagem duas a duas. Se neste gás existirem N moléculas cada molécula interage com todas as outras N-1 moléculas. Cada molécula deve ter o seu movimento governa- do pela segunda lei de Newton, e portanto temos N equações referentes a aplicação dessa lei, uma para cada molécula. Como cada molécula interage com as restantes, o seu movimento irá interferir no movimento de todas as outras, e dizemos então que essas equações estão acopladas uma as outras. O número de equações resultante deste modelo torna a sua solução numérica im- possível, mesmo usando os melhores computadores contemporâneos. O Número de Avogadro Mas quantas moléculas existem em uma amostra macroscópica de uma dada substância? Vamos definir uma grandeza adequada para lidar com moléculas, é o mol. Um mol é o número de moléculas que existem em 12g de carbono-12. Experimental- mente se determina quantas moléculas existem em um mol, e esse é o chamado número de Avogadro NA , NA = 6,02x1023moléculas Desse modo, já podemos relacionar número de moles µ e número de moléculas N , ou seja: A A N NNN =⇒= µµ Gases ideais Se considerarmos uma amostra com 12g de carbono-12 , teremos neste material NA = 6,02x1023moléculas , e se desejarmos usar a segunda lei de Newton para calcular as trajetórias das moléculas, teremos que resolver NA equações acopladas. O que fazer nesta situação? A aproximação mais drástica possível será considerar que as moléculas não Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 5 ( ) 222 22 1 XXNXX vNvvv =+++ ! Considerando que neste cubo não existe direção privilegiada, os valores médios das diversas componentes serão iguais, ou seja: 2222222 3 13 vvvvvvv XXZYX =⇒=++= e como temos N moléculas nesse gás ideal; ( ) 2222 22 1 3 v NvNvvv XXNXX ==+++ ! Desse modo: ( ) 222 22 132 3 vV mNvvv L m L F p XNXX X =+++== ! onde consideramos que o volume do cubo é V = L3 . Podemos ainda dizer que: 2 3 vmNpV = Mas Nm é a massa total do gás pois: N é número de moléculas e m é a massa de cada molécula. Por outro lado, a massa total também pode ser expressa como µM pois: µ é o número de moles e M é a massa molar. Portanto, usando a equação dos ga- ses ideais: M RTvRTvMpV 3 3 22 =⇒== µµ e se definirmos 2vv RMS = (RMS = root mean square) encontramos que: M RTv RMS 3= Entretanto a massa molar M é igual ao número de Avogadro vezes a massa m de uma molécula M=NAm , e a constante universal dos gases pode ser escrita como R=NAkB , e desse modo teremos que: m Tkv BRMS 3 = Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 6 Energia cinética de translação Como já foi mencionada, em um gás ideal as moléculas não interagem, portanto não existem energia potencial e o único tipo de energia possível é a energia cinética de translação. A energia cinética média de uma partícula é dada por: m TkmvmmvK B3 222 1 22 === TkK B2 3= Percurso livre médio Entre colisões sucessivas, o movimento de uma molécula de um gás ideal é retilíneo e uniforme . A distância média que uma molécula percorre entre duas colisões sucessivas é chamado percurso livre médio. Se tivermos duas moléculas de diâmetro d, ocorrerá uma colisão quando os seus centros se aproximarem de d uma distância d . Uma descrição equivalente das colisões entre mo- léculas consiste em considerar uma delas pontual e a outra com diâmetro 2d , pois colisão ocorrerá quando os seus centros se aproximarem de uma distância d , como na situação anterior. Se estivermos observando uma molécula nas suas múltiplas colisões, podemos considerar que ela tem um diâmetro 2d e as outras são pontuais. d Se ela tem diâmetro 2d e velocidade média <v> , num intervalo de tempo t , ela terá descrito um cilindro de seção reta πd2 e comprimento <v>t . Se a densida- de de partículas no gás for n = N/V , existirão no cilindro N partículas, onde: N = n V = n (πd2 . <v>t) Este número de partículas N será exatamente o 2d <v>t número de colisões num dado intervalo de tempo t . O percurso livre médio <L> será a distância percorrida num intervalo de tempo t dividido pelo número de colisões que acontecerá neste trajeto. 