cap03 - Espaços Vetoriais, Notas de estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula Petronio Pulino   1 3 4 3 1 0 4 0 1   = Q   −4 1 6   Q t Qt Q =   1 1 1   sqPULINUS Álgebra Linear e suas Aplicações Notas de Aula Petronio Pulino Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estat́ıstica e Computação Cient́ıfica Universidade Estadual de Campinas Caixa Postal 6065, CEP 13083–859, Campinas, SP, Brasil E–mail: pulino@ime.unicamp.br Homepage: www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/ Março de 2009 CONTEÚDO iii 7 Funcionais Lineares e Espaço Dual 463 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 7.2 Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 7.3 Espaço Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 7.4 Teorema de Representação de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 8 Álgebra Linear Computacional 493 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 8.2 Decomposição de Schur. Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 8.3 Normas Consistentes em Espaços de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 501 8.4 Análise de Sensibilidade de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 514 8.5 Sistema Linear Positivo–Definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 8.6 Métodos dos Gradientes Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 8.7 Fatoração de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 8.8 Métodos Iterativos para Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 8.9 Sistema Linear Sobredeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 8.10 Subespaços Fundamentais de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 8.11 Projeções Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 8.12 Matriz de Projeção Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 8.13 Fatoração QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 8.14 Modelos de Regressão Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 8.15 Solução de norma–2 Mı́nima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 8.16 Problemas de Ponto Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 8.17 Decomposição em Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 Bibliografia 731 iv CONTEÚDO c©Petronio Pulino, 2009 DMA – IMECC – UNICAMP 3 Espaços Vetoriais Conteúdo 3.1 Espaço Vetorial. Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.2 Subespaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.3 Combinação Linear. Subespaço Gerado . . . . . . . . . . . . . 154 3.4 Soma e Intersecção. Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.5 Dependência e Independência Linear . . . . . . . . . . . . . . 167 3.6 Bases e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.7 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 3.8 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 139 142 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.1.4 O conjunto Cn = { (z1, · · · , zn) / zi ∈ C }, conjunto de todas as n–uplas complexas, com as operações usuais, é um espaço vetorial complexo, considerando o corpo dos escalares como sendo IF = C. Para mostrar que a operação de adição de elementos e a operação de multiplicação por escalar definidas em Cn verificam os axiomas da definição de espaço vetorial, basta utilizar as propriedades da operação de adição e da operação de multiplicação de elementos do corpo C. Entretanto, podemos considerar o corpo dos escalares como sendo IF = IR. desse modo, temos que Cn é um espaço vetorial real. Exemplo 3.1.5 O conjunto F(IR) = { f : IR −→ IR / f é uma função }, com a operação de adição de elementos definida como: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ; ∀ f, g ∈ F(IR) e a operação de multiplicação por escalar definida como: (λ f)(x) = λ f(x) ; ∀ f ∈ F(IR) e λ ∈ IR é um espaço vetorial real. Exemplo 3.1.6 O conjunto C([a, b]) = { f : [a, b] −→ IR / f é uma função cont́ınua }, com a operação de adição de elementos e como a operação de multiplicação por escalar definidas em F(IR), é um espaço vetorial real. Exemplo 3.1.7 Seja n ≥ 0 um número natural. O conjunto dos polinômios reais de grau ≤ n, com coeficientes reais, que denotamos por Pn(IR), munido da operação de adição de elementos e da operação de multiplicação por escalar definidas de modo análogo ao Exemplo 3.1.5, é um espaço vetorial real. Assim, todo elemento p(x) ∈ Pn(IR) é escrito na forma: p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn , com os coeficientes a0, a1, · · · , an ∈ IR, para todo x ∈ IR. Exemplo 3.1.8 O conjunto da matrizes reais de ordem m × n, que vamos denotar por IMm×n(IR), é um espaço vetorial real, com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar. Petronio Pulino 143 Teorema 3.1.1 (Unicidade do Elemento Neutro) Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Então, existe um único elemento neutro da operação de adição 0V ∈ V . Demonstração – O axioma (A3) afirma que existe pelo menos um elemento neutro 0V em V . Vamos supor que existem dois elementos neutros 0V e 01, isto é, 0V = 0V + 01 = 01 + 0V = 01 , o que prova a unicidade do elemento neutro da operação de adição. ¥ Exemplo 3.1.9 Considere o espaço vetorial P3(IR). Assim, o elemento neutro da operação de adição é o polinômio p0(x) ∈ P3(IR) definido por: p0(x) = a + bx + cx 2 + dx3 = 0 para todo x ∈ IR. Assim, temos que a = b = c = d = 0. Teorema 3.1.2 (Unicidade do Elemento Simétrico) Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Então, todo elemento u ∈ V possui um único elemento simétrico. Demonstração – O axioma (A4) afirma que todo elemento u ∈ V possui pelo menos um elemento simétrico −u ∈ V . Vamos supor que o elemento u ∈ V possui dois elementos simétricos −u e u1, isto é, u + (−u) = 0V e u + u1 = 0V Desse modo, temos que (−u) = 0V + (−u) = (u + u1) + (−u) = 0V + u1 = u1 , o que prova a unicidade do elemento simétrico. ¥ Exemplo 3.1.10 Considere o espaço vetorial real C([a, b]). Assim, o elemento neutro da operação de adição é a função f0 ∈ C([a, b]) dada por: f0(x) = 0 para todo x ∈ [a, b] . Além disso, dada uma função f ∈ C([a, b]), o seu elemento simétrico é a função (−f) definida por: (−f)(x) = −f(x) para todo x ∈ [a, b] . 144 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Teorema 3.1.3 (Lei do Cancelamento) Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF , u, v, w ∈ V e u + v = u + w. Então, v = w. Demonstração – Somando (−u) em ambos os lados na igualdade temos v = u + (−u) + v = u + (−u) + w = w o que completa a prova. ¥ Teorema 3.1.4 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF , e u, w ∈ V . Então, existe um único elemento v ∈ V tal que u + v = w. Demonstração – Somando (−u) em ambos os lados da equação tem–se que v = u + (−u) + v = (−u) + w o que completa a prova. ¥ Teorema 3.1.5 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF , u, v ∈ V e α, β ∈ IF . Então, temos as seguintes propriedades: (a) 0IF u = 0V ; (b) α 0V = 0V ; (c) (−α) u = −(α u) = α (−u); (d) se α u = 0V , então α = 0IF ou u = 0V ; (e) se α u = α v e α 6= 0IF , então u = v; (f) se α u = β u e u 6= 0V , então α = β; (g) −(u + v) = (−u) + (−v) = −u − v; (h) u + u = 2 u , u + u + u = 3 u , de um modo geral , n∑ i=1 u = nu. Petronio Pulino 147 3.2 Subespaço Vetorial Definição 3.2.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Um subespaço vetorial de V é um subconjunto U de V que é um espaço vetorial sobre o corpo IF com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar definidas em V . Exemplo 3.2.1 O subconjunto S = { (x, y) ∈ IR2 / y − ax = 0 ; a ∈ IR } é um subespaço vetorial de IR2. Dê uma interpretação geométrica para S. Exemplo 3.2.2 o conjunto C0([a, b]) = { f ∈ C([a, b]) / f(a) = f(b) = 0 } é um subespaço vetorial de C([a, b]). Exemplo 3.2.3 O subconjunto S do IR3 definido da forma: S = { w ∈ IR3 / w = a(1,−1, 1) + b(2, 1,−1) ; a, b ∈ IR } , é um subespaço vetorial de IR3. Dê uma interpretação geométrica para S. Teorema 3.2.1 (Subespaço Vetorial) Um subconjunto não vazio U de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se, e somente se, para quaisquer elementos u , v ∈ U e para qualquer escalar α ∈ IF , tem–se que u + v ∈ U e α u ∈ U . Demonstração (=⇒) Se U é um subespaço vetorial de V , então satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, em particular satisfaz os axiomas de fechamento. (⇐=) Agora, vamos mostrar que se U satisfaz os axiomas de fechamento, então satisfaz os axiomas da adição de elementos e os axiomas da multiplicação por escalar. Como U ⊂ V , os axiomas (A1) e (A2) são automaticamente satisfeitos, pois são válidos para todos os elementos de V . De modo análogo, os axiomas (M1), (M2), (M3) e (M4) são satisfeitos automaticamente. Finalmente, devemos provar somente os axiomas: (A3) Elemento Neutro. Para quaisquer u ∈ U e λ ∈ IF , temos que λu ∈ U . Fazendo λ = 0IF , obtemos 0IF u = 0V ∈ U. Logo, U possui elemento