Baixe Teoria da Relatividade Geral e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 OS FUNDAMENTOS DA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL ! Por Albert Einstein A - Considerações básicas sobre o postulado da relatividade $ 1-- Notas sobre a teoria da relatividade especial A teoria da relatividade especial assenta n seguinte postulado, ao qual satisfaz também a me- cânica de Galileu - Newton: se um sistema de coordenadas K for de tal maneira escolhido que as leis da física sejam nele válidas na sua forma mis simples, então as mesmas leis serão igualmente válidas em relação a qualquer outro sistema de coordenadas K' que em relação a K esteja animado de um movimento de translação uniforme. Chamaremos a este postulado o "Princípio da Relativi- dade Especial". Com a palavra "especial " deve entender-se que o princípio se restringe ao caso em que K ' tem um movimento de translação uniforme em relação a K, não devendo portanto a equi- valência de K com K" estender-se ao caso em que haja movimento não uniforme de K' em relação K. Sendo assim, não é o postulado da relatividade que afasta da mecânica clássica a teoria da re- latividade, mas tão somente o postulado da constância da velocidade da luz no vácuo, do qual, em combinação com o princípio da relatividade especial, deriva, do modo conhecido, a relatividade da simultaneidade, assim como a transformação de Lorentz e as leis, com esta relacionadas, do com- portamento em movimento dos corpos rígidos e dos relógios. A modificação experimentada pela teoria do espaço e tempo através da teoria da relatividade especial é, na verdade, profunda; mas permanece intacto um ponto importante: a teoria da relativi- dade especial continua a aceitar que os princípios da geometria têm o significado imediato de leis sobre as possíveis posições relativas de corpos rígidos (em repouso) e, de um modo mais geral, que os princípios da cinemática são as leis que regem o comportamento das réguas de medição e dos relógios. A dois pontos materiais considerados sobre um corpo (rígido) corresponde sempre, segun- do essas leis, um segmento de comprimento inteiramente determinado, independente da localização e da orientação do corpo, assim como do tempo; e a duas posições dadas de um ponteiro de relógio que esteja em repouso em relação a um sistema de referência ( que seja admissível) corresponde sempre um intervalo de tempo de extensão determinada, independente de local e de época. Daqui a pouco se mostrará que a teoria da relatividade geral não pode aderir a uma interpretação física do espaço e tempo tão simples como esta. $ 2- Sobre as razões que sugerem a necessidade de uma extensão do postulado da rela- tividade. A mecânica clássica, e, não menos que ela, a teoria da relatividade especial, incluem um de- feito epistemológico que foi posto em evidência, provavelmente pela primeira vez, por E. Mach. Vamo-lo apresentar no exemplo seguinte: suponhamos que dois corpos fluídos, da mesma espécie e * Extraído de Am. d. Phys. 49 ( 1916). Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 igual tamanho, flutuam livremente no espaço, a uma distância de tal maneira grande um do outro ( e de todas as restantes massas) que as únicas forças de gravitação a considerar são as que entre si exercem as partes componentes de um mesmo corpo. Suporemos invariável a distância entre os corpos, e inexistente qualquer movimento relativo entre as partes de um mesmo corpo; mas admitiremos que cada uma das massas - vista por um ob- servador imóvel em relação à outra — apresenta, em torno da reta que une as duas massas, um mo- vimento de rotação de velocidade angular constante (havendo assim um movimento relativo verifi- cável entre as duas massas). Imaginemos agora que, por meio de réguas ( em repouso relativo), se fazem medições sobre as superfícies dos dois corpos ( $1 e $> ), chegando-se à conclusão de que é esférica a superfície de S1 e elipsoidal de revolução a de S>. Pergunta-se agora: por que razão se comportam de modo diverso S e S, ? Uma resposta a esta pergunta só pode ser considerada satisfatória do ponto de vista epistemológico? se aquilo que se apresentar como causa dor um fato experimental observável : porque a lei da causalidade só pode tomar-se como uma lei do mundo da experiência se unicamente fatos observáveis aparecerem em última análise como causas e efeitos. A mecânica newtoniana não dá a esta pergunta qualquer resposta satisfatória. Com efeito o que ela diz é o seguinte: as leis da mecânica têm validade num espaço R, em relação ao qual o cor- po S, está em repouso, mas não a têm num espaço R, em relação ao qual está em repouso S5 . O es- paço admissível de Galileu que aqui se introduz (assim como o movimento relativo referido a ele) é uma causa puramente fictícia, nada que seja observável. Torna-se assim claro que a mecânica de Newton, no caso considerado, não satisfaz de fato, mas apenas de modo aparente, à exigência da causalidade, dado que atribui a uma causa meramente fictícia, Rj , a diferença de comportamento que se observa nos corpos $, e S> . Uma resposta aceitável para a questão acima formulada só pode ser a seguinte: como o siste- ma físico formado por S, e S; não apresenta dentro de si nada que seja possível imaginar como cau- sa da diferença de comportamento de $; e S2, essa causa tem de se encontrar fora do sistema. Che- ga-se assim à idéia de que as leis gerais do movimento de que resultam, como aplicação particular, as formas de S1 e S; devem ser tais que o comportamento mecânico destes corpos fique condiciona- do de um modo decisivo por massas distantes, não incluídas no sistema considerado. Em tais mas- sas distantes ( e nos seus movimentos relativos a respeito dos corpos considerados) é que se devem considerar residindo as causas, em princípio observáveis, da diferença de comportamento dos cor- pos de que nos estamos a ocupar: são elas que assumem o papel da causa fictícia Rj. De todos os espaços imagináveis R1 , R2, etc. , que se movam em relação uns aos outros de qualquer modo, ne- nhum deles deve "a priori "ser preferido, se não quisermos fazer ressurgir a objeção epistemológica apresentada. As leis da física devem ter uma estrutura tal que a sua validade permaneça em siste- mas de referência animados de qualquer movimento. Chegamos deste modo a um alargamento do postulado da relatividade. Mas, além deste 'ponderoso argumento epistemológico, há também um fato físico bem conhe- cido que advoga uma extensão da teoria da relatividade. Seja K um referencial de Galileu, isto é, um sistema de referência tal que, em relação a ele (e pelo menos no domínio quadridimensional consi- “ E claro que uma tal resposta pode ser aceitável do ponto de vista epistemológico e no entanto continuar inaceitável do ponto de vista físico, por estar em contradição com outras experiências. 1» Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 cularmente simples. nada mais resta, por conseguinte, que considerar como equivalentes em princí- pio para a descrição da natureza todos os sistemas de coordenadas que se possam imaginar > Isto equivale a exigir a seguinte condição: As leis gerais da natureza devem ser representadas por equações que tenham validade em todos os sistemas de coordenadas, isto é, que sejam covariantes em relação a toda e qualquer substituição (covariância geral). É claro que uma física que satisfaça a este postulado também satisfaz o postulado da relativi- dade geral, porque em todas as substituições estão sempre necessariamente incluídas aqueles que correspondem a todos os movimentos relativos dos sistemas de coordenadas (tridimensionais). Que esta exigência de convari6ancia geral, que tira ao espaço e ao tempo os últimos resíduos de objetivi- dade física, seja uma exigência natural resulta da reflexão seguinte. Todas as nossas constatações espaço-temporais reduzem-se sempre à determinação de coincidências espaço-temporais. Se, por exemplo, o processo consistir apenas no movimento de pontos materiais, a única coisa que em últi- ma análise é observável é o encontro de dois ou mais desses pontos. Mesmo os resultados das nos- sas medições outra coisa não são que a constatação de tais encontros entre pontos materiais das nos- sas réguas e outros pontos materiais, ou então coincidências entre ponteiros de relógios, pontos de mostrador e os pontos-acontecimentos que se estão considerando e ocorrem no mesmo lugar e no mesmo instante. A introdução de um sistema de referência não têm outro fim que não seja uma descrição mais fácil do conjunto de tais coincidências. Suponhamos que se associam ao universo quatro variáveis espaço-temporais x,, x2, x3, x4, de tal modo que a cada ponto-acontecimento corresponda um si: tema de valores das variáveis xy, ... x4. A dois pontos-acontecimentos em coincidência corresponde o mesmo sistema de valores das variáveis xy, ... xs; isto é, a coincidência caracteriza-se pela iden- tidade dos valores das coordenadas. Se em vez das variáveis x,, ... x4 Se introduzirem como coorde- nadas de um novo sistema funções arbitrárias delas, x; , x2, x3, xs de tal modo que os sistemas de valores se correspondam univocamente, então também no novo sistema a coincidência espaço- temporal de dois pontos-acontecimento se exprimirá pela identidade de valores de cada uma das quatro coordenadas. Como toda a nossa experiencia física pode, em última análise, ser reduzida a tais coincidências, não há nenhuma razão para dar preferência a determinado sistema de coordena- das em relação a outros, isto é, chegamos ao postulado da covariância geral. $ 4 Relação das quatro coordenadas com os resultados das medições espaciais e tempo- rais. Expressão analítica para o campo da gravidade. Não é minha intenção neste artigo apresentar a teoria da relatividade geral como um sistema lógico, simplificado na medida do possível, com um mínimo de axiomas. O meu fim principal é antes desenvolver esta teoria de modo a fazer sentir ao leitor como é psicologicamente natural o caminho que se tomou e como se revelam seguras através da experiência as bases de que se partiu. Com este objetivo em vista, estabeleceremos agora a seguinte premi: Desde que se faça uma escolha apropriada de coordenadas, torna-se possível a teoria da relati- vidade no sentido restrito a domínios quadridimensionais infinitamente pequenos. 5 ão mencionaremos aqui certas restrições impostas pela exigência da coordenação unívoca e pela da continuidade. Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Nessa escolha deve atribuir-se ao sistema de coordenadas infinitamente pequeno "local" um estado de aceleração tal que fique removido todo e qualquer campo de gravidade: o que para uma região infinitamente pequena é possível. Sejam X,, X2, X 4, as coordenadas espaciais de tal sis- tema; X, a respectiva coordenada temporal , medida numa unidade apropriada $. Estas coordenadas têm para uma dada orientação do sistema de coordenadas, um significado físico direto dentro da te- oria da relatividade especial, desde que se adapte como régua-unidade uma barra rígida. A expres- são: (1) ds? =-dx?-dx) dx -dxS tem então, segundo a teoria da relatividade espacial, um valor que é independente da orientação do sistema de coordenadas local e que é determinável por medição espaço-temporal. Chamaremos a das grandeza do elemento da linha correspondente a pontos infinitamente próximo do espaço qua- dridimensional. Se o ds? correspondente ao elemento (dX, .... dX4) for positivo, nós diremos como Minkowski que este último elemento é de gênero temporal e no caso contrário de gênero espacial. Suponhamos que, em vez do sistema "local" de características especiais acima referido, se adapta como referencial um sistema quadridimensional qualquer, definindo-o para a região que es- tamos considerando. Então, ao nosso " elemento de linha", ou ao respectivo par de pontos- acontecimento, corresponderão também determinadas diferenciais dx, ... dx, das coordenadas desse referencial. E então os dX, serão representáveis por expressões lineares e homogêneas. dos dxo : (2) dX, =) ayo dxo Se se introduzirem estas expressões em (1), obtém-se (3) ds? = gor dxodxr Nestas expressões, os g 67 são funções dos x6 . os seus valores não poderão já depender da orientação e do estado de movimento do sistema de coordenadas "local", se quisermos admitir como definição para o ds? a de uma grandeza associada a pares de pontos acontecimento considerados no espaço-tempo, independente de qualquer escolha particular de coordenadas, e determinável por meio de medições de régua e relógio. Imporemos à escolha dos g ot a condição g otT=g 6T. O so- matório, estendido a todos os valores de 6 e 7, dar-nos-á então uma soma de 4 x 4 parcelas, das quais 12 são duas a duas iguais. Da definição que acabamos de dar ao ds? poderá passar-se para o caso da teoria da relativida- de habitual sempre que o condicionamento particular dos g 67 num domínio finito permita estabele- cer nesse domínio um sistema de referência em que os g 67 assumam os valore constantes $ A unidade de tempo deve ser escolhida de tal modo que a velocidade da luz no vácuo — medida no sistema de coor- denadas " local" — seja igual a 1. Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 (4) Veremos mais tarde que a escolha de tais coordenadas para domínio finitos não é geralmente possível. Das considerações feitas nos 88 2 e 3 resulta que, do ponto de vista físico, as grandezas g 67 devem ser consideradas como sendo aquelas que, relativamente ao sistema de referência que foi es- colhido, fazem a descrição do campo de gravidade. Com efeito, admitamos que, para um determi- nado domínio quadridimensional considerado, se conseguiu alcançar a validade da teoria da relati- vidade especial mediante uma adequada escolha das coordenadas. Os g 67 têm então os valores da- dos em (4). Um ponto material livre terá então, em relação a este sistema, um movimento rectilíneo e uniforme. Se agora introduzirmos, por uma substituição arbitrária, novas coordenadas espaço- temporais x, , .... X4 OS g GMO novo sistema não serão já constantes, ma sim funções do espaço- tempo. Ao mesmo tempo, o movimento do ponto material livre apresenta-se nas novas coordenadas como um movimento curvilíneo, não uniforme, cuja lei é independente da natureza do ponto mate- rial móvel. Isso leva-nos a interpretá-lo como um movimento sujeito à influência de um campo de gravidade. A intervenção de um campo de gravidade aparece-nos, deste modo, associada a uma va- riabilidade espaço-temporal dos g 67 . No caso geral não é possível fazer uma escolha de coordena- das que permita alcançar a validade da teoria da relatividade especial num domínio finito, mas mesmo nesse caso manter-nos-emos fiéis à idéia de que g 67 descrevem o campo