Livro Mecanica dos Solidos AA

Livro Mecanica dos Solidos AA

(Parte 1 de 8)

Álvaro Azevedo 1996

A matéria leccionada na disciplina de Mecânica dos Sólidos tem-se mantido praticamente inalterada nos últimos anos. Esta estabilidade deve-se ao facto de se tratar de uma matéria nuclear do curso de Engenharia Civil e também por constituir uma introdução clássica ao estudo do comportamento das estruturas. Os três capítulos fundamentais são os relativos aos estados de tensão e de deformação, complementados com o estudo das relações entre tensões e deformações. Com o objectivo de facilitar a exposição destas matérias, é efectuada uma breve introdução ao cálculo tensorial, com especial ênfase na notação indicial e na mudança de referencial. Nesta publicação o ritmo de exposição é propositadamente lento e pormenorizado, de modo a facilitar a um aluno de Licenciatura a apreensão de todos os conceitos expostos, sem ter de recorrer à bibliografia clássica. Esta, por se destinar a leitores mais experientes, apresenta-se quase sempre demasiado compacta e resumida, requerendo uma capacidade de abstracção elevada, que não está ao alcance da generalidade dos alunos.

O índice desta publicação respeita a ordenação de assuntos que tem sido adoptada nos últimos anos pelos docentes da disciplina de Mecânica dos Sólidos da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Algumas das matérias aqui expostas baseiam-se nas lições do Prof. Correia de Araújo, que se encontram compiladas no livro “Elasticidade e Plasticidade” (ver a Bibliografia). Os apontamentos da disciplina de Física I da autoria do Prof. Pinho de Miranda, bem como alguns manuscritos dos Profs. Silva Matos e António Arede, constituíram também uma preciosa fonte de informação, que muito facilitou a preparação desta publicação. A todos os meus agradecimentos.

Álvaro Azevedo Dezembro de 1996

CAPÍTULO 1

1 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO TENSORIAL-------------------------------------1.1 1.1 - Notação indicial-------------------------------------------------------------------------1.1 1.2 - Definição de tensor---------------------------------------------------------------------1.2 1.3 - Transformação linear de coordenadas-----------------------------------------------1.3 1.4 - Ortogonalidade--------------------------------------------------------------------------1.7 1.5 - Significado dos elementos da matriz de transformação---------------------------1.8 1.6 - Índices livres e índices mudos-------------------------------------------------------1.10 1.7 - Ortogonalidade em notação indicial------------------------------------------------1.12 1.8 - Tensor de ordem n---------------------------------------------------------------------1.13 1.9 - Lei de transformação em notação matricial----------------------------------------1.15 1.10 - Operações com tensores-------------------------------------------------------------1.15 1.10.1 - Adição -------------------------------------------------------------------------------1.16 1.10.2 - Produto ------------------------------------------------------------------------------1.17 1.10.3 - Contracção--------------------------------------------------------------------------1.17 1.10.4 - Produto contraído------------------------------------------------------------------1.18 1.10.5 - Derivação ---------------------------------------------------------------------------1.19 1.1 - Tensores notáveis --------------------------------------------------------------------1.19 1.1.1 - Delta de Kronecker----------------------------------------------------------------1.19 1.1.2 - Tensor alternante-------------------------------------------------------------------1.20 1.12 - Operadores tensoriais----------------------------------------------------------------1.21 1.12.1 - Gradiente----------------------------------------------------------------------------1.2 1.12.2 - Divergência -------------------------------------------------------------------------1.2 1.12.3 - Rotacional---------------------------------------------------------------------------1.23 1.13 - Simetria e antissimetria tensorial--------------------------------------------------1.23

CAPÍTULO 2

2 - ESTADO DE TENSÃO-----------------------------------------------------------------2.1 2.1 - Caso geral tridimensional-------------------------------------------------------------2.1 2.1.1 - Considerações gerais-----------------------------------------------------------------2.1 2.1.2 - Estado de tensão num ponto--------------------------------------------------------2.4 2.1.3 - Tensor das tensões-------------------------------------------------------------------2.5