neutro. (A4) Elemento Simétrico. Para quaisquer u ∈ U e λ ∈ IF , temos que λu ∈ U . Fazendo λ = −1IF , obtemos −1IF u = 1IF (−u) ∈ U. Logo, todo elemento de U possui o elemento simétrico. O que completa a demonstração. ¥ 148 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.2.4 O subconjunto S = { (x, y) ∈ IR2 / y − 2x = 1 } não é um subespaço vetorial de IR2. De fato, o elemento neutro da operação de adição, 0IR2 = (0, 0), não pertence a S. Além disso, o subconjunto S não é fechado com relação às operações de adição de elementos e de multiplicação por escalar. Exemplo 3.2.5 o subconjunto U = { f ∈ C([a, b]) / f(a) = 1 } não é um subespaço vetorial de C([a, b]). De fato, o elemento neutro da operação de adição, f ≡ 0, não pertence a U . Além disso, o subconjunto U não é fechado com relação às operações de adição de elementos e de multiplicação por escalar. Exemplo 3.2.6 Considere o espaço vetorial real P3(IR). O subconjunto S = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) = 0 e p′(1) = 0 } é um subespaço vetorial de P3(IR). Para mostrar que S é um subespaço vetorial de P3(IR), vamos verificar se o elemento neutro da adição pertence a S e se os axiomas de fechamento são satisfeitos. É fácil ver que o polinômio identicamente nulo satisfaz as condições p(−1) = 0 e p′(1) = 0. Inicialmente, vamos verificar se o subconjunto S é fechado com relação à operação de adição de elementos, isto é, dados os elementos p(x), q(x) ∈ S temos que (p + q)(−1) = p(−1) + q(−1) = 0 e (p + q)′(1) = p′(1) + q′(1) = 0 Logo, o elemento ( p(x) + q(x) ) ∈ S. Finalmente, vamos verificar se o subconjunto S é fechado com relação à operação de multiplicação por escalar, isto é, dados os elementos p(x) ∈ S e λ ∈ IR temos que (λ p)(−1) = λ p(−1) = 0 e (λ p)′(1) = λ p′(1) = 0 Logo, o elemento λ p(x) ∈ S. Portanto, o subconjunto S é um subespaço de P3(IR). Petronio Pulino 149 Exemplo 3.2.7 Considere o sistema linear homogêneo { −x + 2y + z = 0 2x − y + z = 0 . Mostre que o conjunto solução é um subespaço do IR3. Vamos obter a solução do sistema linear utilizando o escalonamento { −x + 2y + z = 0 2x − y + z = 0 ⇐⇒ { −x + 2y + z = 0 3y + 3z = 0 Portanto, temos que x = −z e y = −z com z ∈ IR. Assim, o conjunto solução do sistema linear pode ser escrito da seguinte forma: S = { (x, y, z) ∈ IR3 / (x, y, z) = α(−1,−1, 1) , α ∈ IR } onde v = (−1,−1, 1) ∈ IR3 é denominada solução básica. Agora podemos verificar facilmente que S é um subespaço do IR3. Por simplicidade, representamos o sistema linear homogêneo na sua forma matricial AX = [ −1 2 1 2 −1 1 ]   x y z   = [ 0 0 ] . Assim, podemos definir o conjunto solução da seguinte forma: S = { (x, y, z) ∈ IR3 / AX = 0 } onde X =   x y z   . Temos uma representação mais interessante com a qual podemos obter vários resultados sobre o conjunto solução. Apresentamos o mesmo problema de uma maneira mais geral no Exemplo 3.2.10. Exemplo 3.2.8 O subconjunto S = { f ∈ C([0, 1]) / ∫ 1 0 f(x)dx ≥ 0 } não é um subespaço do espaço vetorial C([0, 1]). De fato, o conjunto S não é fechado em relação à operação de multiplicação por escalar. Tomando um elemento f ∈ S e um escalar λ ∈ IR negativo, temos que o elemento (λf) /∈ S. Note que o elemento neutro da operação de adição, f ≡ 0, pertence ao conjunto S e o conjunto S é fechado com relação à operação de adição de elementos. 152 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcios Exerćıcio 3.6 Verifique se o subconjunto S de IMn(IR) definido por: S = { A ∈ IMn(IR) / A2 = A } , o conjunto das matrizes idempotentes, é um subespaço vetorial de IMn(IR). Exerćıcio 3.7 Mostre que o subconjunto de IM2(IR) dado por: U = { [ x y z t ] / x − y − z = 0 } é um subespaço vetorial de IM2(IR). Exerćıcio 3.8 Considere o espaço vetorial real V = { (x, y) / x, y ∈ IR }, com as operações: • adição de elementos: (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 + x2 + 5, y1 + y2) • multiplicação por escalar: α ¯ (x, y) = (α x + 5(α − 1), α y) , α ∈ IR. (a) Exiba o elemento neutro da operação adição. (b) Exiba o elemento simétrico aditivo do elemento (x, y) ∈ V . (c) Verifique se W = { (x, y) ∈ V / x = −5 } é um subespaço vetorial de V . Definição 3.2.2 Dado um elemento c = (c1, . . . , cn) ∈ IRn fixo, porém arbitrário, e um escalar d ∈ IR. O subconjunto H ⊂ IRn definido por: H = { (x1, . . . , xn) ∈ IRn / c1x1 + · · · + cnxn = d } é denominado hiperplano. Exerćıcio 3.9 Considere um hiperplano H contido em IRn. Mostre que H é um subespaço vetorial de IRn, no caso em que d = 0. Exerćıcio 3.10 Considere o seguinte subconjunto S de C([a, b]) definido por: S = { f ∈ C([a, b]) / f é uma função crescente } . Verifique se S é um subespaço vetorial de C([a, b]). Petronio Pulino 153 Exerćıcio 3.11 Mostre que o seguinte subconjunto S = { f ∈ C([0, 1]) / ∫ 1 0 f(x)dx = 0 } é um subespaço do espaço vetorial C([0, 1]). Exerćıcio 3.12 Considere o espaço vetorial real P3(IR). Mostre que o subconjunto U = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) = p(1) = 0 } é um subespaço vetorial de P3(IR). Exerćıcio 3.13 Definimos o traço da matriz A ∈ IMn(IR), que denotamos por tr(A), da seguinte forma: tr(A) = n∑ i=1 aii . Mostre que o subconjunto de IMn(IR) dado por: S = { A ∈ IMn(IR) / tr(A) = 0 } é um subespaço vetorial de IMn(IR). Exerćıcio 3.14 Mostre que os seguintes subconjuntos de IMn(IR) definidos por: U = { A ∈ IMn(IR) / At = A } W = { A ∈ IMn(IR) / At = −A } são subespaços vetoriais de IMn(IR). Exerćıcio 3.15 Considere o espaço vetorial real C([−a, a]) com a ∈ IR+. Mostre que os seguintes subconjuntos U = { f ∈ C([−a, a]) / f(−x) = f(x) ; x ∈ [−a, a] } W = { f ∈ C([−a, a]) / f(−x) = −f(x) ; x ∈ [−a, a] } são subespaços vetoriais de C([−a, a]). Exerćıcio 3.16 Considere o subconjunto S do espaço vetorial IR2 definido por: S = { v ∈ IR2 / v = α(1, 2) + (3, 2) , α ∈ IR } . Verifique se S é um subespaço vetorial de IR2. 154 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula 3.3 Combinação Linear. Subespaço Gerado Definição 3.3.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Dizemos que o elemento u ∈ V é uma combinação linear dos elementos v1 , · · · , vn ∈ V se existem escalares c1 , · · · , cn ∈ IF tais que u = c1 v1 + · · · + cn vn . Definição 3.3.2 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF e S um conjunto finito de elementos de V , isto é, S = { v1 , · · · , vn }. O subconjunto U constrúıdo a partir dos elementos de S da seguinte forma: U = { u ∈ V / u = n∑ i=1 αi vi ; αi ∈ IF } é um subespaço vetorial de V , que vamos denotar por U = [v1, · · · , vn] ou por U = [S] , denominado subespaço gerado pelos elementos de S. Dizemos que o conjunto S é um sistema de geradores para o subespaço U . Exemplo 3.3.1 Considere o seguinte espaço vetorial real C0([−π, π]) = { f ∈ C([−π, π]) / f(−π) = f(π) = 0 } Note que C0([−π, π]) é também um subespaço vetorial de C([−π, π]). Considere o sub- conjunto S de elementos de C0([−π, π]) dado por: S = { sin(x), sin(2 x), · · · , sin(nx) } O subconjunto W definido como: W = { f ∈ C0([−π, π]) / f(x) = n∑ k=1 ck sin(k x) ; ck ∈ IR } é o subespaço gerado pelos elementos de S. Logo, W é um subespaço de C0([−π, π]). Exemplo 3.3.2 Considere uma matriz A ∈ IMm×n(IR), com m > n. Vamos denotar por v1, · · · , vn ∈ IRm as colunas da matriz A. O subconjunto R(A) ⊂ IRm definido por: R(A) = { y ∈ IRm / y = n∑ k=1 ck vk ; ck ∈ IR } é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A, denominado espaço coluna de A. Petronio Pulino 157 Exerćıcios Exerćıcio 3.17 Considere o subespaço vetorial de IM2(IR) dado por: U = { [ x y z t ] / x − y − z = 0 } . Determine um sistema de geradores para U . Exerćıcio 3.18 Considere o subespaço vetorial de IR4 dado por: U = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − y + z + t = 0 e − x + 2y + z − t = 0 } . Determine um sistema de geradores para U . Exerćıcio 3.19 Seja W o subespaço de IM3×2(IR) gerado pelas matrizes A1 =   0 0 1 1 0 0   , A2 =   0 1 0 −1 1 0   e A3 =   0 1 0 0 0 0   . Verifique se a matriz A dada por: A =   0 2 3 4 5 0   pertence ao subespaço W . Exerćıcio 3.20 Considere o espaço vetorial real IR3. Dada a matriz A =   4 2 1 5 0 2   , verifique se os elementos u, v ∈ IR3, dados abaixo, pertencem ao subespaço gerado pelas colunas da matriz A. (i) u = (1, 2,−8) (ii) v = (6,−3,−2). Exerćıcio 3.21 Mostre que as matrizes A1 = ( 1 0 0 0 ) , A2 = ( 0 0 0 1 ) e A3 = ( 0 1 1 0 ) formam um sistema de geradores para o subespaço W = { A ∈ IM2(IR) / A = At }. 