gravitacional. A gravidade desempenha pois, na teoria da relatividade geral, um papel excepcional em rela- ção às outras forças, e particularmente em relação às forças electromagnéticas, visto que as 10 fun- ções g 67 que fazem a descrição do campo gravitacional determinam, ao mesmo tempo, as proprie- dades métricas do espaço métrico quadridimensional. B - Instrumentos matemáticos para a construção de equações de covariância geral Depois de termos reconhecido, nas páginas precedentes, que o postulado da relatividade geral leva à exigência de que os sistemas de equações da física sejam covariantes em relação a substitui- ções arbitrárias de coordenadas xy, ..., x4, temos que pensar na maneira de obter essas equações de covariância geral. É deste problema, puramente matemático, que nos vamos ocupar agora. Como vamos ver, na sua resolução desempenha um papel fundamental o invariante ds , ao qual demos o nome de "elemento de linha ", tirado da teoria das superfícies de Gauss. A idéia fundamental desta teoria geral dos covariantes é a seguinte: Suponhamos que se defi- nem em relação a todo o sistema de coordenadas certos entes ( "tensores” ), sendo a definição feita por meio de um certo número de funções espaciais, que se chamarão as " componentes" do tensor. Há então determinadas regras pelas quais se podem calcular estas componentes para um novo sis: tema de coordenadas, desde que sejam conhecidas para o sistema original, e desde que seja também conhecida a transformação que liga os dois sistemas. Os entes a que daqui em diante chamaremos tensores são, além disso, caracterizados pelo fato de as equações de transformação para as suas componentes serem lineares e homogêneas. Sendo assim, todas as componentes no novo sistema se anulam, se isso também suceder a todas elas no sistema primitivo. Consequentemente uma lei da natureza que seja formulada pelo anulamento de todas as componentes de um tensor é de covariân- Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 as quais é válida a lei de transformação dxu dx, So dxo dxt (1) A É por meio desta lei de transformação que se define o tensor covariante de segunda ordem. Todas as observações que até aqui se fizeram a respeito dos tensores contravariantes são igualmente válidos para os tensores covariantes. NOTA: É conveniente tratar o escalar (invariante) como tensor de ordem zero, que tanto é contravariante como covariante. Tensor misto: Pode também definir-se um tensor de segunda ordem do tipo. (12) Auv= Ay B", que é covariante quanto ao índice 4 e contravariante quanto ao índice v . A sua lei de transformação é 6 E Ox, dx, ; (13) “Ox dx, de É claro que há tensores mistos com um número qualquer de índices de caráter covariante e com um número qualquer de índice de caráter contravariante. O tensor covariante e o tensor contra- variante podem ser considerados casos especiais do tensor misto. Tensores simétricos: Um tensor contravariante ou covariante de segunda ordem ou de ordem mais elevada diz-se simétrico quando são iguais duas componentes provenientes uma da outra pela permuta de dois índices quaisquer. O tensor 4º” ou o Ay», é pois simétrico se for para qualquer combinação dos índices, respectivamente (14) At” = A!” ou (4a) Auv = Ayuv É necessário demonstrar que a simetria assim definida é uma propriedade independente do sistema de referência. Com efeito, de (9) resulta, atendendo a (14), o OX, dxT uv dx, dxT vu OxTOx'o = A" = = AM DAS dx, dx, dx, Ox, dx, Ox, A penúltima igualdade provém da permuta dos índices de soma u e v (isto é, de uma simples mudança de notação). Tensores anti-simétricos: Um tensor contravariante ou covariante de segunda, terceira ou quarta ordens diz-se anti-simétrico quando duas componentes provenientes uma da outra por per- mutação de dois índices quaisquer são iguais e de sinais contrários. O tensor A” ou 0 Ayv, É pois anti-simétrico sempre que se tenha, respectivamente 10 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 (15) A => AH, ou (15 a) Auv = — Ay” Das 16 componentes A!” reduzem-se a zero as quatro A! : as restantes são, aos pares, iguais e de sinais contrários, de modo que só há 6 componentes numericamente diferentes (vetor de seis componentes ou sextivector). Do mesmo modo se vê que o tensor anti-simétrico A! "º ( de terceira ordem) só tem quatro componentes numericamente diferentes, o tensor AtYS! só tem uma, e não há, no contínuo de quatro dimensões, tensores anti-simétricos de ordem superior à quarta. $7- Multiplicação de tensores Multiplicação externa de tensores: Com as componentes de um tensor de ordem z e as de um outro de ordem z” podem obter-se as componentes de um tensor de ordem z + z', multiplicando duas a duas todas as componentes do primeiro por todas as componentes do segundo. É assim, que, no exemplo seguinte, se obtêm os tensores T à custa de tensores 4 e B , de diversas espécies. Tu. =A Bo yo TEM AS Byô ô ê TU = Asp BY A prova do caráter tensorial dos T resulta diretamente das expressões (8), (10), (12) ou das regras de transformação (9), (11), (13). As equações (8), (10), (12) são em si mesmas exemplos de multiplicação externa (de tensores de primeira ordem). Contradição de um tensor misto: A partir de qualquer tensor misto pode-se formar um tensor de ordem inferior em 2 unidades à do primeiro, igualando um índice de caráter covariante a um de caráter contravariante e somando em relação a tal índice (" contração") . Assim, por exemplo, do . ê tensor misto de quarta ordem A ip obtém-se o tensor de segunda ordem. ô - aB| aB Ap=Aap [=E4ss) a e deste, novamente por contração, o tensor de ordem zero A 5 =A ç =A a A prova de que o resultado da contração possui realmente caráter tensorial obtém-se com a representação tensorial feita de acordo com a generalização (12) em combinação com (6), ou então por generalização de (13). Multiplicação interna e mista de tensores: estas operações consistem na combinação da mul- tiplicação externa com a contração. Exemplos. Com o tensor covariante de segunda ordem A, », e o tensor contravariante de pri- meira ordem Bº formamos, por multiplicação externa, o tensor misto Di =AvBº. uv uv Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Por contração segundo os índices v, O forma-se o quadrivetor covariante. Di= Di, =4,,B”. gv Chamar-lhe-emos produto interno dos tensores Ay, e Bº forma-se, por multiplicação externa e du- pla contração, o produto interno Ay, B””. Com o resultado da multiplicação externa e uma só contração obtém-se a partir de Ay v e BY o tensor misto de segunda ordem Di =A ,,B'"”. Pode-se, adequadamente, designar por mista esta oper: ces 4 e Te interna em relação aos índices ve 6. o aos índi- ção, visto que é externa em rela Vamos agora demonstrar um teorema que se aplica muitas vezes ara verificar o caráter tenso- rial. Segundo o que acabamos de expor, Ay, Bº” é um escalar se Ay, e BY forem tensores. Pois vamos agora estabelecer também o seguinte: Se Ayuv B"” for um invariante para toda e qualquer escolha do tensor B"”, então A, y tem ca- ráter tensorial. Demonstração: Tem-se, por hipótese, para uma substituição arbitrária, Ao! BT =Ayy Bº Mas, por inversão de (9) dx, Ox, uv “ Oxa dx or! Substituindo na equação anterior: As A Bº=0 CE dx, OxT a Esta igualdade só pode ser satisfeita, sendo arbitrária a escolha de BT”, se a expressão dentro do parêntese for nula. Daqui resulta, atendendo a (11), o teorema que enunciamos. Pode-se, de modo análogo, demonstrar um teorema correspondente a este para tensores de qualquer ordem e de qualquer caráter. O mesmo teorema pode ainda demonstrar-se na forma seguinte: Se B! e C"forem vectores arbitrários e se , quaisquer que eles sejam, o produto interno Auv B! O" for um escalar, então Ag y é um tensor covariante. Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Daqui resulta, aplicando duas vezes a regra da multiplicação de determinantes JIxa |loxv | oxu SToxo | |oxz| E rloxo| * Ox u ou ro vg. Por outro lado, a lei de transformação do elemento dt= dx, dx, dxs dxs é segundo o conhecido teorema de Jacobi a u Multiplicando as duas últimas equações, obtém-se (18) Jedi = Jgdr. Em vez de RA introduziremos no que se segue a grandeza /— g , que tem sempre valor real, em virtude do caráter hiperbólico do contínuo espaço-tempo. O invariante /— g dT é igual à grandeza do elemento de volume quadridimensional, medido no "sistema de referência local" por meio de barras rígidas e relógios, tal como na teoria da relatividade especial. Nota sobre o caráter do contínuo espaço-tempo. A nossa suposição de que a teoria da relativi- dade especial é sempre válida no infinitamente pequeno arrasta consigo a consegiiência de que ds? se pode sempre exprimir, de acordo com (1), por meio das grandezas reais dx, dx, dx; dx, Se designarmos por dt o elemento de volume "natural" dx, dx, dx, dx, teremos então (18a) dw=V-g.dr. Se 8 tendesse para zero em determinado local do contínuo quadridimensional, isso signi- ficaria que, nesse local, a um volume finito definido com as coordenadas corresponderia um volume "natural" infinitamente pequeno. Admitamos que isso não possa nunca suceder. Nesse caso, g não poderá mudar de sinal: admitiremos, em acordo com a teoria da relatividade especial, que g tem sempre um valor finito negativo. Isto constitui uma hipótese sobre a natureza física do contínuo considerado e, ao mesmo tempo, uma estipulação sobre a escolha das coordenadas. Mas se — g é sempre positivo e finito, está naturalmente indicado que se faça "a posterio uma escolha de coordenadas tal que esta grandeza seja igual a 1. Veremos mais tarde que uma tal Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 limitação imposta à escolha das coordenadas permite chegar a uma simplificação apreciável das leis da natureza. Em vez de (18) , temos então simplesmente dt = dt donde, atendendo ao teorema de Jacobi, Ox'o dx, (19) Com esta escolha de coordenadas só são pois admissíveis as substituições de coordenadas que te- nham determinante igual a 1. Seria porém errôneo crer que este passo represente uma renúncia parcial ao postulado da rela- tividade geral. Não perguntaremos: "quais são as leis da Natureza que são covariantes em relação a todas as transformações cujo determinante é 1? " Perguntamos sim: " quais são as leis da natureza de covariância geral 7" Só depois de as termos estabelecido é que faremos uma escolha particular do sistema de referência par simplificar a sua expressão. Construção de novos tensores por meio do tensor fundamental . Por meio da multiplicação interna, da multiplicação externa e da multiplicação mista de um tensor pelo tensor fundamental formam-se tensores de outro caráter e de outra ordem. At=gte A A=8 qy A o Exemplos: Notem-se especialmente as construções seguintes: vocuv vB A =e""g Aug Av Bu Gu A (" complementos", respectivamente, do tensor covariante e do contravariante), e — B Bav=Suv 8 Aug Chamaremos Br O tensor reduzido correspondente a Agr. Analogamente Br=g" gu A? Note-se que g”” não é mais que o complemento de gy , . Com efeito s" gr gab=g"" OL =g"" $ 9 - Equação da linha geodésica (isto é, do movimento do ponto) Como o " elemento da linha” ds é uma grandeza definida independentemente do sistema de coordenadas, também a linha traçada entre os dois pontos P; e P; do contínuo quadridimensional Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 para a qual I ds é um extremo ( linha geodésica) tem um significado independente da escolha das coordenadas. A sua equação é P2 (20) ê [ah -0. m Partindo desta equação chega-se por um conhecido processo do cálculo das variações a quatro equa- ções diferenciais totais, que determinam esta linha geodésica. Para apresentar o assunto de um modo completo, vamos fazer aqui essa dedução. Seja À uma função das coordenadas x, ; esta função defi- ne uma família de superfícies que interceptam a linha geodésica procurada, assim como as linhas infinitamente próximas desta que passem pelos pontos P; e P>. Qualquer destas linhas pode então imaginar-se determinada pela expressão das suas coordenadas x, em função de À . Suponhamos que o símbolo ó corresponde ao transporte de um ponto da linha geodésica procurada para o ponto de uma curva vizinha que corresponde ao mesmo À . Nesse caso, poderemos substituir (20) por (20 a) nôwdAÃ=0 I 2 dx, dx, 20 Eu ga dA Mas como 1[1 Og, dx, dx dx dx 6w=>4— uv “ vg “gs o ” E dxu dy dh TOA 8uo [ )| resulta, substituindo ô w em (20 a), tendo em conta que 5 dxo | dôx, di) di? e após integração parcial Issôx,di=o 41 (20 b) dA gol Jguade| 198 dx, dx, tos w dA | 2wox, dA dA Daqui resulta, por ser arbitrária a escolha dos ô x, que os x se reduzem a zero: (20c) xç=0. Tais são as equações da linha geodésica. Se não for ds = O sobre a linha geodésica considerada, po- deremos tomar como parâmetro À o " comprimento de arco " s medido sobre a linha geodésica. Será então w = | e, em vez de (20c), teremos: dx, Ino dx, dx (O Buy dy dx, suo qa + Ox, ds ds Odxo ds “ds 17 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Poderemos agora mostrar facilmente que o processo de formação de expressões que acaba- mos de indicar continua a originar tensores quando já não se verifique a condição acima admitida de AH poder ser considerado um gradiente. Para provarmos isso, comecemos por notar que dy V=qxu é um quadrivetor covariante quando y e q forem escalares. Também assim sucede a uma soma de quatro termos análogos ao anterior. o «1 o (4) su=yO dra ++ av desde que y (5 Q D. y ) Q & sejam escalares. Ora é claro que qualquer quadrivetor covariante se pode representar na forma Su : com efei- tos, se A for um quadrivetor cujas componentes sejam dadas por funções quaisquer dos x v, basta- rá tomar (em relação ao sistema de coordenadas escolhido) , 2) XI, , qO=x, , qÓ=xs, , q =x, para se conseguir que Sgt se torne igual a Ay. Sendo assim, se conseguirmos demonstrar que A v é um tensor sempre que, no segundo membro da sua expressão, A represente um quadrivetor da forma Su , demonstrada ficará a mes- ma afirmação para o caso de Ay representar um quadrivetor covariante inteiramente arbitrário. Ora um rápido exame de (26) mostra que basta fazer a demonstração para o caso de ser ay dxu Au=y para que fique feita para Su . Considerando então esse caso, notemos que o produto por q do se- gundo membro de (25) tem caráter tensorial. E Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 é igualmente um tensor (produto externo de dois quadrivetores). De uma adição resultará então o caráter tensorial de o ow nv ow Oxv [v 2) | : ze] . Com isto fica feita a demonstração para o quadrivetor dy Vou com se reconhece imediatamente olhando para (26). E portanto ficará igualmente feita, como se provou, para todo e qualquer quadrivetor AL. Recorrendo à extensão do quadrivetor, fácil é definir