22 1 dntvdn tv N tv L ππ === ou ainda 2 1 dN VL π = Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 7 Esse resultado é apenas uma primeira aproximação, por que ele se baseia na hi- pótese que todas as moléculas estão em repouso, e apenas uma se move. Distribuição de velocidades moleculares Vamos considerar um número N de moléculas que estão no interior de um recipi- ente de volume V . As moléculas têm velocidade diferentes, mas essas velocidades se distribuem segundo uma característica própria. Se considerarmos uma situação genérica, onde a energia interna E de cada mo- lécula é composta da soma de sua energia cinética K mais sua energia potencial U , e desse modo: ( )xyxUmvE ,, 2 1 2 += A função que explicita a distribuição de velocidades, é a distribuição de Maxwell- Boltzmann, e tem a forma: TkE BAeEf /)( −= onde A é uma constante. Essa constante pode ser determinada se considerarmos que integral da função de distribuição deve ser igual ao número de moléculas. Quando esta- mos analisando um gás ideal, a energia potencial é desprezada, e temos como energia interna apenas a energia cinética: ( )2222 2 1 2 1 ZYX vvvmmvE ++== e portanto: ( ) Tkvvvm BZYXAevf 2/ 222 )( ++−= ∫∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− = Nvvvfdvdvdv ZYXZYX ),( ou seja: ∫∫∫ +∞ ∞− − +∞ ∞− − +∞ ∞− − = NdvedvedveA Z kTmv Y kTmv X kTmv ZYX 2/2/2/ 222 e por outro lado, seja: ∫ +∞ ∞− −= dXeB aX 2 Podemos dizer que: ( ) aa e a e a duedrrddYedXeB uuaraYaX ππππθ π =−−=−==== ∞− ∞ − ∞ − +∞ ∞− − +∞ ∞− − ∫ ∫∫∫∫ 102 2 2 2 0 2 0 00 2 222 ou seja: a dXeB aX π== ∫ +∞ ∞− − 2 e portanto Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 10 V INT V V T E dT dQC      ∂ ∂ =    = µµ 11 e para um gás ideal, encontramos RCV 2 3= Calor específico molar a pressão constante – CP Como mencionado anteriormente, podemos definir o calor específico molar a pres- são constante como: dQP = µ CP dT ou ainda: P P dT dQC     = µ 1 Usando a primeira lei da Termodinâmica, temos que: dEINT = dQ – p dV e se considerarmos uma transformação que envolva uma variação de temperatura, mas com o sistema mantido a pressão constante, temos que: PPP INT T Vp dT dQ T E      ∂ ∂−    =     ∂ ∂ onde lembramos que dQ não é uma diferencial exata, daí o aparente contra-senso ao envolver derivadas parciais e total, na equação anterior. Usando as definições de um gás ideal, temos que:         =     ∂ ∂∴= =     ∂ ∂ ∴= R T Vp p RTV R T E RTE P P INT INT µµ µµ 2 3 2 3 ou seja: RCRCR PP 2 5 2 3 =⇒−= µµµ Relação entre CV e CP para um gás ideal Vamos considerar um sistema formado por µ moles de uma gás ideal, e a sua temperatura será aumentada T até alcançar T+ ∆T de duas formas diferentes. As cur- vas que representam transformações isotérmicas nas duas temperaturas mencionadas Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 11 0,000 100,000 200,000 300,000 400,000 500,000 600,000 700,000 800,000 900,000 1000,000 0,010 0,030 0,050 0,070 0,090 estão representadas no gráfico ao lado. A primeira transformação será feita a volume