Baixe Tac - ambiente virtual de aprendizado de cálculo de limites e outras Trabalhos em PDF para Análise de Sistemas de Engenharia, somente na Docsity! SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ – IFPA CURSO DE TECNOLOGIA EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SITEMAS AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZADO DE CÁLCULO DE LIMITES LUIZ VICTOR ALMEIDA DE ARAUJO VITOR DIAS DO VALE BELÉM 2010 1 INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ – IFPA CURSO DE TECNOLOGIA EM ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZADO DE CÁLCULO DE LIMITES LUIZ VICTOR ALMEIDA DE ARAUJO VITOR DIAS DO VALE Trabalho de Acadêmico de Conclusão, direcionado ao Curso de Graduação em Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, tendo como orientador o Prof. Marcio Góes. BELÉM-PARÁ 2010 4 DEDICATÓRIA Dedico esta obra a Deus, pela força, bondade e sabedoria. Em especial meu pai Jornalista Luiz Araújo que na dor de um desatino jamais deixou de acreditar na justiça de Deus, me dando muito orgulho e admiração nesta etapa de sua nova vida. Te Amo! Luiz Victor Almeida de Araujo Dedico esta obra, primeiramente, aos meus pais Vitor e Vilma, por todo empenho e apoio incondicional para que eu pudesse chegar onde estou. A toda minha família e amigos, que estiveram comigo em todos os momentos. Vitor Dias do Vale 5 “A educação se torna um ato de depositar em que os educandos são os depositários e o educador o depositante. Em lugar de comunicar-se, o educador faz “comunicados” e depósitos que os educandos, meras incidências, recebem pacientemente, memorizam e repetem. Eis a concepção “bancária” da educação, em que a única margem de ação que se oferece aos educandos é a de receberem os depósitos, guardá-los e arquivá-los.” Paulo Freire 6 Resumo O direcionamento deste Trabalho Acadêmico de Conclusão é a criação de um ambiente virtual educacional via web, que auxilie na didática do professor e atenda as necessidades de aprendizagem do educando, visto que as aulas da disciplina de cálculo ainda se encontram de maneira repetitiva e tradicional, necessitando de algumas mudanças tecnológicas e metodológicas que facilite o aprendizado e a compreensão do educando na busca do conhecimento em relação às noções de limites, derivada e integral. Desse modo, este campo de estudo busca oferecer um ambiente virtual de fácil acesso, que proporcione resultados com exemplos qualitativos, dinâmicos e representativos. Assim, este artigo abordará os assuntos relacionados à temática de cálculo, fazendo uma contextualização histórica dos conteúdos que darão um suporte bibliográfico, dos assuntos trabalhados no ambiente virtual. 9 Sumário INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 10 METODOLOGIA .................................................................................................................. 12 CAPÍTULO I – PROJETO DE PESQUISA ......................................................................... 13 1.1-TEMA DA PESQUISA ................................................................................................... 13 1.1.1-Delimitação do Tema .................................................................................................. 13 1.2-COLOCAÇÃO / DEFINIÇÃO DE PROBLEMA. .............................................................. 13 1.3-JUSTIFICATIVA............................................................................................................. 14 1.4-OBJETIVOS DA PESQUISA ......................................................................................... 15 1.4.1-Objetivo Geral ............................................................................................................. 15 1.4.2-Objetivos Específicos.................................................................................................. 15 1.5-FORMULAÇÕES DE HIPÓTESES / QUESTÕES NORTEADORAS ............................ 16 1.6-PRESSUPOSTOS TEÓRICOS ...................................................................................... 16 1.7-METODOLOGIA ............................................................................................................ 18 1.7.1-Parte Teórica / Bibliográfica ........................................................................................ 18 1.7.2- Parte Prática ............................................................................................................. 18 1.8- CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 19 CAPITULO II – CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA ......................................................... 20 2.1-HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O NASCIMENTO DO CÁLCULO ................................ 20 2.2- UMA BREVE PASSAGEM PELA HISTÓRIA DO CÁLCULO INTEGRAL ..................... 23 2.3-NOÇÕES DE LIMITES – DERIVADA E INTEGRAL ...................................................... 24 2.4-CÁLCULO INFINITESIMAIS .......................................................................................... 31 2.5-CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................... 31 CAPITULO III – A INFORMÁTICA COMO FERRAMENTA DIDÁTICA E METODOLÓGICA ............................................................................................................................................ 33 3.1-A INFORMÁTICA EDUCATIVA NO PROCESSO DE SOFTWARE EDUCACIONAL ..... 33 3.2-PROCESSO EDUCATIVO E AS FERRAMENTAS PEDAGÓGICAS E TECNOLÓGICAS ................................................ 37 3.3-O AMBIENTE INFORMATIZADO NO CONHECIMENTO DA MATEMÁTICA (CÁLCULO) .......................................................................................... 