a "extensão" de um tensor covariante de ordem arbitrária por generalização daquela. Limitar-nos-emos a estabelecer a extensão do tensor de segunda ordem, porque esta deixa já compreender claramente qual é a lei de formação. Como já foi notado, todo o tensor covariante de segunda ordem pode ser representado por uma soma de tensores do tipo Au Bv *. Bastará por isso deduzir a fórmula da "extensão" para ten- sores deste tipo especial. De acordo com (26), as expressões AU ou -— AT xo] Bv sv Br dxo ' têm caráter tensorial. Multiplicando externamente a primeira por Bv e a segunda por Ajt , obtém-se em cada um dos casos um tensor de terceira ordem; a adição desses tensores dá o tensor, também de terceira ordem, o o ov (27) auvo= 2d | ] av faus dxo T T 8 Por multiplicação externa dos vectores que têm respectivamente por componentes A,;, Aj2, Ajs, Ajs, € 1,0,0,0, forma-se um tensor com as componentes An Ap As Au 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Por adição de quatro tensores deste tipo obtém-se o tensor cujas componentes foram arbitrariamente prefixadas. onde se pôs Au v = A Bv. Como o segundo membro de (27) é linear e homogêneo em relação aos Agy e suas primeiras derivadas, esta lei de formação conduz a um tensor, não só quando se parte de 2 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 um tensor do tipo Ay Bv, mas ainda quando se parte de uma soma de tensores desse tipo, isto é, quando se parte de um tensor covariante arbitrário de segunda ordem. Ao tensor Au vo daremos o nome de extensão do tensor Au v. É claro que (26) e (24) exprimem apenas casos especiais de extensão (de tensores de ordem 1 e de ordem ), respectivamente). De um modo geral, todas as leis especiais de construção de tensores ordem ser consideradas provenientes de (27) em combinação com multiplicação de tensores. $ 11. Alguns casos particulares de especial importância Alguns lema respeitantes ao tensor fundamental. Vamos agora estabelecer fórmulas que nos hão de ser de grande utilidade no que se segue. Em virtude da regra da diferenciação de determinantes, tem-se (28) dg=g"" gdg uy =-gUV gdg*” A última expressão obtém-se da penúltima, u gsuvguv=ô ondeg,, g""=4 eporconseguinte v Suv 80 + gs" dguv= 0 De (28) resulta (29) A AE 1 9lgC 1a DB dg dx, 2 dxo 28 dx, De Eu gl = 6 u resulta, por outro lado, por diferenciação guvdg"? =-g"º dg ss (30) dgvo vo 98 no v =-8 Oxy OxA Efetuado o produto misto por g” * índices) dg" =-g"" g dgaB, G1) dg” g 98 ap =-gugr dx, dx, 22 atendendo a que 1 dg 28 w Ox, e gv , respectivamente, obtém-se (modificando a notação dos Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Dag (39) AG = 5 ease dotai Por contração de (38) em relação aos índices B e o (multiplicação interna por ô% » obtém- se o quadrivetor contravariante JAP ac pas alojar. Dada a simetria de [£ 3 em relação aos índices B ex, terceiro termo do segundo membro re- duz-se a zero se A É for um tensor anti simétrico, o que vamos admitir; por outro lado, o segundo termo pode ser transformado por aplicação de (29 a). Obtém-se assim 1 og 4º) (40) AT 3 É esta a expressão da divergência de um sextivetor contravariante. Divergência do tensor misto de segunda ordem. Efetuando a contração de (39) em relação aos índices & e 6, obteremos, atendendo a (29 a). aca as) (41) Fra, e NEEAS Introduzindo no último termo o tensor contravariante A? º = g?* A º , ele tomará a forma -[e]y-g a” Se o tensor A? º for simétrico, a expressão anterior reduzir-se-á a raca po Se, em vez de A? º, se tivesse introduzido o tensor covariante, igualmente simétrico , A po = gpa g , então o último termo teria tomado, em virtude de (31), a forma po Assim, no caso de simetria considerado, (41) pode substituir-se por qualquer das formas 25 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 oly-g Aq 198,6 (41 a) gra, = Eai) tô8, AºS e o “ olN-g AD) 10gº (41b) gra Ne aid tos Cg As u que havemos de aplicar mais tarde. $ 12. O tensor de Riemann-Christoffel Vamos agora investigar quais são os tensores que se podem formar por diferenciação, utili- zando como ponto de partida somente o tensor fundamental dos gu v. A resposta parece à primeira vista muito fácil. Basta substituir em (27) o tensor arbitrário Au v pelo tensor fundamental dos g*” para se obter um novo tensor, que é a extensão do tensor fundamental. Mas é fácil chegar à convic- ção de que tal tensor é identicamente nulo. Poderemos, no entanto, atingir o objetivo em vista se- guindo o caminho que se vai expor. Introduzamos em (27). A IA nr A isto é, a extensão do quadrivetor At . Obtém-se então (com uma pequena modificação nos nomes dos índices) o tensor de terceira ordem 9º A, nosS Ox ç0x, IA JA IA UG a a teto tea Esta expressão sugere a construção do tensor AuoT — ATO, visto que, nessa construção, o pri- meiro termo da expressão de AOT, o quarto termo, e também o termo correspondente à última par- cela do parêntese reto, são cancelados pelos termos da mesma ordem da expressão de AUTO , dado que todos esses termos são simétricos em 6 e T. E o mesmo acontece com a soma do segundo e terceiro termos. Obtemos assim A (42) Agoe Ago E BA o o Bisa) AL o o) (43) Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 O que há de essencial neste resultado é que no segundo membro de (42) entra apenas os Ap e não já as suas derivadas. Do caráter tensorial de AuoT — AWTO, em conjunção com o fato de Ap ser um quadrivetor de escolha arbitrária, resulta, tendo em vista as conclusões de $ 7, que Bi, éum tensor (tensor de Riemann-Christoffel). A importância matemática deste tensor provém do seguinte. Quando o contínuo é constituído de tal modo que existe um sistema de coordenadas em relação ao qual os gy são constantes, então todos os Bi, >) se reduzem a zero. Se substituirmos o sistema de coordenadas original por um : novo sistema, arbitrário, os gy» referidos a este já não serão constantes; mas o caráter tensorial de Bº.. *) arrasta consigo a consegiiência de estas componentes continuarem a ser todas nulas no uot stema de referência arbitrário. O anulamento do tensor de Riemann é assim uma condição nec ria para se obter a constância dos gy» mediante uma escolha apropriada do sistema de referência” ). No nosso problema isto correpsonde a conseguir a validade da teoria da relatividade especial num domínio finito mediante uma escolha conveniente do sistema de coordenadas. Por contração de (43) em relação aos índices 7 e p , obtém-se o tensor covariante de segunda ordem Ba= “no +S av n Rue ta $ o sia - qu Pesos ais ur “Ox, Ox, Observação sobre a escolha das coordenadas. Já foi notado no $ 8, a propósito da equação (18 a), que há vantagem em escolher o sistema de coordenadas por forma a tornar RE =1.Um rápido exame das equações obtidas nos dois últimos parágrafos mostra que, com essa escolha, as leis de formação de tensores sofrem uma simplificação notável. Isto aplica-se em particular ao ten- sor Buv que acabamos de desenvolver, o qual vai desempenhar , o qual vai desempenhar um papel fundamental na teoria que vamos apresentar. Com efeito, a escolha do sistema especial de coorde- nadas que vimos referindo origina o anulamento de S tv, e isso reduz o tensor Buv a Rg. ? Os matemáticos demonstraram que esta condição é também suficiente. Por este motivo, todas as relações serão daqui em diante apresentadas na forma simplificada a que a referida escolha particular de coordenadas conduz. E depois fácil voltar às equações coviantes gerais, se isso se mostrar conveniente num caso particular. € - Teoria do campo gravitacional $ 13 - Equação do movimento do ponto material no campo gravitacional. Expressão das componentes desse campo 27 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Para mostrar que as equações de campo correspondem à lei da impulsão-energia é da maior conveniência escrevê-las na seguinte forma de Hamilto: 6 (fHar]=0 (47 a) H=g"" TT ha “g= entendendo-se que as variações se desvanecem nos limites do espaço quadridimensional de integra- ção limitado que se considera. Comecemos por mostrar que a forma ( 47 a) é equivalente às (47) . Para esse efeito, conside- remos H como função dos g*" e dos dg!” uv] — eli) temos então, em primeiro lugar, -mra B vqa B HT ia tg" TAS J a mp v a B =-15 78,08" 4274, 688.) Mas agora ole" 78.) 