constante, e o gás vai do estado a até o estado c . A primeira lei da Termodinâmica diz que: dEINT = dQ – p dV e neste caso teremos que ∆Eac = ∆QV = µ CV ∆T p c b a T+∆T T V A segunda transformação será feita a pressão constante, e o gás vai do estado a até o estado b . A primeira lei da Termodinâmica diz que: dEINT = dQ – p dV e neste caso teremos que ∆Eab = ∆QP – p ∆V = µ CP ∆T – p (∆V)P Como a energia interna de uma gás ideal depende apenas da sua temperatura, temos que: ∆Eac = ∆Eab e portanto: µ CV ∆T = µ CP ∆T – p (∆V)P ou seja: RCCR p Rp T VpCC VPVP +=∴=   =     ∆ ∆=− µ µµ Transformação adiabática de um gás ideal Uma expansão adiabática é caracterizada por ser uma transformação onde o sis- tema não troca calor com as suas vizinhanças. Nestas circunstâncias, temos então que: dE = dQ – p dV ⇒ dE = µ CV dT = - p dV ou seja: dV C pdT Vµ −= Mas por outro, se diferenciarmos a equação do gás ideal encontramos que: R VdppdVdTRdTVdppdVRTpV µ µµ +=∴=+⇒= e igualando os termos em dT, temos que: dV C p R VdppdVdT Vµµ −=+= Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 12 ou seja: (CV + R) p dV + CV V dp = 0 Mostramos anteriormente que para um gás ideal: CP = CV + R logo: CP p dV + CV V dp = 0 ou seja: 0=+ p dp V dV C C V P Vamos definir γ = CP/CV aconstpV p dp V dV lnlnln0 ==+⇒=+ γγ e portanto: ( ) constapVapV ==∴= γγ lnln Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 15 ou seja:     − ∆= ''0 eded ed VVVV VV Hgp ρ Lembrando que os volumes considerados são partes dos ramos do manômetro, que têm seção reta A , e desse modo V = A h e portanto:     − ∆= ''0 eded ed hhhh hh Hgp ρ Usando que a densidade do mercúrio ρ = 1,36x104kg/m3 encontramos que: p0 = 1,55x105N/m2 = 1,55atm Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 11 A pressão p , o volume V e a temperatura T de um certo material estão relaciona- dos através da equação: V BTATp 2−= onde A e B são constantes. Encontre uma expressão para o trabalho realizado pelo material se a temperatura variar de T1 até T2 enquanto a pressão permanece constante. O trabalho realizado pelo sistema quando ele passa de um estado para outro é defi- nido como: ∫= 2 1 12 dVpW e como a pressão permanece constante (p1 = p2) nesse processo, temos que: ( ) 1122121 2 1 112 VpVpVVpdVpW −=−== ∫ Usando a dependência funcional mencionada: [ ] [ ] ( ) ( )21221221122212 TTBTTABTATBTATW −−−=−−−= Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 12 Um recipiente encerra dois gases ideais. Dois moles do primeiro gás estão presen- tes, com massa molar M1 .O segundo gás possui massa molar M2 = 3M1 , e 0,5mol deste gás está presente. Que fração da pressão total na parede do recipiente pode ser atribuída ao segundo gás? Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 16 (A explicação da pressão da teoria cinética conduz à descoberta experimentalmente de pressões parciais para uma mistura de gases que não reagem quimicamente: a pressão total exercida pela mistura é igual à soma das pressões que os vários gases exerceriam separadamente se cada um deles ocupasse o recipiente sozinho.) M1 µ1 = 2moles M2 µ2 = 0,5mol ( mi )= ( µi ) ( Mi ) (Massa) = (Número de moles) ( Massa molar) pi V = µi R T p = p1 + p2 = ( µ1 + µ2 ) RT/V ( ) 21 1 21 11 / / µµ µ µµ µ + = + = VRT VRT p p =0,8 e de modo equivalente: 2,0 21 22 = + = µµ µ p p Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 15 Uma bolha de ar com volume de 20cm3 está no fundo de um lago a 40m de pro- fundidade, onde a temperatura é 40C . A bolha sobe até a superfície, que está na temperatura de 200C . Considere que a temperatura da bolha de ar é a mesma que a da água ao seu redor. Exatamente quando a bolha atinge a superfície, qual o seu volume? Vi = 20cm3 = 2x10-5m3 Ti = 40C = 277K h = 40m Tf = 200C = 293K ρA = 103kg/m3 p0 = 1,013x105Pa Vamos chamar de situação inicial quando a bolha está no fundo do lago e situação final quando ela alcança a superfície. Temos que: f h i        == =+= f f f i i i V RTpp V RT ghpp µ µ ρ 0 0 Temos duas equações e duas incógnitas, Vf e µ .       −        =    −    =    −= 100 i f f i f f i i f f f f i i V V T Tp V T V T T Vp V T V TRgh µρ Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 17 Ou seja:     +    =⇒+=        00 11 p gh T T VV p gh V V T T i f if i f f i ρρ = 103cm3 Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 16 Um tubo de comprimento L = 25m que está aberto em uma extremidade, contém ar a pressão atmosférica. Ele é empurrado na vertical para dentro de um lago de água doce até que a água suba até a metade do tubo, como mostrado na figura ao lado. Qual a profundidade h da extremidade inferior do tubo? Suponha que a temperatura é a mesma em todos os pontos e que não varie com o tempo. L = 25m p0 = 1,013x105Pa ρ = 103kg/m3 A pressão na superfície do líquido dentro do tubo, é a mesma do gás acima desta superfície, e é dada por: pf = p0 + ρ g (h - L/2) onde estamos explicitando que esta é a situação final do tubo. Na situação inicial, este tubo está a pressão atmosférica. Como foi dito, a temperatu- ra é a mesma em todos os pontos e não varia L/2 h L/2 com o tempo, temos que: 0000 2 2 pp V V p V V ppVpRTVp f f f f i fffi =∴    =    =⇒== µ ou seja: pf = p0 + ρ g (h - L/2) = 2p0 ⇒ p0 = ρ g (h - L/2) logo: g pLh ρ 0 2 += = 22,83m Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 17 O recipiente A da figura abaixo contém um gás ideal a uma pressão de 5,0x105Pa e a uma temperatura de 300K . Ele está ligado por um tubo fino (e uma válvula fe- chada) ao recipiente B , com quatro vezes o volume de A . O recipiente B con- tém, o mesmo gás ideal a uma pressão 1,0x105Pa e a uma temperatura de 400K . A válvula é aberta para permitir que as pressões se igualem, mas a temperatura de cada recipiente é mantida constante em seus valores iniciais. Qual será então a pressão nos dois recipientes? pA = 5x105Pa TA = 300K pB 1x105Pa TB 400K VB = 4VA A B Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 20 RT pM M RT M RT V mp =⇒== ρρ onde ρ é a densidade do material considerado. A equação da variação da pressão terá a forma: dy RT Mg p dpg RT pM dy dp     −=⇒    −= Integrando, temos que: ( )00lnln yyRT Mgpp −    −=− Considerando que a superfície da Terra como origem do referencial, y0 = 0 , logo: RTMgyepypy RT Mg p p / 0 0 )(ln −=⇒    −=    Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 28 Mostre que a equação dos gases ideais p V = µ R T pode ser escrita na forma alter- nativa p = ρ R T / M onde ρ é a massa específica do gás e M é a massa molar. p V = µ R T onde molarmassa amostradamassa M m ==µ logo: M RT V mpRT M mpV     =⇒= e portanto: M RTp ρ= Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 33 Qual a trajetória livre média para 15 balas de goma esféricas em um saco que é sa- cudido vigorosamente? O volume do saco é 1litro e o diâmetro de uma bala é igual a 1,0cm . Considere colisões de balas com balas, não colisões de balas com o saco. N = 15balas V = 1l = 10-3m3 d = 1,0cm = 10-2m 2 1 dN VL π = Devemos corrigir essa equação ao considerar que todas as moléculas estão se Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 21 movimentando. A equação corrigida tem a forma: 22 1 dN VL C π = = 0,150m = 15,0cm Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker Vinte e duas partículas têm as seguintes velocidades ( Ni representa o número de partículas que possuem velocidade vi ) Ni 2 4 6 8 2 36 vi (cm/s) 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 a) Calcule a sua velocidade média vM . 