158 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula 3.4 Soma e Intersecção. Soma Direta Teorema 3.4.1 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF , U e W subespaços vetoriais de V . Então, o subconjunto de V definido por: U ∩ W = { v ∈ V / v ∈ U e v ∈ W } é um subespaço vetorial de V . Demonstração – Temos que U ∩ W 6= ∅, pois 0V ∈ U e 0V ∈ W . Logo, 0V ∈ U ∩ W . Agora, basta mostrar que o subconjunto U ∩ W satisfaz as condições do Teorema 3.2.1, isto é, que satisfaz os axiomas de fechamento. Sejam u, v ∈ U ∩ W . Logo, u, v ∈ U e u, v ∈ W . Como U e W são subespaços vetoriais de V temos que u + v ∈ U e u + v ∈ W . Portanto, mostramos que U ∩ W é fechado com relação à operação de adição de elementos. De modo análogo, seja u ∈ U ∩ W . Logo, u ∈ U e u ∈ W . Como U e W são subespaços vetoriais de V temos que λu ∈ U e λu ∈ W para todo λ ∈ IF . Portanto, mostramos que U ∩ W é fechado com relação a operação de multiplicação por escalar. Desse modo, provamos que U ∩ W é um subespaço vetorial de V . ¥ Corolário 3.4.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Então, a intersecção de uma coleção arbitrária de subespaços de V é um subespaço vetorial de V . Demonstração – A prova pode ficar a cargo do leitor. ¤ Teorema 3.4.2 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF , U e W subespaços vetoriais de V . Então, o subconjunto de V definido por: U + W = { v ∈ V / v = u + w com u ∈ U e w ∈ W } é um subespaço vetorial de V . Demonstração – Temos que U + W 6= ∅, pois 0V ∈ U e 0V ∈ W . Logo, 0V ∈ U + W . Agora, basta mostrar que o subconjunto U + W satisfaz as condições do Teorema 3.2.1, isto é, que satisfaz os axiomas de fechamento. ¤ Definição 3.4.1 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF , U e W subespaços vetoriais de V tais que U ∩W = { 0V }. Dizemos que o subespaço U + W é a soma direta dos subespaços U e W , e denotamos por U ⊕ W . Petronio Pulino 159 Exemplo 3.4.1 Considere os seguintes subespaços de IR3 U = { (x, y, z) ∈ IR3 / z = 0 } e W = { (x, y, z) ∈ IR3 / y = 0 } . Temos que IR3 = U + W , entretanto, não como soma direta dos subespaços U e W . Podemos verificar facilmente que U = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e W = [(1, 0, 0), (0, 0, 1)] . Assim, temos que U + W = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] e U ∩ W = [(1, 0, 0)] . Portanto, temos que IR3 = U + W , mas não como soma direta. Exemplo 3.4.2 Considere os seguintes subespaços de IR2 U = { (x, y) ∈ IR2 / y = 0 } e W = { (x, y) ∈ IR2 / x = 0 } . Temos que IR2 = U + W é uma soma direta dos subespaços U e W . Podemos verificar facilmente que U = [(1, 0)] e W = [(0, 1)] . Assim, temos que U + W = [(1, 0), (0, 1)] e U ∩ W = { 0IR2 } . Portanto, temos que IR2 = U ⊕ W . Exemplo 3.4.3 Considere os seguintes subespaços de IR2 U = { (x, y) ∈ IR2 / y = x } e W = { (x, y) ∈ IR2 / y = −2x } . Temos que IR2 = U + W é uma soma direta dos subespaços U e W . Podemos verificar facilmente que U = [(1, 1)] e W = [(1,−2)] . Assim, temos que U + W = [(1, 1), (1,−2)] e U ∩ W = { 0IR2 } . Portanto, temos que IR2 = U ⊕ W . 162 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.4.5 Considere os seguintes subespaços de IR3 U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x = z } W = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } Determine um sistema de geradores para o subespaço U ∩ W . Inicialmente, vamos determinar um sistema de geradores para o subespaço U . Para os elementos u ∈ U temos que u = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 0) para a, b ∈ IR . Logo, { (1, 0, 1), (0, 1, 0) } é um sistema de geradores para o subespaço U . Agora vamos determinar um sistema de geradores para o subespaço W . Para os elementos w ∈ W temos que w = c(−1, 1, 0) + d(−1, 0, 1) para c, d ∈ IR Logo, { (−1, 1, 0), (−1, 0, 1) } é um sistema de geradores para o subespaço W . Vamos determinar um sistema de geradores para o subespaço U ∩ W . Sabemos que, se v ∈ U ∩ W , então v ∈ U e v ∈ W . Assim, temos que a(1, 0, 1) + b(0, 1, 0) = c(−1, 1, 0) + d(−1, 0, 1) para a, b, c, d ∈ IR . Desse modo, obtemos o seguinte sistema linear    a = −c − d b = c a = d cuja solução é dada por a = d , b = −2d e c = −2d para d ∈ IR. Portanto, os elementos v ∈ U ∩ W são escritos como v = d(1,−2, 1) para d ∈ IR. Logo, { (1,−2, 1) } é um sistema de geradores para o subespaço U ∩ W . Petronio Pulino 163 Exemplo 3.4.6 Considere os seguintes subespaços de IR3 U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x − 2y + 3z = 0 } W = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } Determine um sistema de geradores para o subespaço U ∩ W . Os elementos v = (x, y, z) ∈ U ∩ W satisfazem as equações    x − 2y + 3z = 0 x + y + z = 0 ⇐⇒    x − 2y + 3z = 0 3y − 2z = 0 Escolhendo x e y como variáveis básicas e z como variável livre, temos que y = 2 3 z e x = −5 3 z , z ∈ IR . Desse modo, o conjunto solução do sistema linear homogêneo é escrito da seguinte forma: (x, y, z) = α (−5, 2, 3) , α ∈ IR . Portanto, temos que U ∩ W = [(−5, 2, 3)]. Exemplo 3.4.7 Sejam U e W subespaços vetoriais do IR3 dados por: U = { u ∈ IR3 / u = λu , λ ∈ IR } W = { w ∈ IR3 / w = αw , α ∈ IR } com u, w ∈ IR3 não-nulos. Temos que o subespaço U + W = [u, w]. Exemplo 3.4.8 Considere os seguintes subespaços do IR3 U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x − y − z = 0 } e W = [(1, 2, 1)] Temos que o espaço vetorial IR3 = U ⊕ W . Podemos verificar facilmente que U = [(1, 1, 0), (1, 0, 1)]. Vamos mostra que qualquer elemento u = (x, y, z) de IR3 é escrito de modo único pela combinação linear u = a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(1, 2, 1) , a, b, c ∈ IR . Portanto, basta mostrar que a matriz A dada por: A =   1 1 1 1 0 2 0 1 1   é não–singular. Sendo assim, obtemos de modo único os coeficientes da combinação linear, a, b e c, em função das componentes do elemento u = (x, y, z) ∈ IR3. 164 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.4.9 Considere os seguintes subespaços de IR3 U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x − 2y + 3z = 0 } W = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } Determine um sistema de geradores para o subespaço U + W . Inicialmente, vamos determinar um sistema de geradores para o subespaço U . Para os elementos u ∈ U temos que u = a(2, 1, 0) + b(−3, 0, 1) para a, b ∈ IR Logo, { (2, 1, 0), (−3, 0, 1) } é um sistema de geradores para o subespaço U . Agora vamos determinar um sistema de geradores para o subespaço W . Para os elementos w ∈ W temos que w = c(−1, 1, 0) + d(−1, 0, 1) para c, d ∈ IR Logo, { (−1, 1, 0), (−1, 0, 1) } é um sistema de geradores para o subespaço W . Portanto, o subespaço U +W tem como um sistema de geradores os seguintes elementos v1 = (2, 1, 0) , v2 = (−3, 0, 1) , v3 = (−1, 1, 0) e v4 = (−1, 0, 1) , isto é, U + W = [v1, v2, v3, v4]. Exemplo 3.4.10 Considere os seguintes subespaços do IR3 U = [(1, 2, 1), (−1, 1,−1)] e W = [(2, 2, 1), (1, 1,−1)] . Encontre um sistema de geradores para o subespaço U ∩ W . Temos que se v ∈ U ∩ W , então v ∈ U e v ∈ W . Assim, temos que a(1, 2, 1) + b(−1, 1,−1) = c(2, 2, 1) + d(1, 1,−1) para a, b, c, d ∈ IR . Desse modo, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo    a − b = 2c + d 2a + b = 2c + d a − b = c − d ⇐⇒    a − b − 2c − d = 0 2a + b − 2c − d = 0 a − b − c + d = 0 cuja solução é dada por a = −2d , b = d e c = −2d para d ∈ IR. Portanto, temos que os elementos v ∈ U ∩ W são escritos como v = d(1, 1, 1) para d ∈ IR. Logo, { (1, 1, 1) } é um sistemas de geradores para o subespaço U ∩ W . Petronio Pulino 167 3.5 Dependência e Independência Linear Definição 3.5.1 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF e v1, · · · , vn ∈ V . Dizemos que o conjunto S = { v1, · · · , vn } ⊂ V é Linearmente Independente(LI) se, e somente se, toda combinação linear nula α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ IF implicar que α1 = α2 = · · · = αn = 0. Definição 3.5.2 Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF e v1, · · · , vn ∈ V . Dizemos que o conjunto S = { v1, · · · , vn } ⊂ V é Linearmente Dependente(LD) se, e somente se, é posśıvel uma combinação linear nula α1 v1 + · · · + αn vn = 0V ; αi ∈ IF sem que os escalares α1, α2, · · · , αn sejam todos nulos. De maneira equivalente, encontramos o conceito de dependência e independência linear apresentado da forma a seguir. Definição 3.5.3 Seja V um espaço vetorial sobre IF . Um subconjunto S de V é dito Linearmente Dependente (LD), se existirem elementos distintos v1 , · · · , vn em S e escalares α1 , · · · , αn em IF , não todos nulos, tais que α1 v1 + · · · + αn vn = 0V . Um conjunto que não é linearmente dependente é Linearmente Independente(LI). Decorrem facilmente da definição as seguintes conseqüências: (a) Todo conjunto que contém um subconjunto linearmente dependente é LD. (b) Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é LI. (c) Todo conjunto que contém o elemento neutro, 0V , é linearmente dependente. (d) Um conjunto S de vetores é linearmente independente se, e somente se, todo subconjunto finito de S é linearmente independente, isto é, se, e somente se, para quaisquer elementos distintos v1, · · · , vn em S, com α1 v1 + · · · + αn vn = 0V implicar que α1 = α2 = · · · = αn = 0. (e) Convencionaremos que o conjunto vazio, ∅ ⊂ V , é linearmente independente. 