1 98v IE Ia Aslouvçã - soa $ (5 “av aa Os termos provenientes das duas últimas parcelas do parêntese curvo convertem-se um no outro tro- cando o sinal e permutando os índices u e (e atendendo que a denominação dos índices de soma pode ser modificada livremente). Na expressão de ô H os referidos termos aparecem multiplicados por Tg e por isso cancelam-se mutuamente, visto que 1º4g é simétrica em relação au e B. Resta, portanto, para ser considerado, apenas o primeiro termo do parêntese curvo, pelo que se obtém, atendendo a (31). 0H="TE TO ATE Õ8 e portanto ôH a mp de Tu Ta (48) SH O qe de, Tlm Ora o cálculo da variação que figura em (47 a) leva ao sistema de equação 8 30 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 4) o (0H) oH | ( IxalDs E) ogro Este sistema, em vista de (48), coincide com (47), como se queria demonstrar. Multipliquemos agora (47b) por g"". Como a deç dg Ox Ox u o e, consequentemente, nu 9 (0H) O (1, 90H) 90H dg! Ee dx, dg ox ÉS det) dei dxç obteremos com essa multiplicação a equação. 9 9H 9H uv =0 Ox Be dg ) dx, ou!? otg (49) dx,7O —Dxtt= qu 9H -6:H c=8o dgm Lo sendo ainda, em vista de (48), da segunda equação de (47 a), e de (34), 1 (50) ag 8 TT 8 Tip T ha É de salientar que + “s não é um tensor, mas que, apesar disso, a equação (49) é válida em to- dos os sistemas de coordenadas para os quais seja )— g = 1. Esta equação exprime a lei da conser- vação da quantidade de movimento e da energia para o campo gravitacional. Com efeito, a sua inte- gração estendida a um volume V tridimensional fornece-nos as quatro equações. (49 a) Meiav)= [leia stia+riaas 4 onde ai, a», as, representam os co-senos diretores da normal, dirigida para o interior, a um elemento de superfície de grandeza dS ( no sentido da geometria euclidiana) pertencente à fronteira do volu- me de integração. Reconhece-se aqui a expressão das leis de conservação na sua forma habitual. Designaremos as “ grandezas t “s por "componentes de energia" do campo gravitacional. 31 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Vou agora apresentar ainda as equações (47) numa terceira forma que é particularmente útil para uma apreensão viva do nosso assunto. Multiplicando as equações de campo (47) por g"º, ob- temo-las em forma "mista". Note-se agora que mlTm O ) de” dg! 8 dx, Ox, vopa ) dx, Ox, uv a Tv grandeza que, em vista de (34) é igual a 9 voma vbmo ma cbrv ma Es (e Te)-s TT av 8 T ga av a ou (modificando a denominação dos índices de soma) igual a 9 vBma mmo ma vera ma 9x (e Tu)-s Tap TmuT8 TupT av a O terceiro termo desta expressão cancela-se com o que provém do segundo termo das equações de campo (47); e usando a relação (50) podemos substituir o segundo termo da expressão por 1 «12-5051) onde se tomou t = t “ . Obteremos assim, em vez das equações (47), E letrs)=-[12-5651) (51) a = $ 16. Forma geral das equações de campo da gravitação As equações de campo estabelecidas no parágrafo precedente para espaços livres de matéria correspondem à equação de campo. Aqç=0 da teoria de Newton. Temos agora de procurar a equação que corresponde à equação que correspon- de à equação de Poisson. Aq=41xp na qual p representa a densidade da matéria. Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 alrz+r4) dxç (56) Daqui se conclui que as nossas equações de campo para a gravitação implicam o cumprimento das leis de conservação da quantidade de movimento e da energia. Reconheceremos isso com a maior facilidade se retomarmos o raciocínio eu nos conduziu de (49) a (49 a), com a diferença, po- rém, de que agora teremos de tomar, em vez das componentes t 7 da energia do campo gravitacio- nal, as componentes da energia total da matéria e campo gravitacional. $ 18- A lei da impulsão-energia para a matéria considerada como conseqiiência das equações de campo Multiplicando (53) por d gt" / 9 xo , obtém-se, com o método introduzido no $ 15, e tendo dg 9 Sur Ox o em conta o anulamento de dg 1odg” —4+— T dx, 2 Ox m o a equação =0 ou, atendendo a (56), 9TÇ log" dx, +32 dx, (57) Tu=0 O confronto com (41 b) mostra que esta equação, com a escolha de coordenadas que adapta- mos, outra coisa não é senão a expressão do anulamento da divergência do tensor formado pelas componentes energéticas da matéria. Do ponto de vista físico, a presença do segundo termo do pri- meiro membro mostra que em rigor a lei da conservação da quantidade de movimento e energia não é válida quando se considera a matéria só, ou antes, só é válida nesse caso desde que os g"” sejam constantes, isto é, desde que se desvaneçam as intensidade de campo da gravitação. Este segundo termo exprime, consoante as coordenadas, ou a quantidade de movimento que é transferido do cam- po gravitacional para a matéria, por cada unidade de volume, ou a energia que é transferida por cada unidade de tempo. Isto ressalta com maior clareza ainda se, por sugestão de (41), escrevermos (57) na forma STE a (57 a) =-T; dx Assim escrito, o segundo membro exprime o efeito energético do campo gravitacional sobre a maté- ria.]] Em face do exposto, vemos que as equações de campo da gravitação contêm quatro condi- ções, às quais o processo material tem que satisfazer simultaneamente, Tais condições determinam completamente as equações que regem o processo, caso ele possa ser caracterizado por quatro equa- ções diferenciais mutuamente independentes." 35 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 D. OS PROCESSOS " MATERIA Os instrumentos matemáticos desenvolvidos em B proporcionam-nos a possibilidade de, sem ter de recorrer a outros meios, proceder a um alargamento dos enunciados das leis físicas da matéria (hidrodinâmica, electrodinâmica de Maxwell) — tal como são formulados na teoria da relatividade especial — com o fim de os adaptar à teoria da relatividade geral. Com essa adaptação, o que se vai obter não é uma nova limitação de possibilidades imposta pelo princípio da relatividade geral, mas sim um conhecimento exato da influência que o campo gravitacional exerce sobre todos os proces- sos, e isto independentemente da introdução de qualquer nova hipótese. Pôr o problema deste modo implica que não se introduzam como necessárias hipóteses con- cretas a respeito da natureza física da matéria (tomada no seu sentido restrito). Pode em particular ficar em aberto a questão de se saber se as teorias dos campos electromagnético e gravitacional formam ou não, no seu conjunto, uma base suficiente para a teoria da matéria. O postulado da relatividade geral nada pode, em princípio, ensinar-mos a este respeito. Será o desenvolvimento da teoria que há-de revelar se as doutrinas electromagnética e da gravitação serão capazes de realizar, em con- junto, aquilo que a primeira não foi capaz de realizar sozinha. $ 19 - Equações de Euler para fluidos adiabáticos desprovidos de atrito Sejam pe p dois ares, ao primeiro dos quais chamaremos " pressão" e ao segundo densidade" de um fluido; e suponhamos que eles estão relacionados por uma equação. Suponhamos ainda que o tensor contravariante da energia do fluído é o tensor simétrico contravariante dx, Xp ds ds (58) TE=-gp+p Corresponde-lhe o tensor covariante ; dx dxp (58 a) Ti=8uvPtS ue Suba P 13º sobre este assunto consulte D. Hilbert, Nachr. d. K. Gesellsch. d. Wiss. zu Góttingen, Math.