22 70 28642 52483624121 = ++++ ++++== ∑ = xxxxx N v v N i i = 3,18m/s b) Calcule a sua velocidade média quadrática vRMS . 22 250 28642 5248362412 222221 2 2 = ++++ ++++== ∑ = xxxxx N v v N i i =11,36m2/s2 2vv RMS = = 3,37m/s c) Das cinco velocidades mostradas, qual a velocidade mais provável vP ? vP = 4,0m/s Capítulo 20 - Halliday, Resnick e Walker 43 A figura abaixo mostra uma distribuição hipotética de velocidades para uma amostra de N partículas de um gás (observe que P(v) = 0 para v > 2 v0 ) . a) Expresse a em termos de N e v0 . Observando o gráfico de P(v) versus v , po- demos notar que:         ≥ ≤≤ ≤≤    = 0 00 0 0 20 2 0 )( vvpara vvvparaa vvparav v a vP P(v) a 0 v0 2v0 v Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 22 A condição de normalização no diz que: ∫ ∞ = 0 1)( dvvP e portanto: [ ] 1 0 0 0 2 0 0 =+             ∫∫ v v v dvadvv v a ( ) 1 2 3 2 2 2 0 0 0 00 2 0 0 ==+=−+    av av av vva v v a ou seja:     = 03 2 v a b) Quantas das partículas possuem velocidades entre 1,5v0 e 2,0v0 ? A fração de partículas (N1/N) , com velocidade destro deste intervalo, tem a for- ma: [ ] ( ) 3 1 23 25,0)( 0 0 0 0,2 5,1 0,2 5,1 0,2 5,1 1 0 0 0 0 0 0 =         ===== ∫∫ v v vaavdvadvvP N N v v v v v v ou seja: 31 NN = c) Expresse a velocidade média das partículas em termos de v0 . ∫ ∞ = 0 )( dvvPvv [ ] ( )2020 3 0 0 22 0 3 0 2 0 0 4 2323 0 0 00 0 0 vva v v avav v advavdvv v avv v v vv v v −+=+=+             = ∫∫ 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 9 11 3 2 6 11 6 11 2 3 3 vv v avvavav =    ==+= d) Determine vRMS . ∫ ∞ = 0 22 )( dvvPvv [ ] ( )3030 4 0 0 23 0 4 0 2 2 0 0 22 8 3434 0 0 00 0 0 vva v v avav v advavdvv v avv v v vv v v −    +    =+    =+             = ∫∫ Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 25 volume constante: dEInt = dQ ⇒ ∆EInt = Q12 Como se trata de um gás ideal monoatômico: RTEInt µ2 3= ou seja: ( )1212 2 3 TTRQ −= µ e como temos apenas um mol: ( )1212 2 3 TTRQ −= e portanto: ∆EInt = Q12 = 3.740J W12 = 0 O processo 2 → 3 é realizado adiabaticamente, ou seja dQ = 0 e constpV =γ . dEInt = - dW ⇒ ∆EInt = - W12 Como se trata de um gás ideal monoatômico: RTEInt µ2 3= ou seja: ( )2323 2 3 TTRW −−= µ e como temos apenas um mol: ( )2323 2 3 TTRW −−= e portanto: ∆EInt = W23 = 1.807J Q23 = 0 O processo 3 → 1 é realizado a pressão constante. Usando a definição de tra- balho, encontramos que: ( )3111 1 3 31 1 3 VVpdVpdVpW V V −=== ∫∫ e como o gás é ideal p V = µ R T ou seja: W31 = R (T1 – T3) = - 1288J A energia interna de um gás ideal é dada por: Prof. Romero Tavares da Silva Cap 20 www.fisica.ufpb.br/~romero 26 RTEInt µ2 3= e portanto: ( )312 3 TTREInt −=∆ = - 1932J Usando a primeira lei da Termodinâmica, temos que: ∆EInt = Q31 – W31 ⇒ Q31 = ∆EInt + W31 ou seja: ( )3131 2 5 TTRQ −= = -3220J b) A pressão no ponto 1 é 1,00atm . determine a pressão e o volume nos pontos 2 e 3 . Use 1,00atm = 1,013x105Pa e R = 8,314J/mol . K p1 = 1,00atm = 1,013x105Pa R = 8,314J/mol . K T1 = 300K T2 = 600K T3 = 455K 3 1 1 1 246,0 mp RT V ==        == = 3 3 3 3 13 0373,0 m p RT V pp        === = atmmNx V RT p VV 0,2/100,2 25 2 2 2 12
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