Controle I estabilidade de sistemas

Controle I estabilidade de sistemas

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ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES – Prof. Alessandro Mattedi – DEL/UFES 104

- Definições de estabilidade - Estabilidade absoluta

- Estabilidade relativa

- Critério de Routh-Hurwitz

- Estabilidade de sistema discretos

5.1 INTRODUÇÃO

O projeto de um sistema de controle pode ser considerado como um problema de posicionar os pólos e zeros da sua função de transferência tal que o sistema desempenhe de acordo com especificações estabelecidas.

Entre as muitas formas de especificações de desempenho usadas em projeto, a mais importante é a estabilidade do sistema. Um sistema instável é geralmente considerado sem utilidade. Quando todos os tipos de sistemas são considerados – linear, não lineares, invariante no tempo, variante no tempo – a definição de estabilidade pode ser dada de muitas formas diferentes, o que foge do escopo de nosso curso. Nós trataremos somente com a estabilidade de sistemas monovariáveis lineares invariantes no tempo.

Para propósitos de análise e projeto, nós podemos classificar a estabilidade como estabilidade absoluta e estabilidade relativa. Estabilidade absoluta refere-se à condição do sistema ser estável ou não; isto é: a resposta é sim ou não. Uma vez que o sistema é estável, é interessante determinar como esta estabilidade se apresenta, isto é, o grau de estabilidade é uma medida da estabilidade relativa.

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Antes da definição da estabilidade, nós definimos os dois seguintes tipos de respostas para sistemas invariantes no tempo lineares: 1. Resposta de estado zero – devida à entrada somente; todas as condições iniciais do sistema são nulas. 2. Resposta de entrada zero – devida a condições iniciais somente; todas as entradas são nulas.

Do princípio da superposição, quando um sistema é submetido simultaneamente a entradas e condições iniciais (não nulas), a resposta total do sistema é dada por:

Resposta total = resposta de estado zero + resposta de entrada zero

As definições acima aplicam-se a sistema contínuos e sistemas discretos.

5.2 BOUNDED-INPUT BOUNDED-OUTPUT STABILITY: SISTEMAS DE DADOS CONTÍNUOS

Considere u(t), y(t) e g(t) como a entrada, a saída e a resposta ao impulso de um sistema invariante no tempo linear, respectivamente. Com as condições iniciais nulas, o sistema é considerado BIBO estável, ou simplesmente estável, se a sua saída y(t) é limitada a uma entrada u(t) limitada. A integral de convolução relacionando u(t), y(t) e g(t) é:

Considerando o valor absoluto de ambos os lados da equação, temos:

Ou

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Se a entrada é limitada, Mtu≤)( 5.4

Onde M é um número positivo finito. Então:

De modo que, se y(t) é limitada, ou ∞<≤Nty)( 5.6 onde N é um número positivo finito, a seguinte condição precisa ser garantida:

Ou, para algum Q positivo finito,

A condição dada pela equação anterior implica que a área sob a curva )(τg versus τ precisa ser limitada.

Condição de estabilidade Para a estabilidade BIBO, as raízes da equação característica, ou os pólos de G(s), não podem estar localizados no lado direito do plano-s ou sobre o eixo ωj, eles precisam estar localizados no lado esquerdo do plano-s. Um sistema é dito instável se é BIBO instável. Quando um sistema tem raízes sobre o eixo ωj, ou seja, s = 0ωj e s = 0ωj−, se a

ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES – Prof. Alessandro Mattedi – DEL/UFES 107 entrada é uma senóide, tsen0 ω, a saída será da forma de ttsen0 ω, que é ilimitada, e o sistema é instável.

5.3 ESTABILIDADE ASSINTÓTICA E ESTABILIDADE DE ENTRADA ZERO DE SISTEMAS CONTÍNUOS

Se a resposta de entrada zero y(t), sujeita as condições iniciais finitas, alcança zero à medida que o t tende ao infinito, o sistema é dito estável de entrada zero, ou estável; caso contrário é instável.