42 3.4-ALGUNS SOFTWARES UTILIZADOS ATUALMENTE .................................................. 45 3.5-CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................... 52 CAPÍTULO IV – SOFTWARE EDUCACIONAL / AVACL ................................................ 53 4.1-METODOLOGIA DE ENSINO ........................................................................................ 54 4.2-IMPLEMENTAÇÃO DO SOFTWARE AVACL ................................................................ 55 4.2.1-Tecnologias ................................................................................................................ 55 4.2.2-IDE ............................................................................................................................. 56 4.3-METODOLOGIA DE DESENVOLVIMENTO DO SOFTWARE ....................................... 57 4.3.1-Elementos do Scrum................................................................................................... 57 4.4-ESTRUTURAÇÃO DO CONTEÚDO .............................................................................. 58 4.4.1- Atribuição de Cada Módulo ....................................................................................... 58 4.5-ESTRUTURAÇÃO DO AVACL ...................................................................................... 60 4.5.1-Página Inicial ............................................................................................................. 60 4.5.2-Página se Apresentação ............................................................................................. 61 4.5.3-Página do Módulo I ..................................................................................................... 62 4.5.4- Página do Módulo II .................................................................................................. 63 4.5.5- Página do Módulo III ................................................................................................. 64 4.5.6- Página do Módulo IV ................................................................................................. 66 4.5.7- Página do Módulo V .................................................................................................. 66 4.5.8- Página do Módulo VI ................................................................................................. 67 4.6-CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................... 68 CONCLUSÃO...................................................................................................................... 69 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO ..................................................................................... 71 10 AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZADO DE CALCULO DE LIMITES Luiz Victor Almeida de Araujo1 Vitor Dias do Vale2 INTRODUÇÃO Conforme Thomas, (2002), a princípio, o Cálculo foi inventado para atender às necessidades matemáticas, a maioria mecânica, dos cientistas dos séculos XVI e XVII. O Cálculo Diferencial tratou o problema de calcular taxas de variação, permitindo a definição dos coeficientes angulares das curvas, da velocidade e da aceleração de corpos em movimento e determinação dos ângulos a que seus canhões deveriam ser disparados para obter o maior alcance, além de prever quando os planetas estariam mais próximos ou mais distantes entre si. O autor, ainda ressalta que o Cálculo Integral trabalhou com o enigma de determinar uma função a partir de informações a respeito de sua taxa de variação, possibilitando o cálculo da posição futura de um corpo a partir de sua posição atual, conhecendo-se as forças atuantes sobre ele, a determinação das áreas de regiões irregulares no plano, do volume e da massa de sólidos arbitrários e a medição do comprimento de curvas. Ou seja, os estudos de Cálculo sempre estiveram ligados às tecnologias de cada época, não sendo diferente na atualidade. Os conceitos de Calculo Integral e Diferencial nos estudos de limites na maioria das vezes vêm sendo trabalhado de forma tradicional, com aulas expositivas, em que o educador apresenta as definições, propriedades e exemplos. E os educandos apenas resolvem listas de exercícios de forma mecânica, de maneira que não sentem qual a importância significativa tem a matéria relacionada à sua vida, não há uma troca concreta de significados. Muitos estudos sobre as dificuldades no ensino e na aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral, como relatado em Cury, (2005), Nascimento, (2002), Barbosa, (2004), apontam para 1 Aluno Concluinte do Curso de Graduação em Tecnologia em Análise de Desenvolvimento de Sistemas sobe a Orientação do Prof. Marcio Góes / IFPA, 2010. 2 Aluno Concluinte do Curso de Graduação em Tecnologia em Análise de Desenvolvimento de Sistemas sobe a Orientação do Prof. Marcio Góes / IFPA, 2010. 