-phys. Klasse, 1915, pág. 3. 36 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 assim como o tensor misto!* dx, dx, (58b) = SPtSop do ds Introduzindo o segundo membro de (58 b ) em (57 a), obtêm-se as equações hidrodinâmicas de Euler da teoria da relatividade geral. Estas equações dão, em princípio, uma solução completa ao problema do movimento; porque as quatro equações (57 a), conjuntamente com a equação dada entre pe p e ainda com a equação dx dx ds ds Sap= são suficientes, dados os g a p , para determinar as 6 incógnitas dx, dx, dx, dx, Pra ds" ds" ds Se os guy forem também desconhecidos, será necessário lançar ainda mão das equações (53). Como estas são em número de 11 e as funções guy são só 10, parece à primeira vista haver supera- bundância de condições, mas há que ter em conta que as equações (57 a) estão já incluídas entre as (53), de modo que estas, no sistema, representam apenas 7 equações independentes. O que resta, pois, é uma indeterminação, que é aliás bem fácil justificar: é que a larga liberdade de que se dispõe para escolher as coordenadas introduz no problema um tal grau de indeterminação matemática , que se torna possível escolher arbitrariamente três das funções espaci: gt $ 20 - Equações electromagnéticas de Maxwell para o vazio Sejam q y as componentes de um quadrivetor covariante, o quadrivetor do potencial eletro- magnético . Seguindo (36) , formemos com elas as componentes F po do sextivector covariante do campo electromagnético, mediante o sistema de equações (59) Fu= - O sistema (59) implica que seja satisfeito o sistema dF,, DF, DF, dx, “dx, “Ox T p o (60) =0 !º Renunciando à escolha da coordenadas obrigada a g = 1 ficam quatro funções especiais disponíveis apra a liberdade de escolha, correspondentes às quatro funções arbitrárias de que se pode dispor livremente para estabelecer as coorde- nadas. 37 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 pur Fu = pay IF, Lua & IF F dx, 2 dx, 2 dx tr podendo ainda a última expressão, por razões de simetria, ser escrita na forma Ina, DF av cvs IE ap ale? 8 Fa tee Fuy à qual podemos ainda dar a forma 1d 1 -a3 (e 8 EgEu) + E. F, sete gr) o O primeiro destes termos escreve-se abreviadamente 1 40x, o segundo dá, depois de se efetuar a diferenciação e de algumas transformações FF, v 98 o: dx o 1 -5F Eu g” Reunindo os três termos calculados, obtém-se a relação TE 14 Buy (66) “9x, "28 dx, . onde 1 (66 a) Ti = Fa FA ÇÕ O Rap O Em virtude de (30), a equação (66) é equivalente a (57) ou a (57 a) quando x s se reduz a zero. Os o T“são por isso as componentes de energia do campo electromagnético. Com o auxílio de (61) e (640 º mostra-se facilmente que ests componentes conduzem às bem conhecidas expressões de Maxwell-Poynting no caso da teoria da relatividade especial. Até agora fizemos a dedução das leis gerais a que obedecem a matéria e o campo gravitacio- nal utilizando sempre um sistema de coordenadas para a qual —8 = 1. Conseguimos assim considerável simplificação nas fórmulas e cálculos, sem deixar de satisfazer à existência da cova- riância geral: e isto porque foi a partir de equações de covariância geral que, por particularização do sistema de coordenadas, encontramos as nossas equações. Não deixa de ter interesse formal a questão de se saber se, sem essa particularização de coor- denadas, mas com uma definição correspondentemente mais geral para as componentes energéticas do campo gravitacional e da matéria, não teriam validade leis de conservação com a forma da equa- ção (56), bem como equações de campo de gravitação do gênero das equações (52) ou (52 a), a tal modo que no primeiro membro figurasse uma divergência (no significado habitual) e no segundo 40 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 membro a soma das componentes energéticas da matéria e da gravitação. Eu cheguei efetivamente à conclusão de que a resposta é afirmativa para os dois casos, Julgo, porém, que não tem interesse apresentar uma exposição mais ampla dessas minhas reflexões sobre o assunto, visto que nada de verdadeiramente novo brota delas. $ 21. A teoria de Newton como uma primeira aproximação Como já temos dito diversas vezes, a teoria d relatividade especial caracteriza-se, como caso particular da teoria geral, pelo fato de os g uy tomarem os valores constantes (4). Mas, como tam- bém já foi dito atrás, tomar tais valores significa desprezar inteiramente os efeitos da gravidade. Si- tuar-nos-emos mais perto da realidade se admitirmos que os g pv têm valores diferentes de (4), sen- do porém os respectivos desvios de tal modo pequenos (em confronto com 1) que se podem despre- zar as grandezas de grau igual ou superior a 2 se formem com eles. (Primeiro ponto de vista da aproximação) Além desta hipótese sobre os valores dos g uv , vamos admitir mais o seguinte: que no domínio es- paço-temporal considerado os g py tendem para os valores (4) quando as coordenadas de espaço tendem para o infinito, desde que a escolha das coordenadas se faça de modo adequado: o que equivale a dizer que os campos de gravidade que se vão considerar serão exclusivamente campos criados por matéria situada no domínio do finito. Pode dizer-se que é destas aproximações que vai resultar a teoria de Newton ; mas, para che- gar a ela, é ainda necessário introduzir um segundo ponto de vista no método aproximado de mani- pulação das equações fundamentais. Consideremos o movimento de um ponto material segundo (46). No caso da teoria da relativi- dade especial as componentes da do da ds” ds” ds podem tomar quaisquer valores; o que significa ser possível qualquer velocidade 2 dx, 2 dx, 2 + +| dx, dx, contanto que seja inferior à velocidade da luz no vazio (v < 1). Se nos limitarmos, porém, ao caso de v ser pequena em confronto com a velocidade da luz — e é esse o caso quase exclusivo da expe- riência — então as componentes dy des ds ds” ds” ds deverão ser tratadas como quantidades pequenas, ao passo que dxy / ds se deve considerar, até à segunda ordem de grandeza, igual a 1. (Segundo ponto de vista da aproximação). 