Condições para estabilidade de entrada zero:

0tt para)(≥∀∞<≤Mty 5.16

Devido à condição 2, a estabilidade de entrada zero é também conhecida com estabilidade assintótica.

5.4 MÉTODOS PARA DETERMINAR A ESTABILIDADE

Vimos que a estabilidade para sistemas monovariáveis lineares invariantes no tempo pode ser determinada pela localização dos pólos da equação característica do sistema; ou seja, esses pólos precisam localizar-se no lado esquerdo plano-s complexo, caso o sistema seja estável. Assim, por motivos práticos, não existe a necessidade de calcular a resposta do sistema completa para se determinar a estabilidade. Quando os parâmetros do sistema são todos conhecidos, as raízes da equação característica podem ser determinadas por um software computacional. No caso do Matlab®, existe a função roots(P) que determina as raízes de uma equação polinomial P, a função eig(A) que determina os auto-valores de uma matriz A.

ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES – Prof. Alessandro Mattedi – DEL/UFES 108 σ ωj

Figura 5.1. Regiões do Plano-s de estabilidade e instabilidade

Entretanto, para propósitos de projeto, haverá parâmetros variáveis e desconhecidos embutidos na equação característica, e isto não possibilitará a utilização de programas de cálculo de raízes ou autovalores. Dessa forma, a seguir são apresentados alguns dos métodos bem conhecidos para a determinação de estabilidade de sistema contínuos lineares, sem a necessidade de cálculo das raízes.

lado direito do plano complexo s

i) critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Este critério é um método algébrico que prover a informação da estabilidade absoluta de um sistema invariante no tempo linear que tem uma equação característica com coeficientes reais e constantes. O critério nos informa se existe alguma raiz no i) Critério de estabilidade de Nyquist. Este critério é um método semi-gráfico que analisa a estabilidade a partir da observação da curva de Nyquist da função de transferência de malha aberta. i) Diagrama de Bode. O diagrama é um gráfico do módulo da função de transferência de malha aberta G(ωj)H(ωj) em dB e a fase de G(ωj)H(ωj) em graus, todas versus ω. A estabilidade

ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES – Prof. Alessandro Mattedi – DEL/UFES 109 do sistema em malha fechada pode ser determinada pela observação do comportamento dessas curvas.

Os dois últimos métodos serão vistos no curso de Controle Automático I. A seguir é apresentado o Critério de Routh-Hurwitz.

5.5 CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ

O critério de Routh-Hurwitz representa um método de determinar a localização de zeros de um polinômio com coeficientes reais e constantes com relação ao lado esquerdo e direito do plano-s, sem a necessidade de determinação dos zeros. Visto que existem funções computacionais que determinam os zeros de um polinômio, o Critério de Routh-Hurwitz é mais adequado para polinômios que apresentam pelo menos um parâmetro desconhecido.

5.5.2 Tabulação de Routh Consiste em arranjar primeiramente os coeficientes do polinômio em duas linhas. A primeira linha consiste do primeiro, terceiro, quinto, ..., coeficientes, e a segunda linha consiste do segundo, quarto, sexto, ..., coeficientes, contados do grau maior para o menor, conforme tabulação a seguir:

O passo seguinte é formar uma matriz de números por operações indicadas conforme exemplificado para a equação 5.27 de sexta ordem a seguir:

ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES – Prof. Alessandro Mattedi – DEL/UFES 110 0123456=++++++asasasasasasa 5.27

4s A

3s C aA 0

2s E

AC 0

1s F

A matriz acima é chamada de Tabulação de Routh ou Matriz de Routh. A coluna de s possibilita melhor identificação para construção da tabela. Os cálculos dos termos subseqüentes ocorrem conforme as equações dos termos da tabela. Uma vez realizados os cálculos dos termos da Tabela de Routh, o último passo consiste em investigar os sinais dos coeficientes na primeira coluna da tabela, que contém informações sobre as raízes da equação. As raízes da equação estarão todas do lado esquerdo se todos os elementos da primeira coluna da Tabela de Routh apresentarem o mesmo sinal. O número de mudanças de sinais nos elementos da primeira coluna é igual ao número de raízes com partes reais positivas.

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