168 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Teorema 3.5.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF e v1, · · · , vn ∈ V . O conjunto S = { v1, · · · , vn } ⊂ V é Linearmente Dependente (LD) se, e somente se, um de seus elementos for uma combinação linear dos outros elementos. Demonstração – A prova pode ficar a cargo do leitor. ¤ Exemplo 3.5.1 O conjunto S = { v1, v2, v3 } onde v1 = (1, 1, 0) , v2 = (1, 4, 5) e v3 = (3, 6, 5) , é linearmente dependente no espaço vetorial IR3. Considerando a combinação linear nula x v1 + y v2 + z v3 = 0IR3 , obtemos o seguinte sistema linear homogêneo    x + y + 3z = 0 x + 4y + 6z = 0 5y + 5z = 0 ⇐⇒ { x + y + 3z = 0 y + z = 0 Assim, obtemos que o sistema possui infinitas soluções não–nulas, provando que o con- junto S é linearmente dependente. Podemos verificar facilmente que v3 = 2v1 + v2. Assim, utilizando o resultado do Teorema 3.5.1, mostramos que o conjunto S é linearmente dependente. Exemplo 3.5.2 O conjunto S = { v1, v2, v3 } onde v1 = (1, 2, 3) , v2 = (1, 4, 9) e v3 = (1, 8, 27) , é linearmente independente no espaço vetorial IR3. Considerando a combinação linear nula x v1 + y v2 + z v3 = 0IR3 , obtemos o seguinte sistema linear homogêneo    x + y + z = 0 2x + 4y + 8z = 0 3x + 9y + 27z = 0 ⇐⇒    x + y + 3z = 0 2y + 6z = 0 6z = 0 Assim, o sistema linear homogêneo possui somente a solução nula, isto é, x = y = z = 0, provando que o conjunto S é linearmente independente. Petronio Pulino 169 Definição 3.5.4 Considere o espaço vetorial real C([a, b]). Dizemos que o conjunto de funções S = { f1(x), · · · , fn(x) } ⊂ C([a, b]) é Linearmente Dependente, se existirem escalares c1, · · · , cn, não todos nulos, tais que c1f1(x) + · · · + cnfn(x) = 0 ; ∀ x ∈ [a, b] . O conjunto S é Linearmente Independente se não for Linearmente Dependente. Exemplo 3.5.3 O conjunto S = { 1, cos(x), cos(2x) } é linearmente independente no espaço vetorial C([−π, π]). Considere a combinação linear nula α + β cos(x) + λ cos(2x) = 0 ; ∀ x ∈ [−π, π] . Avaliando a equação acima nos pontos x = −π , x = 0 e x = π 2 , obtemos o seguinte sistema linear homogêneo    α − β + λ = 0 α + β + λ = 0 α − λ = 0 Analisando o conjunto solução do sistema linear homogêneo, através de escalonamento, obtemos α = β = γ = 0. Desse modo, provamos que o conjunto S é linearmente independente em C([−π, π]), de acordo com a Definição 3.5.4. Exemplo 3.5.4 O conjunto S = { 1, x, x2, 2 − 3x + 2x2 } é linearmente dependente no espaço vetorial P3(IR). Por simplicidade, vamos denotar p1(x) = 1 , p2(x) = x , p3(x) = x 2 e p4(x) = 2 − 3x + 2x2 . Podemos verificar facilmente que p4(x) = 2p1(x) − 3p2(x) + 2p3(x). Assim, utilizando o resultado do Teorema 3.5.1, mostramos que o conjunto S é linearmente dependente. Exemplo 3.5.5 O conjunto S = { cos2(x), sin2(x), 1 } é linearmente dependente no espaço vetorial F(IR). De fato, fazendo uso da identidade trigonométrica cos2(x) + sin2(x) = 1 ; x ∈ IR obtemos o resultado desejado. 172 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcios Exerćıcio 3.33 Verifique quais dos subconjuntos (a) { (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) , (2, 2, 5) } (b) { (1, 1, 1) , (1, 2, 1) , (3, 2,−1) } são linearmente independentes no espaço vetorial real IR3. Exerćıcio 3.34 Verifique quais dos subconjuntos (a) { 1 , x − 1 , x2 + 2x + 1 , x2 } (b) { x(x − 1) , x3 , 2x3 − x2 , x } são linearmente independentes no espaço vetorial real P4(IR). Exerćıcio 3.35 Mostre que o conjunto γ = { (1, 0, 0,−1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1) } é linearmente independente no espaço vetorial real IR4. Exerćıcio 3.36 Considere as seguintes funções f(x) = x e g(x) = |x |. Mostre que o conjunto S = { f(x), g(x) } é linearmente independente no espaço vetorial C([−1, 1]). Exerćıcio 3.37 Considere as seguintes funções f(x) = x2 e g(x) = x | x |. Mostre que o conjunto S = { f(x), g(x) } é linearmente independente no espaço vetorial real C([−1, 1]). Entretanto, é linearmente dependente em C([0, 1]) e em C([−1, 0]). Exerćıcio 3.38 Determine três elementos de IR3 que sejam linearmente dependentes e tais que dois quaisquer sejam linearmente independentes. Exerćıcio 3.39 Considere V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Mostre que se dois elementos de V são linearmente dependentes, então um é múltiplo escalar do outro. Exerćıcio 3.40 Mostre que o conjunto S = { 1, ex, xex } é linearmente independente no espaço vetorial F(IR). Exerćıcio 3.41 Mostre que o conjunto S = { 1, ex, e2x } é linearmente independente no espaço vetorial F(IR). Petronio Pulino 173 3.6 Bases e Dimensão Passamos agora à tarefa de atribuir uma dimensão a certos espaços vetoriais. Apesar de associarmos usualmente dimensão a algo geométrico, precisamos encontrar uma definição algébrica adequada da dimensão de um espaço vetorial. Isto será feito através do conceito de uma base para o espaço vetorial. Definição 3.6.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Uma base de V é um conjunto linearmente independente de elementos de V que gera V . Exemplo 3.6.1 Considere o espaço vetorial real IR3. O conjunto β = { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } é linearmente independente em IR3 e gera o espaço IR3. Logo, β é uma base para IR3, denominada base canônica. Exemplo 3.6.2 Considere o espaço vetorial real IR2. O conjunto Γ = { (1, 1), (−1, 1) } é linearmente independente em IR2 e gera o espaço IR2. Logo, Γ é uma base para IR2. Teorema 3.6.1 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF finitamente gerado pelos elementos do conjunto S = { v1, · · · , vn } . Então, podemos extrair do conjunto S uma base para V . Demonstração – Se v1, · · · , vn ∈ V são linearmente independentes, então eles cumprem as condições de base, e não temos nada a fazer. Se v1, · · · , vn ∈ V são linearmente dependentes, então existe uma combinação linear nula c1 v1 + · · · + cn vn = 0V com os coeficientes ci não todos nulos. Digamos que cn 6= 0. Desse modo, temos que vn = − c1 cn v1 − · · · − cn−1 cn vn−1 Assim, os elementos v1, · · · , vn−1 ainda geram V . Se { v1, · · · , vn−1 } for linearmente dependente, repetimos o processo anterior e extráımos o elemento, digamos vn−1, que é uma combinação linear dos outros. Repetindo esse processo um número finito de vezes, obtemos um subconjunto de { v1, · · · , vn } formado com m elementos linearmente independentes { v1, · · · , vm } que ainda geram V , com m < n . Assim, obtemos uma base para o espaço vetorial V . ¥ 174 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Teorema 3.6.2 Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de elementos v1 , · · · , vn ∈ V . Então, todo conjunto linearmente independente de V é finito e contém no máximo n elementos. Demonstração – Para provar o teorema, basta mostrar que todo subconjunto W de V que contém mais de n elementos é linearmente dependente. Seja W um tal conjunto. Em W existem elementos distintos w1, · · · , wm, com m > n. Como os elementos v1, · · · , vn geram V , existem escalares cij tais que wj = n∑ i=1 cij vi ; j = 1, · · · , m Consideramos agora uma combinação linear dos elementos de W , isto é, α1 w1 + · · · + αm wm = m∑ j=1 αj n∑ i=1 cij vi = n∑ i=1 ( m∑ j=1 cij αj ) vi Como m > n, podemos encontrar escalares α1, · · · , αm, não todos nulos, solução do sistema linear homogêneo m∑ j=1 cij αj = 0 ; i = 1, · · · , n . Logo, α1 w1 + · · · + αm wm = 0V . Portanto, mostramos que W é um conjunto linearmente dependente em V . ¥ Definição 3.6.2 Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita se V possui uma base finita. Exemplo 3.6.3 Vamos denotar por P(IR) o conjunto de todos os polinômios reais, com a operação usual de adição de polinômios e a operação usual de multiplicação de um polinômio por um escalar. Assim, podemos mostrar facilmente que P(IR) é um espaço vetorial real. Entretanto, P(IR) não possui uma base finita. De fato, dado um conjunto S = { p1(x), · · · , pn(x) } , considerando que o elemento pn(x) seja o polinômio de maior grau em S. Desse modo, se P(IR) = [S], qualquer elemento p(x) ∈ P(IR) pode ser escrito como p(x) = c1p1(x) + c2p2(x) + · · · + cnpn(x) , e seu grau é sempre menor ou igual ao grau de pn(x). Entretanto, como P(IR) contém todos os polinômios reais, sabemos que existem polinômios em P(IR) de grau maior que o grau de pn(x). Portanto, P(IR) 6= [S] para todo conjunto finito S ⊂ P(IR). Petronio Pulino 177 Teorema 3.6.4 Seja U um subespaço vetorial de um espaço vetorial V de dimensão finita. Então, todo subconjunto de U que é linearmente independente, é finito e é parte de uma base (finita) de U . Demonstração – Suponhamos que S0 seja um subconjunto de U linearmente inde- pendente . Se S é um subconjunto de U linearmente independente contendo S0, então S também é um subconjunto de V linearmente independente. Como V tem dimensão