4 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Notemos agora que, segundo o primeiro ponto de vista da aproximação, as grandezas T* são todas quantidades pequenas, de primeira ordem pelo menos. Basta então olhar para (46) para "“re- conhecer que, em obediência ao segundo ponto de vista da aproximação, só são de considerar os termos par os quais u =v =4. Procedendo assim as equações (46) simplificam-se, convertendo-se nas seguintes (que representam o que resta quando nos limitamos aos termos de ordem mais baixa). onde se tomou ds = dx, = dt. Se agora, no cálculo dos T * | conservarmos apenas os termos que, segundo o primeiro ponto de vista da aproximação são de “ primeira ordem, as equações anterio- res reduzir-se às seguintes dx. a =["](7=1,2,3) ad? Ea -[] Se, além disso, admitirmos que o campo de gravidade é quase-estático, limitando-nos assim a considerar casos em que a matéria geradora do campo só lentamente se pode mover (em confronto com a velocidade de propagação da luz) então no cálculo dos segundos membros das últimas equa- ções poderemos desprezar derivadas em ordem ao tempo perante as derivadas em ordem às coorde- nadas de posição. Restará então 1Odgu > dr, (1=1,2,3) (67) 5o=- Estas equações são as do movimento do ponto material na teoria de Newton, desempenhando guy /2 o papel do potencial de gravidade. O que há de notável neste resultado é o fato de bastar a compo- nente g44 do tensor fundamental para determinar, em primeira aproximação, o movimento do ponto material. Passemos agora às equações de campo (53). Aqui há que ter conta que o tensor energia da "matéria", considerada em sentido lato, é deter- minado quase exclusivamente pela densidade p da matéria considerada em sentido estrito, isto é, pelo segundo termo do segundo membro de (58) [ ou (58 a), para o tensor covariante, ou (58 b), para o misto]. Dentro da aproximação que nos interessa, todas as suas componentes se reduzem a zero exceto Ty=p=T. Quanto ao primeiro membro de (53), deve notar-se que o seu segundo termo é uma quantidade pequena de segunda ordem; e que o primeiro dá, dentro da aproximação que nos interessa, a a a a aee eae) a] Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 d2=—; dx=da=d4y=0; x=r,x=103=0, (Ta) o que mostra que o campo de gravidade do ponto material não tem qualquer influência sobre o comprimento da régua quando esta influência sobre o comprimento da régua quando esta é colocada em posição tangencial. Conclui-se então que a geometria euclidiana deixa de ser válida, mesmo em primeira aproxi- mação, no campo da gravidade, se quisermos continuar a considerar a mesma régua, independe- mente da sua localização ou orientação, como materialização de um mesmo segmento de recta. No entanto, basta olhar para (70 a) ou para (69) para reconhecer que os desvios que se podem esperar em relação a essa geometria são demasiado pequenos para poderem ser revelados por medições fei- tas na superfície da Terra. Investiguemos agora o ritmo de funcionamento de um relógio unidade que se encontra em re- pouso num campo gravitacional estático. Para um período de funcionamento do relógio tem-se ds=1; dxy=dw=dxa=0. É portanto I= ga dxy 1 1 = dx, = >= >= 1- dum ou 10) 2) 8u I+(gu 1) x (pd dy=1+—] — + se! r O relógio funciona, pois, com maior lentidão quando está colocado na proximidade de massas pon- deráveis. Daqui resulta que as riscas espectrais da luz que nos chega da superfície de grandes astros devem apresentar-se desviadas para o extremo vermelho do espectro. Vamos ainda fazer o estudo da marcha dos raios luminosos no campo gravitacional estático. Segundo a teoria da relatividade especial a velocidade da luz é dada pela equação —dx) — di) —dx +dx; = 0 e, então, segundo a teoria da relatividade geral será dada pela equação (73) ds? = Suv dxy dx, =0. 15 E K ' . . . aan Segundo E. Freundlich, há observações espectrais sobre estrelas fixas de certos tipos que testemunham a existência dum efeito deste gênero. No entanto, está ainda por encontrar uma prova definitiva deste consegiiência. Se for dada a direção, isto é, a razão dx, : dx» : dx3, a equação (73) dá as quantidades 45 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 dx dx, dx; dx, dx, dx, e, portanto, a velocidade dx, dx, -ET-E- definida no sentido da geometria euclidiana. Reconhece-se facilmente que a marcha dos raios de luz esquema ao lado, a deflexão total em relação ao sistema de coordenadas tem de ser curvilínea quan- do os guy não forem constantes. Se n for uma direção perpendicu- lar à direção de propagação da luz, o princípio de Huyghens mos- tra que o raio de luz [ considerado no plano (y, n)] tem a curvatu- 9Y RT de luz adquire quando passa à distância A de uma massa M . Se escolhermos o sistema de coordenadas em conformidade com o B do raio de luz (considerada positiva quando a concavidade ficar ra 2, Vamos procurar determinar a curvatura que um raio voltada para a origem) é dada com suficiente aproximação por enquanto que (73) e (70) dão 12) Efetuando o cálculo do integral, chega-se a 13) (74) B-= “ 9y B=| dx, 8 u a =[-SE = + , 8» elis 2a xM A 27A Um raio de luz que passe próximo do Sol sofre, deste modo, uma deflexão de 1,7” e um raio que passe junto de Júpiter sofre uma deflexão de uns 0,02". Se calcularmos o campo gravitacional com uma aproximação maior, e se, com rigor corres- pondente, calcularmos também o movimento planetário de um ponto material cuja massa se possa considerar, em valor relativo, infinitamente pequena, encontraremos, em relação às leis de Kepler- Newton referentes aos movimentos planetários, um desvio que se traduz no seguinte: a glória elípti- ca do planeta efetua, no sentido do movimento de revolução do planeta, uma lenta rotação, cujo valor angular por revolução é o seguinte : (15) 46 Teoria da Relatividade Geral- wwwfisica.net — Prof. Alberto Ricardo Prass — Versão 27/02/2000 Nesta fórmula, a designa o semi-eixo maior, c o habitual valor d velocidade da luz, e a excentricida- de, T o tempo de revolução em segundos.!é Para a rotação da órbita do planeta Mercúrio o cálculo dá um valor de 43" por século, em cor- respondência exata com os resultados dos astrônomos (Leverrier): estes, com efeito, tinham reco- nhecido haver no movimento do perihélio de Mercúrio uma parte que não podia ser atribuída a per- turbações causadas por outros planetas, e que essa parte tinha o valor que acabamos de indicar. Notas do Tradutor o Au uv 2 + é transformado em v 1- O primeiro termo, g o y dg” ste! Au) - Au 2x 2 - No texto alemão figura na terceira parcela g"” em vez de g *. 3 - A redução é feita depois de o referido terceiro termo sofrer uma transformação análoga à menci- onada na nota (1). 4 - Depois de multiplicado por g"º g 5 - No texto alemão aparece Ri. emvezde Bi. , certamente por lapso. ê 6 - neste caso, portanto, o tensor de Riemann não deve reduzir-se a zero, de contrário haveria a pos- sibilidade de tal transformação, como se explicou no $ 12. 7-Nofimdo$12. 8 - Estas equações ("de Euler") constituem, como mostra o cálculo das variações, condição necessá- ria e suficiente de estacionaridade do integral que figura em (47 a). 9 - Em virtude de (29) e de -g =1. 10 - O potencial gravitacional é dado por (68 a) e também por g44/ 2 adicionado de qualquer cons- tante (neste caso - 1/2). 11 - Entende-se aqui por "curvatura" o ângulo de deflexão por unidade de percurso (veja o artigo precedente "Sobre a influência da gravidade na propagação da luz", 8 4). 12 - Para este cálculo, depois de substituir em (73) os valores dos vários gv dados por (70) e de introduzir y 2 na expressão obtida, há que tornar dxs / dx, = 0, e que desprezar, por muito peque- nos, termos em que entra a derivada dx, / dx, . 13 - Para a integração convém a mudança de variável x) = Atg Q. Este texto foi extraído do livro: TEXTOS FUNDAMENTAIS DA FÍSICA MODERNA VOLUME 1 “O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE” FUNDAÇÃO CALOUSTE GULBENKIAN 4