11 problemas que evoluem, como em uma bola de neve, pois vêm se acumulando no decorrer de todo o ensino básico, culminando no ensino superior. Estes problemas, conforme os estudiosos citados, resultam da forma como os conteúdos de matemática são estudados nos ensinos fundamental e médio, com muitos “macetes” e fórmulas decoradas, sem a compreensão dos conceitos básicos. No ensino superior das Ciências Exatas, em especial na Educação Tecnológica, se encontra um paradigma de educação baseado no modelo tradicional, no qual a metodologia utilizada é, em boa parte, apenas expositiva e dialogada. Desta maneira, perpetua-se o desenvolvimento nos estudantes das mesmas habilidades de memorização e reprodução da educação básica. Os alunos, por sua vez, possuem maus hábitos de estudos e, costumeiramente, não buscam sua autonomia quanto à aprendizagem, permanecendo dependentes do professor ou outros sujeitos. Logo, as falhas no processo de ensino e aprendizagem, podem ser oriundas da metodologia adotada pelo professor, da postura do aluno, de algum fator da instituição de ensino superior ou de alguma combinação das três. Neste sentido, quando chega ao final das avaliações, é como se as obrigações contratuais direcionados as disciplinas já tivessem sido compridas, mas sem relevâncias de significados. Ocasionando muitas vezes no fracasso educacional, com inúmeras desistências e repetências. Sinalizando dessa forma uma problemática com o ensino e aprendizado. Na tentativa de diagnosticar tais problemas, novas práticas metodológicas vêm sendo aplicadas, como por exemplo, o uso do computador, é dentro desta perspectiva que se insere a existência dos softwares educacionais, que vem auxiliar a metodologia e didática do professor, além de dar definições e conceitos significativos aos alunos. No entanto os que existem não possuem um mecanismo de animação que mostre diretamente a resolução das funções, interagindo diretamente com o educando dando um conceito real. Diante disto, na tentativa de amenizar esses problemas ou superá-los, propõe-se a realização de novos métodos de aprendizagem, ou seja, a criação de um ambiente virtual que se diferencie dos existentes no mercado tecnológico. Ou seja, um software que auxilie o professor e o educando no ensino aprendizado com respostas significativas, no qual a animação gráfica exemplifique os conceitos práticos do conteúdo de cálculo, em específico a matéria de limites constante na grade da disciplina Cálculo. 14 simbólicas. Por parte dos alunos Silva Neto afirma que os inúmeros conceitos para a definição do assunto também é motivo de queixa entre os discentes, mas também aponta a bibliografia como outro grande problema, onde em certos casos, um mesmo livro pode chegar a possuir dois conceitos diferentes para definir um único assunto e na maioria das vezes os livros também apresentam o conteúdo de forma muito direta e sem ligação alguma com aplicações reais. Para Foster (2007) um dos principais motivos da existência desses problemas é o fato de que o ensino dessa disciplina ainda é feito da maneira tradicional, pois, principalmente nos cursos ditos presenciais, o aluno conta apenas com materiais que possuem somente teorias e exercícios clássicos o faz com que, na maioria das vezes, o aluno tenha um contato superficial com o assunto, problema que ainda é agrava pela questão do pouco tempo disponibilizado tanto para aluno quanto para professor. Outro grande problema constatado na prática de ensino tradicional vigente é o fato de ele ser excessivamente baseado na memorização e repetição, que prioriza a técnica em detrimento à compreensão (NUNES, 2007) Muitos têm sugerido soluções para resolver essas questões, como metodologias que elevem a motivação do aluno pela matemática, introdução da historia da matemática como forma de expor a importância do que está sendo aprendido, mas dentre todas as propostas, a informática é a que surge como grande promessa, até por que ela pode servir de base para o desenvolvimento das outras. Mas será possível desenvolver um sistema capaz de atender a todos, ou pelo menos, os mais urgentes anseios dos personagens envolvidos no processo de ensino aprendizado do assunto de Limites? O presente trabalho se propõe a trazer uma proposta para responder essa questão. 1.3. Justificativa Nota-se uma grande necessidade de se obter uma ferramenta que possibilite uma elevação considerável do aproveitamento estudantil na área da matemática, mais especificamente em Limites, e diante dessa necessidade, almeja-se o desenvolvimento de um ambiente virtual disponibilizado via web, que possa agregar metodologias e técnicas que possibilitem ao aluno melhores condições de ensino do que as que têm sido oferecidas em salas de aula que limitam o potencial didático do professor. De uma forma mais sintética pretende-se utilizar todo o potencial 15 de abstração possível no mundo virtual, para suprir as condições necessárias ao processo e aprendizado. Enxerga-se também a necessidade de uma maneira de aumentar a assiduidade dos alunos em buscar mais conhecimento a cerca do que esta sendo aprendido e um ambiente virtual via internet pode vir a ser um grande aliado na busca de solucionar essa questão, em virtude do grande potencial atrativo que a internet tem exercido sobre os jovens da atualidade. Pois uma infinidade de informações estará ao seu alcance, por meio da web, no momento em que ele estiver em contato com o assunto e surgir um interesse por outro assunto periférico, diferente do ambiente tradicional da sala de aula. 1.4. OBJETIVOS DA PESQUISA 1.4.1 Objetivo Geral Implementar um ambiente virtual de aprendizado de Limites que atenda as necessidades mínimas de uma fermenta do tipo. Para isso é importante ter sempre em mente que novas tecnologias devem ser introduzidas na educação somente quando puderem realmente melhorar o processo de ensino-aprendizado, não só quanto a forma como o conhecimento é desenvolvido, mas também quanto a manipulação da nova tecnologia. Pois de nada irá adiantar uma ferramenta exponha o conteúdo de forma proveitosa ao aluno se para chegar a esse conteúdo, o aluno precisasse de um complexo processo para aprender a manipulá-la. Dentro de um cenário como esse, o aluno certamente deixaria a ferramenta cair em desuso devido à desmotivação gerada pela dificuldade. Dessa maneira o objetivo geral, que norteará o desenvolvimento do ambiente a ser proposto, será a fácil manipulação e entendimento tanto dos recursos da ferramenta quanto o fácil entendimento do conteúdo exposto por ela. 1.4.2 Objetivos Específicos Realizar levantamento bibliográfico sobre os temas correlatos; Mapear os problemas que os educadores e alunos enfrentam no ensino de Limites; Levantar soluções já propostas para solucionar os problemas encontrados; Adaptar (se for o caso) da(s) solução(ões) selecionadas para a aplicação em um ambiente virtual disponibilizado via web; 16 Propor um modelo de ambiente virtual para o ensino de Limites baseados nas soluções pré-selecionadas; Demonstrar uma visão panorâmica do funcionamento do ambiente. 