finita, S contém no máximo dim( V ) elementos. Portanto, existe um subconjunto S de U linearmente independente que é maximal e contém S0. Como S é um subconjunto de U linearmente independente e maximal contendo S0, o Lema 3.6.1 mostra que U é o subespaço gerado por S. Logo, S é uma base de U e o conjunto original S0 é parte de uma base de U , o que completa a demonstração. ¥ Corolário 3.6.3 Seja U um subespaço vetorial próprio de um espaço vetorial V de dimensão finita. Então, U é de dimensão finita e dim( U ) < dim( V ). Demonstração – Suponhamos que U contém um elemento u 6= 0V . Pelo Teorema 3.6.4 e sua demonstração, existe uma base para U que contém o elemento u e no máximo dim( V ) elementos. Logo, U é de dimensão finita e dim( U ) ≤ dim( V ). Como U é um subespaço próprio, existe um elemento u1 em V que não está em U . Acrescentando o elemento u1 a uma base de U obtemos um subconjunto de V linearmente independente. Portanto, provamos que dim( U ) < dim( V ). ¥ Corolário 3.6.4 Num espaço vetorial V de dimensão finita todo conjunto linearmente independente, não vazio, é parte de uma base de V . Teorema 3.6.5 Sejam U e W subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial V . Então, o subespaço U + W é de dimensão finita e tem–se que dim( U + W ) = dim( U ) + dim( W ) − dim( U ∩ W ) . Demonstração – Pelo Teorema 3.6.4 e seus Corolários, temos que o subespaço U ∩ W possui uma base finita { v1, · · · , vr } que é parte de uma base { v1, · · · , vr, u1, · · · , um } do subespaço U , e parte de uma base { v1, · · · , vr, w1, · · · , wn } do subespaço W . 178 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula O subespaço U + W é gerado pelos elementos do conjunto { v1, · · · , vr, u1, · · · , um, w1, · · · , wn } que é um conjunto linearmente independente em V . De fato, considere a combinação linear nula r∑ i=1 ai vi + m∑ j=1 bj uj + n∑ k=1 ck wk = 0V Então, tem–se que − n∑ k=1 ck wk = r∑ i=1 ai vi + m∑ j=1 bj uj o que mostra que o elemento û = n∑ k=1 ck wk ∈ U Como o elemento û também pertence a W , isto é, û ∈ U ∩ W , temos que n∑ k=1 ck wk = r∑ i=1 αi vi ⇐⇒ n∑ k=1 ck wk − r∑ i=1 αi vi = 0V para certos escalares α1, · · · , αr . Como o conjunto { v1, · · · , vr, w1, · · · , wn } é linearmente independente, cada um dos escalares ck = 0 e αi = 0. Assim, r∑ i=1 ai vi + m∑ j=1 bj uj = 0V . Como o conjunto { v1, · · · , vr, u1, · · · , um } é linearmente independente, temos que cada um dos escalares ai = 0 e bj = 0. Assim, mostramos que o conjunto { v1, · · · , vr, u1, · · · , um, w1, · · · , wn } é uma base para o subespaço vetorial U + W . Finalmente, temos que dim( U ) + dim( W ) = (r + m) + (r + n) = r + (r + m + n) = dim( U ∩ W ) + dim( U + W ) , o que completa a demonstração. ¥ Petronio Pulino 179 Proposição 3.6.1 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e W um subespaço de V . Então, existe um subespaço U de V tal que V = U ⊕ W . Demonstração – Seja {w1 , · · · , wm } uma base para o subespaço W . Pelo Teorema do completamento, podemos completar a base de W para obter uma base de V , isto é, {w1 , · · · , wm , wm+1 , · · · , wn } é uma base para V . Assim, vamos considerar U o subespaço gerado pelo conjunto linearmente independente {wm+1 , · · · , wn } , que satisfaz as propriedades desejadas. De fato, é evidente que V = U + W , pois o conjunto {w1 , · · · , wm , wm+1 , · · · , wn } é linearmente independente e gera V . Por outro lado, como W = [ w1 , · · · , wm ] , U = [ wm+1 , · · · , wn ] e o conjunto {w1 , · · · , wm , wm+1 , · · · , wn } é linearmente independente, temos que W ∩ U = { 0V }, o que completa a demonstração. ¥ Proposição 3.6.2 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e W um subespaço de V . Se dim( W ) = dim( V ), então W = V . Demonstração – Sabemos que W tem uma base. Toda base de W também é uma base de V devido ao fato que dim(W ) = dim(V ). Logo, todo elemento de V também pertence a W . Assim, V ⊂ W e, como W ⊂ V , segue–se que V = W . ¥ Exemplo 3.6.7 Sejam V um espaço vetorial real, com dim(V ) = 9, U e W subespaços vetoriais de V tais que dim(U) = 6 e dim(W ) = 5. Mostre que 2 ≤ dim(U ∩ W ) ≤ 5 . Considerando o resultado do Teorema 3.6.5, temos que 6 ≤ dim(U + W ) = 6 + 5 − dim(U ∩ W ) ≤ 9 Assim, mostramos que 2 ≤ dim(U ∩ W ) ≤ 5. 182 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.6.14 Considerando C2 como um espaço vetorial complexo, temos que o conjunto S = { (1 − i, i), (2, −1 + i) } é linearmente dependente. Considerando a combinação linear nula z1(1 − i, i) + z2(2, −1 + i) = (0, 0) ; z1, z2 ∈ C obtemos o seguinte sistema linear homogêneo    (1 − i)z1 + 2z2 = 0 iz1 + (−1 + i)z2 = 0 ⇐⇒    z1 + (i + 1)z2 = 0 iz1 + (−1 + i)z2 = 0 Note que o segundo sistema linear homogêneo foi obtido somando a segunda equação à primeira equação. Tomando o segundo sistema linear homogêneo, multiplicamos a primeira equação por −i e somamos à segunda equação. Assim, ficamos somente com a primeira equação z1 + (i + 1)z2 = 0 que possui infinitas soluções não–nulas, z1 = −(i + 1)z2 , z2 ∈ C. Portanto, o conjunto S é linearmente dependente. Exemplo 3.6.15 Considerando C2 como um espaço vetorial real, temos que o conjunto S = { (1 − i, i), (2, −1 + i) } é linearmente independente. Considerando a combinação linear nula a(1 − i, i) + b(2, −1 + i) = (0, 0) ; a, b ∈ IR obtemos o seguinte sistema linear homogêneo    (1 − i)a + 2b = 0 ia + (−1 + i)b = 0 ⇐⇒    a + (i + 1)b = 0 ia + (−1 + i)b = 0 Como a, b ∈ IR, temos que o sistema linear homogêneo possui somente a solução trivial, a = b = 0. Desse modo, mostramos que o conjunto S é linearmente independente. Petronio Pulino 183 Exemplo 3.6.16 Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO) u′′(x) + u(x) = 0 . Sabemos que as funções u1(x) = sin(x) e u2 = cos(x) são duas soluções linearmente independentes da EDO, isto é, as funções u1(x) e u2(x) satisfazem a EDO e o conjunto Γ = {u1(x), u2(x) } é linearmente independente para x ∈ IR. Além disso, temos que toda solução da EDO é uma combinação linear dessas duas funções. Desse modo, o conjunto Γ é uma base para o espaço solução da EDO. Exemplo 3.6.17 O conjunto Γ = { (1, 2), (1,−1) } é uma base para o IR2. Podemos verificar facilmente que Γ é linearmente independente, pois cada um de seus elementos não é múltiplo escalar do outro. Dado um elemento u = (x, y) ∈ IR2, vamos mostrar que u pode ser escrito de modo único como u = a(1, 2) + b(1,−1) para a, b ∈ IR. Desse modo, temos que obter a solução do seguinte sistema linear    a + b = x 2a − b = y ⇐⇒    a + b = x 3a = x + y Assim, temos que a = x + y 3 e b = 2x − y 3 , obtidos de modo único, em função das componentes do elemento u ∈ IR2. Exemplo 3.6.18 Considere o espaço vetorial real IR5. Determine uma base para o subespaço vetorial de IR5 dado por: W = { (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ IR5 / x1 + x3 + x5 = 0 e x2 = x4 } . Temos que x1 = −x3 − x5 e x2 = x4. Assim, temos que os elementos w1 = (−1, 0, 1, 0, 0) w2 = (−1, 0, 0, 0, 1) w3 = (0, 1, 0, 1, 0) formam uma base para o subespaço W . Desse modo, dim(W ) = 3. 184 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.6.19 Considere o espaço vetorial real P3(IR). Determine uma base para o subespaço vetorial de P3(IR) dado por: S = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) = 0 e p′(1) = 0 } . Vamos tomar um elemento p(x) ∈ P3(IR) escrito da seguinte forma: p(x) = a + bx + cx2 + dx3 Impondo as restrições p(−1) = p′(1) = 0, obtemos as seguintes equações algébricas p(−1) = a − b + c − d = 0 p′(1) = b + 2c + 3d = 0 Podemos observar que o sistema linear homogêneo possui dois graus de liberdade. Assim, dim(S) = 2. Desse modo, temos que a = −3c − 2d b = −2c − 3d Assim, todo elemento p(x) ∈ S é escrito da seguinte forma: p(x) = c(−3 − 2x + x2) + d(−2 − 3x + x3) , c, d ∈ IR Portanto, mostramos que o subespaço S é gerado pelos elementos do conjunto Γ = { −3 − 2x + x2, −2 − 3x + x3 } , que é linearmente independente em P3(IR), pois os elementos não são múltiplos escalares. Logo, como dim( S ) = 2, o conjunto Γ é uma base para o subespaço S. Note que os elementos da base Γ satisfazem as condições para que um elemento do espaço vetorial P3(IR) pertença ao subespaço S. Petronio Pulino 187 Exemplo 3.6.24 Considere o seguinte subespaço S = { p(x) ∈ P3(IR) / p′(−1) = 0 e p(1) = 0 } do espaço vetorial P3(IR). Encontre uma base para S. Consideramos um elemento genérico p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ P3(IR) e vamos impor as condições para que esse elemento pertença ao subespaço S, isto é, p′(−1) = b − 2c + 3d = 0 p(1) = a + b + c + d = 0 . Assim, obtemos um sistema linear homogêneo com dois graus de liberdade. Desse modo, podemos concluir que o subespaço S tem dimensão dois. Logo, temos uma relação entre os coeficientes dos elementos p(x) ∈ S. Podemos verificar facilmente que b = 2c − 3d e a = −3c + 2d para c, d ∈ IR. Substituindo a e b no polinômio p(x), obtemos que todo elemento do subespaço S é escrito como: p(x) = c(−3 + 2x + x2) + d(2 − 3x + x3) ; c, d ∈ IR . Portanto, mostramos que o subespaço S é gerando pelo elementos do conjunto Γ = {−3 + 2x + x2 , 2 − 3x + x3 } , que é linearmente independente em P3(IR). Logo, o conjunto Γ é uma base para o subespaço S. Note que os elementos da base Γ satisfazem as condições para que um elemento do espaço vetorial P3(IR) pertença ao subespaço S. Exemplo 3.6.25 Considere o seguinte subespaço S = { p(x) ∈ P2(IR) / ∫ 1 0 p(x)dx = 0 } do espaço vetorial P2(IR). Temos que dim( S ) = 2 e o conjunto Γ = { −1 2 + x , −1 3 + x2 } é uma base para o subespaço S. Note que os elementos da base Γ satisfazem as condições para que um elemento do espaço vetorial P2(IR) pertença ao subespaço S. 188 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Estratégia para Completamento de Base Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo IF e β = { v1 , · · · , vn } uma base de V . Sabemos que todo elemento u ∈ V pode ser representado pela combinação linear u = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn , onde os escalares ci ∈ IF para i = 1, · · · , n, são as coordenadas do elemento u com relação à base β. Pelo resultado do Teorema 3.6.3, sabemos que todo conjunto linearmente independente em V pode ser completado até formar uma base para V . Vamos mostrar uma maneira prática, e eficiente, para determinar quais elementos que serão necessários para completar esse conjunto para formar uma base de V . Os resultados que vamos apresentar dependem fortemente dos resultados das seções 2.6 e 2.9. Para isso, vamos considerar um conjunto S = {w1 , · · · , wm } de elemento de V , com m ≤ n. Sabemos que cada elemento wj ∈ S pode ser representado pela combinação linear wi = ai1v1 + ai2v2 + · · · + ainvn , para i = 1, · · · , m. A seguir, constrúımos uma matriz A ∈ IMm×n(IR) cujas linhas são as coordenadas dos elementos do conjunto S em relação à base β, que é dada por: A =   a11 a12 · · · a1n ... ... ... ai1 ai2 · · · ain ... ... ... am1 am2 · · · amn   . Em seguida, obtemos a matriz  na forma escalonada, linha equivalente a matriz A, que representamos por:  =   α11 α12 α13 α14 · · · α1n 0 α22 α23 α24 · · · α2n ... ... . . . ... ... 0 0 · · · αii · · · αin ... ... ... . . . ... 0 · · · · · · · · · 0 αmn   . Petronio Pulino 189 As linhas da matriz  são combinações lineares das linhas da matriz A, pois foram obtidas através de operações elementares de linhas da matriz A. Assim, podemos verificar facilmente que os elementos u1, · · · , um representados da forma: ui = n∑ j=i αij vj , para i = 1, · · · , m, são combinações lineares dos elementos w1, · · · , wm. Portanto, os subespaços vetoriais W e U do espaço vetorial V , gerados pelos conjuntos {w1 , · · · , wm } e {u1 , · · · , um } , respectivamente, são os mesmos. Finalmente, temos que fazer uma análise do posto(A) = posto(Â), com as seguintes possibilidades. (1) No caso em que posto(A) = posto(Â) = m = n, todas as linhas da matriz  são não–nulas. Assim, temos que os conjuntos {w1 , · · · , wm } e {u1 , · · · , um } são linearmente independentes, e formam uma base para V . (2) No caso em que posto(A) = posto(Â) = m < n, temos que os conjuntos {w1 , · · · , wm } e {u1 , · · · , um } são linearmente independentes. Constrúımos uma matriz M ∈ IMn(IR) na forma escalonada a partir da matriz Â, acrescentando linhas que são as coordenadas de elementos da base canônica de IF n, escolhidos de modo conveniente. Portanto, os elementos de V cujas coordenadas em relação à base β são dadas pelas linhas da matriz M formam um conjunto linearmente independente em V , e conseqüentemente, uma base para V . É importante observar que estamos completando o conjunto {u1 , · · · , um } com elementos da base β, para formar uma nova base para V . 192 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.6.27 Considere os seguintes subespaços de IR3 U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x = z } W = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } Determine uma base para o subespaço U + W . Do Exemplo 3.4.5, sabemos que o subespaço U + W tem como um sistema de geradores os seguintes elementos v1 = (1, 0, 1) , v2 = (0, 1, 0) , v3 = (−1, 1, 0) e v4 = (−1, 0, 1) dentre os quais vamos escolher uma base para o subespaço. Para isso, constrúımos uma matriz cujas linhas são as coordenadas dos elementos do sistema de geradores, em relação à base canônica, e efetuamos o escalonamento   1 0 1 0 1 0 −1 1 0 −1 0 1   −→   1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 2   −→   1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 2   −→   1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0   Como a matriz tem posto igual a três, temos que dim(U + W ) = 3. Assim, podemos escolher como base para o subespaço U + W um dos seguintes conjuntos { (1, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 1, 0) } ou { (1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } Do Exemplo 3.4.5, sabemos que o subespaço U ∩ W = [(1,−2, 1)]. Desse modo, temos que IR3 = U + W , entretanto, não como soma direta. Petronio Pulino 193 Exemplo 3.6.28 Considere o espaço vetorial real P4(IR). Determine uma base para P4(IR) contendo elementos do conjunto S = { p(x), q(x), r(x) }, onde p(x) = 1 + x + x2 + 3x3 + 2x4 q(x) = 1 + 2x + x2 + 2x3 + x4 r(x) = 1 + 3x + 2x2 + 1x3 + 2x4 Os elementos p(x), q(x), r(x) estão escritos em relação à base canônica β = { 1, x, x2, x3, x4 } . Inicialmente, vamos construir uma matriz A cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos elementos p(x), q(x) e r(x) com relação à base canônica, respectivamente, A =   1 1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 3 2 1 2   Em seguida, efetuando o escalonamento na matriz A encontramos uma matriz  na forma escalonada, linha equivalente a matriz A, dada por:  =   1 1 1 3 2 0 1 0 −1 −1 0 0 1 0 2   da qual conclúımos que o conjunto S é linearmente independente em P4(IR). Finalmente, constrúımos uma matriz M de ordem 5×5 a partir da matriz  na forma escalonada acrescentando linhas na matriz  que são as coordenadas de elementos da base canônica escolhidos de modo conveniente M =   1 1 1 3 2 0 1 0 −1 −1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1   Assim, temos que γ = { p(x), q(x), r(x), x3, x4 } é uma base para o espaço P4(IR), contendo os elementos do conjunto S. 194 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.6.29 Considere o espaço vetorial real IM3×2(IR). Determine uma base para IM3×2(IR) contendo elementos do conjunto S = {A1, A2, A3 }, onde A1 =   1 1 −1 3 3 2   , A2 =   1 −1 2 4 3 2   e A3 =   −1 −3 4 −2 −3 −2   Considere uma base Γ para o espaço vetorial IM3×2(IR) dada por: Γ =      1 0 0 0 0 0   ,   0 1 0 0 0 0   ,   0 0 1 0 0 0   ,   0 0 0 1 0 0   ,   0 0 0 0 1 0   ,   0 0 0 0 0 1      Sabemos que dim(IM3×2(IR)) = 6. Inicialmente, vamos construir uma matriz A cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos elementos A1, A2 e A3 com relação à base Γ, respectivamente, A =   1 1 −1 3 3 2 1 −1 2 4 3 2 −1 −3 4 −2 −3 −2   Em seguida, efetuando o escalonamento na matriz A encontramos uma matriz  na forma escalonada, linha equivalente a matriz A, dada por:  =   1 1 −1 3 3 2 0 −2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0   da qual conclúımos que o conjunto {A1, A2 } é linearmente independente em IM3×2(IR), pois a matriz A3 é uma combinação linear das matrizes A1 e A2. Finalmente, constrúımos uma matriz M de ordem 6×6 a partir da matriz  na forma escalonada acrescentando linhas na matriz  que são as coordenadas de elementos da base Γ escolhidos de modo conveniente M =   1 1 −1 3 3 2 0 −2 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1   Petronio Pulino 197 Exemplo 3.6.33 Sejam U e W subespaços vetoriais de IR4, com U 6= W , tais que dim(U) = 3 e o subespaço U ∩ W = [v1, v2, v3], onde v1 = (1, 2, 1, 0) , v2 = (−1, 1, 0, 1) e v3 = (1, 5, 2, 1) . Determine dim(U ∩ W ) e as posśıveis dimensões dos subespaços W e U + W . Vamos determinar a dimensão do subespaço U ∩ W . De modo análogo, escalonando a matriz A, cujas linhas são as coordenadas dos elementos do sistema de geradores do subespaço U ∩ W , dada por: A =   1 2 1 0 −1 1 0 1 1 5 2 1   −→   1 2 1 0 0 3 1 1 0 3 1 1   −→   1 2 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0   , obtemos que dim(U ∩ W ) = 2. Considerando o resultado do Teorema 3.6.5, temos que 3 ≤ dim(U + W ) = 1 + dim(W ) ≤ 4 Portanto, temos que duas possibilidades: (1) dim(W ) = 2 e dim(U + W ) = 3 (2) dim(W ) = 3 e dim(U + W ) = 4 Exemplo 3.6.34 Determine os valores de a ∈ IR de modo que o conjunto S = { (a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a) } seja uma base para IR3. Vamos encontrar os valores para a de modo que o conjunto acima seja linearmente independente. Assim, vamos construir uma matriz