2.1.4 - Equações de equilíbrio definido----------------------------------------------------2.7 2.1.5 - Equações de equilíbrio indefinido------------------------------------------------2.10 2.1.6 - Mudança de referencial-------------------------------------------------------------2.16 2.1.7 - Tensões principais e invariantes do tensor das tensões------------------------2.17 2.1.8 - Tensões tangenciais máximas e mínimas----------------------------------------2.25 2.1.9 - Circunferências de Mohr-----------------------------------------------------------2.32 2.1.10 - Tensões octaédricas ---------------------------------------------------------------2.37 2.1.1 - Tensor hidrostático e tensor de desvio------------------------------------------2.39 2.2 - Estado plano de tensão----------------------------------------------------------------2.40 2.2.1 - Formulação---------------------------------------------------------------------------2.41 2.2.2 - Circunferência de Mohr------------------------------------------------------------2.46 2.2.3 - Facetas conjugadas------------------------------------------------------------------2.53

CAPÍTULO 3

3 - ESTADO DE DEFORMAÇÃO--------------------------------------------------------3.1 3.1 - Deformação homogénea---------------------------------------------------------------3.1 3.2 - Sobreposição de deformações homogéneas-----------------------------------------3.8 3.3 - Decomposição de deformações homogéneas---------------------------------------3.9 3.3.1 - Rotação -------------------------------------------------------------------------------3.10 3.3.2 - Deformação pura --------------------------------------------------------------------3.13 3.4 - Deformação volumétrica -------------------------------------------------------------3.17 3.5 - Deformação em torno de um ponto-------------------------------------------------3.19 3.6 - Tensor das deformações - mudança de referencial-------------------------------3.24 3.7 - Extensões principais e direcções principais de deformação---------------------3.26 3.8 - Tensor do desvio das deformações--------------------------------------------------3.30 3.9 - Equações de compatibilidade--------------------------------------------------------3.31 3.10 - Estado plano de deformação--------------------------------------------------------3.35 3.1 - Circunferência de Mohr-------------------------------------------------------------3.40

CAPÍTULO 4

4 - RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES-----------------------------4.1 4.1 - Lei de Hooke generalizada------------------------------------------------------------4.1 4.2 - Casos de simetria elástica-------------------------------------------------------------4.3 4.2.1 - Simetria elástica relativamente a um plano---------------------------------------4.4

4.2.2 - Simetria elástica relativamente a dois planos ortogonais-----------------------4.7 4.3 - Isotropia----------------------------------------------------------------------------------4.8 4.3.1 - Relação inversa ----------------------------------------------------------------------4.12 4.3.2 - Valor máximo do coeficiente de Poisson----------------------------------------4.17 4.3.3 - Casos particulares -------------------------------------------------------------------4.18 4.3.3.1 - Estado plano de tensão-----------------------------------------------------------4.19 4.3.3.2 - Estado plano de deformação-----------------------------------------------------4.20

A~ - matriz de transformação de coordenadas entre dois referenciais (transfor- mação directa) aij - elemento da matriz A~

B~ - matriz de transformação de coordenadas entre dois referenciais (transfor- mação inversa)

C - corpo C - centro da circunferência de Mohr cijkl - elemento do tensor de 4ª ordem correspondente à lei de Hooke generalizada c~ - matriz 66× correspondente à lei de Hooke generalizada cij - elementos da matriz 66× correspondente à lei de Hooke generalizada dij - elemento do tensor das deformações

′dij - elemento do tensor do desvio das deformações d~ - vector com as 6 componentes independentes do tensor das deforma- ções (Cap. 4) di - componentes do vector d~ (Cap. 4) d0 - extensão média dS - elemento infinitesimal de superfície dV - elemento infinitesimal de volume E - módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young

$ei - versor correspondente ao eixo xi ei0 - tensor de 1ª ordem que caracteriza uma deformação homogénea (translação) eij - tensor de 2ª ordem que caracteriza uma deformação homogénea ()=∂∂uxij

F - força genérica

fi - componente do vector r F segundo xi fm - forças mássicas ou de volume r fS - forças de superfície

G - módulo de elasticidade transversal ou módulo de distorção

I~ - matriz identidade

I1 - 1º invariante do tensor das tensões ou das deformações I2 - 2º invariante do tensor das tensões ou das deformações I3 - 3º invariante do tensor das tensões ou das deformações ID - circunferência de Mohr: polo irradiante das direcções

IF - circunferência de Mohr: polo irradiante das facetas L - comprimento genérico

L - Lagrangeano

mi - componente do vector r M segundo xi

$n - versor de uma direcção arbitrária com componentes ()nnn123,, $n - versor normal a um elemento de superfície ni - componente do versor $n segundo xi $nI - versor da 1ª direcção principal de tensão ou de deformação

