Algebra Linear - Capitulo2 - Sistemas de Equações Lineares

Algebra Linear - Capitulo2 - Sistemas de Equações Lineares

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Definição

Os números reais naaa,...,,21 são denominados coeficientes das variáveis nxxx,...,,21, respectivamente, e b é denominado de termo independente.

lineares com 1≥n variáveis, e é representado por:

Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de 1≥m equações mnmnmm n n

bxa...xaxa bxa...xaxa bxa...xaxa

Matrizes Associadas a um Sistema Linear Sistemas podem ser representados na forma matricial:

n n b b x x

C X B
Independentes

Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos

Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial BXC=⋅.

Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema.

mmnmm n n b ... b b

Classificação de Sistemas Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução.

Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais ),...,,(21nsss que

por 2s,e nx por ns em cada uma das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto

satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável 1x pelo valor 1s, 2x solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções.

Exemplo: Dado o sistema

De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares sobre R pode ser classificado como:

• Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) • Determinado (SPD): há uma única solução

• Indeterminado (SPI): há infinitas soluções

• Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há solução.

Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana

resolução utilizado será o Método de Eliminação Gaussiana

Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução, isto é resolvê-lo. O método de A idéia do método é obter um sistema mais “simples” equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de equações lineares são denominados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução.

Exemplo: Os sistemas yx são equivalentes pois ambos possuem o mesmo

O Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema linear com m equações e n variáveis: 1. Obter a matriz ampliada.

2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares.

3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo: Teorema: Um sistema linear de m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto

da matriz ampliada escalonada )(AP for igual ao posto da matriz de coeficientes )(CP

a) Se nPPCA==, o sistema é Possível Determinado (SPD). b) Se nPPCA<=, o sistema é Possível Indeterminado (SPI). c) Se CAPP≠, o sistema é Impossível (SI).

4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao sistema dado, e: a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por substituição, determinar as demais variáveis. Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma n-upla.

b) Se o sistema for SPI, escolher APn− variáveis livres ou independentes. O número, APn− também é denominado o grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema.

livres
c) Se o sistema for SI, indicar ∅=S

As variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas variáveis amarradas ou ligadas. Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas da n-upla em função das variáveis

Exemplo: Seja o sistema

com 3 equações e 3 incógnitas

zyx zyx zyx

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Análise: 3===nPPCA. Logo, o sistema é possível determinado (SPD).

O sistema equivalente é z zy zyx

Geometricamente tem-se o plano R2, descrito por dois eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0(, denominado origem.

Exemplos:

Aplicando o Método de Eliminação Gaussiana:

1101

Matriz de coeficientes Análise, 2===nPPCA: Sistema Possível Determinado (SPD).

Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto )5,4(−.

y, isto é, 2−=yx
solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas

Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma

Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro:

Retas Classificação do Sistema

Concorrentes Possível e Determinado Coincidentes Possível e Indeterminado Paralelas Impossível

Exemplos:

1) Considere o sistema zy zy zyx

Análise, 3===nPPCA: Sistema Possível Determinado (SPD) .

Sistema equivalente z zy zyx

2) Dado o sistema zx zy zyx

Sistema equivalente z zy zyx

Pela terceira equação, a variável z está livre, assim a variável y fica em função de z, isto é, zy22−=. A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições, tem-se que

Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma reta.

3) Seja o sistema zyx zyx zyx

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