A ∈ IM3(IR) cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos elementos do conjunto S, em relação à base canônica, e procedemos com o escalonamento A =   1 a 1 0 1 a a 1 0   −→   1 a 1 0 1 a 0 1 − a2 −a   −→   1 a 1 0 1 a 0 0 a(a2 − 2)   Portanto, devemos impor que a(a2 − 2) 6= 0. Assim, obtemos a 6= 0 e a 6= ± √ 2. De modo análogo, consideramos uma combinação linear nula dos elementos do conjunto S, obtendo um sistema linear homogêneo, e impomos a condição na matriz do sistema de modo que os coeficientes da combinação linear sejam todos nulos. Assim, obtemos os valores para o parâmetro a. 198 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.6.35 Considere os seguintes subespaços do espaço vetorial real IR3 U = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)] W = [(1, 2, 1), (0, 1,−1)] Determine uma base para os subespaços U + W e U ∩ W . Podemos verificar facilmente que o conjunto { (1,−1, 2), (2, 1, 1) } é uma base para o subespaço U e que { (1, 2, 1), (0, 1,−1) } é uma base para o subespaço W . Agora vamos determinar uma base para o subespaço U +W . Para isso constrúımos uma matriz cujas linhas são as coordenadas dos elementos do sistema de geradores do subespaço U + W , em relação à base canônica, e efetuamos o escalonamento   1 −1 2 2 1 1 1 2 1 0 1 −1   −→   1 −1 2 0 3 −3 0 3 −1 0 1 −1   −→   1 −1 2 0 3 −3 0 0 2 0 0 0   Assim, podemos escolher uma base para o subespaço U +W um dos seguintes conjuntos { (1,−1, 2), (2, 1, 1), (1, 2, 1) } ou { (1,−1, 2), (0, 3,−3), (0, 0, 2) } Logo, temos dim(U + W ) = 3. Considerando o resultado do Teorema 3.6.5, obtemos dim(U ∩ W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U + W ) = 1 . Neste caso, do processo de escalonamento, podemos concluir que o elemento (0, 1,−1) pertence ao subespaço U ∩ W , pois observamos que ele também pertence ao subespaço U . Logo, { (0, 1,−1) } é uma base para o subespaço U ∩ W . Petronio Pulino 199 Exemplo 3.6.36 Considere os seguintes subespaços do espaço vetorial real IR4 U = [(1,−1, 0, 2), (−1, 2, 0, 1)] W = [(2, 1,−1, 3), (3,−4, 0, 3), (4, 5,−3, 5)] Determine uma base para o subespaço U + W e dim(U ∩ W ). Vamos determinar a dimensão do subespaço U , procedendo o escalonamento na matriz A = [ 1 −1 0 2 −1 2 0 1 ] −→ [ 1 −1 0 2 0 1 0 3 ] Como o posto(A) = 2, obtemos dim(U) = 2. De modo análogo, vamos determinar a dimensão do subespaço W A =   2 1 −1 3 3 −4 0 3 4 5 −3 5   −→   2 1 −1 3 0 −7 3 −3 0 6 1 −2   −→   2 1 −1 3 0 −7 3 −3 0 0 25 −32   Como o posto(A) = 3, obtemos dim(W ) = 3. De modo análogo, vamos determinar uma base para o subespaço U + W   1 −1 0 2 −1 2 0 1 2 1 −1 3 3 −4 0 3 4 5 −3 5   −→   1 −1 0 2 0 1 0 3 0 3 −1 −1 0 −1 0 −3 0 9 −3 −3   −→   1 −1 0 2 0 1 0 3 0 0 −1 −10 0 0 0 0 0 0 −3 −30   −→   1 −1 0 2 0 1 0 3 0 0 −1 −10 0 0 0 0 0 0 0 0   Assim, provamos que o conjunto { (1,−1, 0, 2), (−1, 2, 0, 1), (2, 1,−1, 3) } é uma base para o subespaço U + W . Logo, dim(U + W ) = 3. Considerando o resultado do Teorema 3.6.5 dim(U ∩ W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U + W ) = 2 + 3 − 3 = 2 obtemos dim(U ∩ W ) = 2. 202 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcio 3.50 Considere os seguintes subespaços vetoriais de IM2(IR) U = { [ a b b c ] ; a, b, c, ∈ IR } e W = { [ a b c −a ] ; a, b, c ∈ IR } . Determine uma base para os subespaços U , W e U ∩ W . Exerćıcio 3.51 Para quais valores de a ∈ IR o conjunto β = { (a, 1, 0) , (1, a, 1) , (0, 1, a) } é uma base para o espaço vetorial IR3 ? Exerćıcio 3.52 Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO) −u′′(x) + u(x) = 0 . Mostre que as funções u1(x) = exp(x) e u2 = exp(−x) são duas soluções linearmente independentes da EDO e que o conjunto Γ = {u1(x), u2(x) } é uma base para o espaço solução da EDO. Exerćıcio 3.53 Mostre que uma base para o espaço vetorial real U definido por: U = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) = p(1) = 0 } é dada pelo conjunto γ = { 1 − x2 , x − x3 }. Exerćıcio 3.54 Sejam U e W subespaços vetoriais de dimensão finita de um espaço vetorial V . Determine as condições necessária e suficiente sobre os subespaços U e W para que dim( U ∩ W ) = dim(W ). Exerćıcio 3.55 Sejam U e W subespaços vetoriais de dimensão finita de um espaço vetorial V com dimensões m e n, respectivamente, onde m ≥ n. (a) Prove que dim( U ∩ W ) ≤ n. (b) Prove que dim( U + W ) ≤ n + m. Exerćıcio 3.56 Determine uma base para o espaço vetorial IR4 contendo os elementos v1 = (1, 1, 1, 0) e v2 = (1, 1, 2, 1) . Petronio Pulino 203 Exerćıcio 3.57 Mostre que os polinômios p1(x) = 1 , p2(x) = 1 + x , p3(x) = 1 − x2 e p4(x) = 1 − x − x2 − x3 formam uma base para o espaço vetorial P3(IR). Exerćıcio 3.58 Sejam V e W subespaços vetoriais do espaço vetorial IR3 tais que dim(V ) = 1 , dim(W ) = 2 e V não está contido em W . Mostre que IR3 = V ⊕W . Exerćıcio 3.59 Determine uma base para o espaço solução do sistema linear { x − y − z − t = 0 2y + 5z + t = 0 que é um subespaço vetorial do IR4. Exerćıcio 3.60 Sejam U e W subespaços vetoriais de dimensão 3 do espaço vetorial IR4. Considerando que U ∩ W = [ (1, 2, 1, 0) , (−1, 1, 0, 1) , (1, 5, 2, 1) ] . Qual é a dimensão do subespaço U + W ? Exerćıcio 3.61 Sejam W o subespaço de IR4 definido por: W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − y = z e x − 3y + t = 0 } e U o subespaço de IR4 gerado pelos elementos u1 = (1, 2, 1, 3) e u2 = (3, 1,−1, 4). Determine uma base para o subespaço U + W e para o subespaço U ∩ W . Exerćıcio 3.62 Considere os seguintes subespaços de IR3 U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x = 0 } V = { (x, y, z) ∈ IR3 / y − 2z = 0 } W = [ (1, 1, 0) , (0, 0, 2) ] Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços U ∩ V , V + W e U + V + W . 204 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula 3.7 Coordenadas Uma das caracteŕısticas úteis de uma base β de um espaço vetorial V de dimensão finita é essencialmente que ela nos permite introduzir coordenadas em V de maneira análoga às coordenadas naturais xi de um elemento u = (x1, · · · , xx) do espaço vetorial IRn, por exemplo. Assim, as coordenadas de um elemento u de V em relação a base β serão os escalares que servem para representar u como uma combinação linear dos elementos da base ordenada β. Se β é uma base arbitrária do espaço vetorial V de dimensão n, não teremos nenhuma ordenação natural para os elementos de β e será portanto necessário impormos uma certa ordem sobre esses elementos antes de podermos definir as coordenadas de um elemento de V em relação a β. Definição 3.7.1 Seja S um conjunto de n elementos. Uma ordenação do conjunto S, é uma função do conjunto dos inteiros positivos 1, · · · , n sobre o conjunto S. Desse modo, uma ordenação do conjunto é simplesmente uma regra para nos dizer que elemento deve ser considerado como o primeiro elemento de S, que elemento é o segundo, e assim sucessivamente. Uma base ordenada de um espaço vetorial V de dimensão finita é uma base β de V , mais uma ordenação fixa dos elementos de β. Desse modo, temos o seguinte resultado. Teorema 3.7.1 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo IF e β = { v1 , · · · , vn } uma base ordenada de V . Então, todo elemento de V é escrito de modo único como uma combinação linear dos elementos de β, isto é, dado o elemento u ∈ V temos que existe uma única n–upla (c1 , · · · , ci , · · · , cn) ∈ IF n tal que u = n∑ i=1 ci vi . Dizemos que ci é a i–ésima coordenada do elemento u com relação à base ordenada β. Demonstração – Para mostrar a unicidade, vamos considerar que u = n∑ j=1 cj vj = n∑ j=1 bj vj =⇒ n∑ j=1 (cj − bj) vj = 0V . Como { v1 , · · · , vn } é linearmente independente em V , temos que cj − bj = 0 para todo j . Logo, cj = bj para todo j , o que completa a demonstração. ¥ Petronio Pulino 207 Exemplo 3.7.2 Podemos verificar facilmente que γ = { 1, 1 + x, 1 + x2 } é uma base ordenada para o espaço vetorial real P2(IR). Determine as coordenadas do elemento p(x) = 2 + 4x + x2 em relação à base ordenada γ. Inicialmente, escrevemos o polinômio p(x) como uma combinação linear dos elementos da base ordenada γ p(x) = 2 + 4x + x2 = a + b(1 + x) + c(1 + x2) = (a + b + c) + bx + cx2 Assim, obtemos o seguinte sistema linear nas incógnitas a, b e c que são as coordenadas de p(x) com relação à base ordenada γ a + b + c = 2 b = 4 c = 1 Desse modo, temos que a = −3, b = 4 e c = 1. Portanto, o vetor de coordenadas do elemento p com relação à base ordenada γ é dado por: [p]γ =   −3 4 1   Exemplo 3.7.3 Considere o espaço vetorial real IR3. Determine as coordenadas do elemento u = (2, 1, 4) ∈ IR3 com relação à base γ = { (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−1) }. Vamos escrever o elemento u = (2, 1, 4) ∈ IR3 como uma combinação linear dos elementos da base ordenada γ u = (2, 1, 4) = a(1, 1, 1) + b(1, 0, 1) + c(1, 0,−1) Assim, obtemos o seguinte sistema linear nas incógnitas