$nII - versor da 2ª direcção principal de tensão ou de deformação

$nIII - versor da 3ª direcção principal de tensão ou de deformação

$noct - versor normal a uma faceta octaédrica O - origem do referencial

P - ponto genérico de coordenadas ()xxx123,, rp - vector posição do ponto P

R - raio da circunferência de Mohr

S - superfície

()r tn$ - tensão num ponto para uma faceta de normal $n

()r te$ - tensão num ponto para uma faceta de normal $ei t - grandeza do vector r t toct - grandeza do vector tensão numa faceta octaédrica

ui - componente do vector ru segundo xi ruT - componente de translação do vector deslocamento ruR - componente de rotação do vector deslocamento ruD - componente de deformação do vector deslocamento V - volume w~ - tensor rotação wij - elemento do tensor rotação rw - vector rotação com componentes ()www123,, wi - componente do vector rw segundo xi w - ângulo de rotação ()=rw

X - ponto genérico de coordenadas ()xxx123,, rx - vector posição do ponto X xi - eixo do referencial xi - coordenada de um ponto segundo o eixo xi α - ângulo entre duas direcções αI - estado plano de tensão ou deformação: ângulo que define a 1ª direcção principal αI - estado plano de tensão ou deformação: ângulo que define a 2ª direcção principal

∆ - deslocamento genérico

∆S - elemento de superfície δij - delta de Kronecker ou símbolo de Kronecker εijk - tensor alternante εi - extensão segundo o eixo xi (e.g., ε3=d) εI - 1ª extensão principal εI - 2ª extensão principal εI - 3ª extensão principal εx - estado plano de deformação: extensão segundo x εy - estado plano de deformação: extensão segundo y ε - estado plano de deformação: extensão na direcção α ϕ - valor próprio de um tensor de 2ª ordem γij - ângulo entre os eixos $'ei e $ej (Cap. 1) γij - distorção entre os eixos xi e xj (γijijdij=≠2,com) γxy - estado plano de deformação: distorção entre as direcções x e y γ - estado plano de deformação: distorção entre as direcções α e α+°90 λ - multiplicador de Lagrange λ - uma das constantes de Lamé (a outra é o módulo de distorção G) ν - coeficiente de Poisson π - plano rσ - vector correspondente à componente normal da tensão σi - componente normal da tensão na faceta perpendicular ao eixo xi (e.g., στ3=) σ - grandeza da componente normal da tensão σI - 1ª tensão principal σI - 2ª tensão principal σI - 3ª tensão principal ′σI - 1ª tensão principal do tensor do desvio das tensões

′σI - 2ª tensão principal do tensor do desvio das tensões

′σI - 3ª tensão principal do tensor do desvio das tensões σ - tensão normal média σoct - tensão normal numa faceta octaédrica σx - estado plano de tensão: tensão normal numa faceta perpendicular ao eixo x σy - estado plano de tensão: tensão normal numa faceta perpendicular ao eixo y θ - ângulo entre duas direcções

τij - elemento do tensor das tensões τ~

′τij - elemento do tensor do desvio das tensões τ~H - tensor hidrostático ou isotrópico rτ - vector correspondente à componente tangencial da tensão τ - grandeza da componente tangencial da tensão τoct - tensão tangencial numa faceta octaédrica τ~ - vector com as 6 componentes independentes do tensor das tensões (Cap. 4) τi - componentes do vector τ~ (Cap. 4) τxy - estado plano de tensão: tensão tangencial numa faceta perpendicular ao eixo x ∇ - operador gradiente ()∂∂∂∂∂∂xxx123,,, também designado nabla

FEUP - Mecânica dos Sólidos - 1996 Álvaro Azevedo 1.1

1 - INTRODUÇÃO AO CÁLCULO TENSORIAL

Neste capítulo são apresentadas algumas noções sobre o cálculo tensorial, de modo a facilitar mais adiante a dedução de algumas expressões fundamentais da Mecânica dos Sólidos.

1.1 - Notação indicial

A principal vantagem da utilização da notação indicial é a de permitir a dedução de expressões complexas utilizando uma notação compacta. Considere-se a seguinte equação que relaciona as grandezas vectoriais ra, r b e vc.

cab=+(1.1)

r r Uma vez que

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