a, b e c que são as coordenadas de u com relação à base ordenada γ a + b + c = 2 a = 1 a + b − c = 4 Desse modo, temos que a = 1, b = 2 e c = −1. Portanto, o vetor de coordenadas do elemento u com relação à base ordenada γ é dado por: [u]γ =   1 2 −1   208 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.7.4 Sejam V um espaço vetorial real e γ = { v1, v2, v3, v4 } uma base ordenada para V . Pede–se: (a) Mostre que β = { v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, v1 + v2 + v3 + v4 } é uma base de V . (b) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas [v]γ =   4 3 1 2   determine seu vetor de coordenadas [v]β. Vamos mostrar que β é linearmente independente em V . Para isso, vamos considerar a combinação linear nula av1 + b(v1 + v2) + c(v1 + v2 + v3) + d(v1 + v2 + v3 + v4) = 0V . Escrevendo a combinação linear acima da seguinte forma: (a + b + c + d)v1 + (b + c + d)v2 + (c + d)v3 + dv4 = 0V e utilizando a hipótese que γ = { v1, v2, v3, v4 } é linearmente independente em V , obtemos o seguinte sistema linear triangular superior homogêneo a + b + c + d = 0 b + c + d = 0 c + d = 0 d = 0 que tem por solução a = b = c = d = 0. Assim, provamos que β é linearmente independente em V . Logo, β é uma base para V . Note que na primeira parte da resolução, o vetor de coordenadas de um elemento v ∈ V na base β está representado por: [v]β =   a b c d   Petronio Pulino 209 e o vetor de coordenadas do elemento v ∈ V na base γ está representado por [v]β =   a + b + c + d b + c + d c + d d   . Assim, para encontrar o vetor de coordenadas [v]β, conhecendo o vetor de coordenadas [v]γ, basta obter a solução do seguinte sistema linear triangular superior a + b + c + d = 4 b + c + d = 3 c + d = 1 d = 2 Portanto, temos que [v]β =   1 2 −1 2   Exemplo 3.7.5 Considere o espaço vetorial real IM2(IR) com a base ordenada γ = { A1, A2, A3, A4 } onde A1 = [ 1 1 1 0 ] , A2 = [ 1 1 0 1 ] , A3 = [ 1 0 1 1 ] e A4 = [ 0 1 1 1 ] Determine o vetor de coordenadas [A]γ da matriz A dada por: A = [ 4 6 5 6 ] . Resposta: [A]γ =   1 2 1 3   212 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula 3.8 Mudança de Base Teorema 3.8.1 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo IF , β = { v1 , · · · , vn } e γ = { w1 , · · · , wn } bases ordenadas para V . Então, existe uma única matriz P ∈ IMn(IF ) invert́ıvel tal que para todo u ∈ V tem–se que (a) [u]γ = P [u]β (b) [u]β = P −1 [u]γ Demonstração – Inicialmente vamos representar cada elemento vj da base ordenada β em relação à base ordenada γ. Pelo Teorema 3.7.1, existem escalares p1j, · · · , pnj ∈ IF , bem definidos, tais que vj = n∑ i=1 pij wi ; j = 1, · · · , n . Dado um elemento u ∈ V , sejam c1, · · · , cn ∈ IF suas coordenadas com relação à base ordenada β, isto é, u = n∑ j=1 cj vj = n∑ j=1 cj n∑ i=1 pij wi = n∑ j=1 n∑ i=1 ( pij cj ) wi = n∑ i=1 ( n∑ j=1 pij cj ) wi . Assim, obtemos a relação u = n∑ i=1 ( n∑ j=1 pij cj ) wi . Como as coordenadas b1, · · · , bn do elemento u ∈ V com relação à base γ são determinadas de modo único, temos que bi = n∑ j=1 pij cj ; i = 1, · · · , n . Tomando a matriz P = [pij] , podemos escrever a relação acima na forma matricial [u]γ = P [u]β. Como β e γ são linearmente independentes em V , então [u]γ = 0 se, e somente se, [u]β = 0. Assim, temos que P é uma matriz invert́ıvel. Logo, temos que [u]β = P −1 [u]γ . A matriz P = [pij] é denominada matriz de mudança da base ordenada β para a base ordenada γ, o que completa a demonstração. ¥ Utilizaremos a notação [I]βγ para indicar a matriz de mudança da base ordenada β para a base ordenada γ . Petronio Pulino 213 Teorema 3.8.2 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo IF , γ = { w1, · · · , wn } uma base ordenada para V , e P ∈ IMn(IF ) uma matriz invert́ıvel. Então, existe uma única base ordenada β = { v1, · · · , vn } de V tal que (a) [u]γ = P [u]β (b) [u]β = P −1 [u]γ para todo elemento u ∈ V . Demonstração – Se β = { v1 , · · · , vn } é uma base ordenada para V para qual (a) é válido, é claro que vj = n∑ i=1 pij wi ; j = 1, · · · , n . Assim, basta mostrar que os elementos vj assim definidos formam uma base para V . Considerando a matriz Q = [qij] = P −1, temos que n∑ j=1 qjk vj = n∑ j=1 qjk n∑ i=1 pij wi = n∑ j=1 ( n∑ i=1 pij qjk ) wi = n∑ i=1 ( n∑ j=1 pij qjk ) wi = wk Portanto, o subespaço gerado pelos elementos do conjunto β contém γ. Logo, é igual ao espaço vetorial V . Assim, β é uma base e, de sua definição e do Teorema 3.8.1, é evidente que (a) é válido. Logo, (b) também o é, o que completa a demonstração. ¥ Note que a j–ésima coluna da matriz P são as coordenadas do j–ésimo elemento da base ordenada β com relação à base ordenada γ, isto é, vj = n∑ i=1 pij wi ; j = 1, · · · , n . Portanto, P é a matriz de mudança da base ordenada β para a base ordenada γ, isto é, P = [I]βγ . 214 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exemplo 3.8.1 Considere a matriz P ∈ IM2(IR) dada por: P = [ cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) ] onde θ é um número real. A matriz P é a matriz de rotação de um ângulo θ no sentido anti–horário. A matriz P é invert́ıvel e sua inversa é dada por: P−1 = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ] . Portanto, para cada θ ∈ IR, o conjunto γ = { v1, v2 } onde v1 = (cos(θ) , sin(θ)) e v2 = (− sin(θ) , cos(θ)) é uma base ordenada de IR2. Podemos observar que a base ordenada γ pode ser descrita como sendo a base obtida pela rotação de um ângulo θ da base ordenada canônica β = { e1, e2 }. Assim, dado um elemento u = (x, y) ∈ IR2, temos que [u]γ = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ][ x y ] . Logo, temos que [u]γ = P −1[u]β e [u]β = P [u]γ. Esse exemplo é uma excelente ilustração do Teorema 3.8.2. Para exemplificar, vamos considerar θ = π 4 . Desse modo, temos a base ordenada canônica β = { (1, 0), (0, 1) } e a base ordenada γ = { v1, v2 } onde v1 = √ 2 2 (1, 1) e v2 = √ 2 2 (−1, 1) . Neste caso, as seguintes matrizes P =   √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2   e P−1 =   √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2   que são, respectivamente, a matriz de mudança da base ordenada γ para a base canônica β e a matriz de mudança da base canônica β para a base ordenada γ. Petronio Pulino 217 Exerćıcios Exerćıcio 3.68 Considere a base ordenada γ = { v1, v2, v3 } do IR3 onde v1 = (1, 0,−1) , v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, 0, 0) . Encontre o vetor de coordenadas do elemento u = (a, b, c) ∈ IR3 com relação à base ordenada γ. Exerćıcio 3.69 Considere o seguinte subespaço vetorial de IM2(IR) U = { [ x y z t ] / x − y − z = 0 } . Considere as seguintes bases do subespaço vetorial U β = {[ 1 1 0 0 ] , [ 1 0 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ]} e γ = {[ 1 0 1 0 ] , [ 0 −1 1 0 ] , [ 0 0 0 1 ]} . Determine a matriz de mudança de base [I]γβ . Exerćıcio 3.70 Seja V um espaço vetorial real de dimensão n. Sejam β = { v1 , · · · , vn } , α = { u1 , · · · , un } e γ = { w1 , · · · , wn } três bases ordenadas para V . Considerando a matriz P = [I]βα , a matriz de mudança da base β para a base α, e Q = [I]αγ , a matriz de mudança da base α para a base γ. Determine a matriz de mudança da base β para a base γ, [I]βγ . Utilizando esse resultado mostre que uma matriz de mudança de base é sempre invert́ıvel. Exerćıcio 3.71 Seja V um espaço vetorial real e β = {u1, · · · , un } uma base para V . Mostre que se A = [aij] é uma matriz de ordem n invert́ıvel, então os elementos vj = n∑ i=1 aij ui para j = 1, · · · , n formam uma base para V , e que A é a matriz de mudança da base γ = { v1, · · · , vn } para a base β, isto é A = [I]γβ . 218 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula Exerćıcio 3.72 Considere o espaço vetorial real IR2. A matriz de mudança da base ordenada γ = {u1, u2 }, onde u1 = (1, 1) e u2 = (−2, 2), para a base ordenada α = { v1, v2 } é dada por: [I]γα = [ 1 0 4 −2 ] . Determine a base ordenada α. Determine o elemento u ∈ IR2 tal que [u]α = [ 1 2 ] . Exerćıcio 3.73 Considere as bases β = {u1, u2, u3} e γ = {w1, w2, w3} de IR3, relacionadas da seguinte forma:    w1 = u1 − u2 − u3 w2 = 2u2 + 3u3 w3 = 3u1 + u3 Pede–se: (a) Determine as matrizes de mudança de base [I]βγ e [I] γ β. (b) Considere que o elemento u ∈ IR3 tem por vetor de coordenadas [u]β =   1 2 3   . Determine o vetor de coordenadas do elemento u com relação à base γ. Exerćıcio 3.74 Considere a seguinte matriz de mudança de base [I]β ′ β =   1 1 0 0 −1 1 1 0 −1   Encontre: (a) [v]β onde [v]β′ =   −1 2 3   (b) [v]β′ onde [v]β =   −1 2 3   Bibliografia [1] Tom M. Apostol, Análisis Matemático, Segunda Edición, Editorial Reverté, 1977. [2] Tom M. Apostol, Calculus , Volume I, Second Edition, John Wiley & Sons, 1976. [3] Tom M. Apostol, Calculus , Volume II, Second Edition, John Wiley & Sons, 1976. [4] Tom M. 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