1.5. Formulações de Hipóteses / Questões Norteadoras Quais são os atributos que um ambiente virtual de ensino de Limites de essencialmente apresentar? 1.6. Pressupostos Teóricos Nunes (2007) afirma que é necessária uma busca por gerar motivações intrínsecas no aluno que gerem nele uma necessidade de realizar uma determinada tarefa, e embora não seja possível fazer com que alguém tenha motivação intrínseca, pois ela é idiossincrática, a adoção de metodologias capazes de provocar uma motivação por necessidade é algo perfeitamente possível e muito mais eficiente do que metodologias que se reduzem a um nível muito elementar no qual o aluno aprende por obrigação. Quanto ao problema da justificação do que será aprendido, Nunes aponta solução, a utilização de organizadores prévios no processo de ensino de qualquer assunto matemático. Os organizadores prévios funcionam como ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que será aprendido. Em pesquisa desenvolvida por Nunes, a História da Matemática se mostrou como um excelente organizador prévio, pois ela expõe as necessidades pela qual tal conhecimento matemático foi construído, fazendo com que o discente compreenda a real necessidade de se aprender determinado assunto. Com relação às atividades introdutórias supracitadas, Silva Neto (2006) constatou, através do depoimento de um professor de economia, que elas são importantes, porém situações contextualizadas ainda não são tão enfatizadas quanto deveriam, ou seja, o Cálculo não deveria ser ensinado como uma matéria genérica, mas sim especificado e adaptada para cada curso no qual a disciplina for ministrada. Como solução ao problema de passagem de uma representação para outra, apresentado por alunos de engenharia, Foster (2007) ressalta a necessidade de se expor nitidamente a distinção 19 estabelecido, que o desenvolvimento de um ambiente virtual que possibilite a transmissão dos conhecimentos referentes ao conteúdo do assunto de limite, em face dos grandes problemas apontados na vigente pratica de ensino de parte das instituições públicas de ensino superior. Sendo assim, esse primeiro capitulo configura como uma síntese de todo o Trabalho, sendo de vital importância para o entendimento do conteúdo que vem a seguir, pois cada um dos próximos capítulos representam o desdobramento de fragmentos deste. Como o capitulo seguinte que representa a revisão bibliográfica referente ao conteúdo da disciplina Cálculo. 20 CAPÍTULO II - CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA Este capítulo apresenta um estudo relacionado à história da matemática, evidenciando a origem dos cálculos e seus estudiosos. Além de traçar conceitos e exemplos relacionados ao assunto de limites, derivada e integral, os quais darão suporte teórico na aplicação do software educacional proposto neste Trabalho Acadêmico de Conclusão. 2.1 - História da Matemática e o Nascimento do Cálculo. Conforme Boyer (1996), a matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A matemática foi usada pelos egípcios nas construções de pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química etc. Podemos dizer que em tudo que olhamos existe a matemática. Segundo Thomas (2002), o Cálculo foi inventado para atender às necessidades matemáticas dos cientistas dos séculos XVI e XVII. Para Guidorizzi (2001), o Cálculo Diferencial tratou o problema de calcular taxas de variação, permitindo a definição dos coeficientes angulares das curvas, da velocidade e da aceleração de corpos em movimento e determinação dos ângulos a que seus canhões deveriam ser disparados para obter o maior alcance, além de prever quando os planetas estariam mais próximos ou mais distantes entre si. O Cálculo Integral, conforme Guidorizzi (2001) trabalhou com o enigma de determinar uma função a partir de informações a respeito de sua taxa de variação, possibilitando o cálculo da posição futura de um corpo a partir de sua posição atual, conhecendo-se as forças atuantes sobre ele, a determinação das áreas de regiões irregulares no plano, do volume e da massa de sólidos arbitrários e a medição do comprimento de curvas. Ou seja, os estudos no Cálculo sempre estiveram ligados às tecnologias de cada época, não sendo diferente na atualidade. 21 As contribuições dos matemáticos para o nascimento do cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos de Cálculo para resolver vários problemas, como por exemplo, Cavalieri, Barrow, Fermat e Kepler. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada. Guidorizzi (2001), a união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais. Neste sentido,o Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou cálculo diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral. Conforme Boyer (1996) as origens de alguns dos principais conceitos matemáticos aqueles que lidam com números, grandezas e formas remontam às mais antigas civilizações. As tentativas feitas por egípcios, babilônios e gregos de resolver problemas práticos (Como reduzir as taxas cobradas aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a área alagada e tomada pelo rio a cada ano, Como calcular o volume de um silo de forma cônica, Como dobrar o volume do pedestal da estátua em homenagem ao deus Apolo) levou-os à resolução de algumas equações, ao cálculo de áreas e volumes de figuras simples como retângulos, trapézios, cones, cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numeração. Segundo Boyer (1996) o Cálculo é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitativamente, variações que ocorrem em fenômenos que abrigam um ou mais componentes de natureza essencialmente física. Quando do seu surgimento, no século XVII, o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos: Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta. Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido. Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade, como por exemplo, as distâncias máximas e mínimas de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil. 24 Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão. A questão mais importante, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número “pi”. O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de “pi” por aproximações sucessivas foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade. 2.3- Noções de Limites - Derivada e Integral. O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas. Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria um local onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Em outras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste ponto de vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Tal pensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa de uma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introdução da análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulação de infinitesimais. No século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem o valor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, mas utilizando números ordinários. 25 Deste ponto de vista, calculo é uma coleção de técnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função é encontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de serem colocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para o cálculo. O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido. Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis. Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto, para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva, obtendo deste modo, reta PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P. Estas idéias constituíram o embrião do conceito de “derivada”,levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. Só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da ciência. 26 Segundo Machado (1987), o cálculo diferencial, como foi dito anteriormente, é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada ou deslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado "diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual forma uma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é o deslocamento da função original. O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitos encontrados em álgebra. Em álgebra, os estudantes aprendem sobre funções em que o número de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função é inserido “3”, então a saída é “6”, enquanto se a função é quadrática, e é inserido “3”, então a saída é “9”. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Por exemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro de uma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática em qualquer ponto dado da função. Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f ' (f linha). (GUIDORIZZI ,2001, pg. 748). Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que a função é alterada.Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode ser escrita como y = m x + b. (GUIDORIZZI ,2001, pg. 748).. Assim, esta formulação da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta, então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo para encontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f(x) são duas notações diferentes para a mesma coisa: a saída da função). Uma linha entre dois pontos em uma curva é chamada de reta secante. (GUIDORIZZI ,2001, pg. 748).. A variação da reta secante pode ser expressa como: Figura Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por dois pontos (aqui a e b).Para aproximar a área, um método intuitivo seria entre a e b em um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo símbolo x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função Então a área do retângulo com a base velocidade h) viajada naquele segmento. Associado com cada segmento é o valor médio da função sobre ela, f(x)=h. A soma de todos os retângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é uma aproximação da distância total viajada. Um valor menor para retângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta exata nós precisamos fazer o limite em “x” O símbolo da integração é É lida como "a integral de 4 S significa "soma" 1 - Velocidade variando de acordo com o tempo “x” e altura h dá a distância (tempo tender a zero. (GUIDORIZZI ,2001, pg. 756 , um S4 alongado. A integral definida é escrita da forma: a até b de f de x em relação a x." 29 f(x), entre dividir em distâncias f(x). Chame o valor h. x, multiplicado pela “x” nos dará mais ) 30 A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma: Desde que a derivada da função y = x² + C5 é y ' = 2x , então: . O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração são operações inversas. Mais precisamente, o teorema conecta os valores de antiderivadas ao valor de integrais definidas. Por ser usualmente mais fácil computar uma antiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamental do cálculo provê uma forma prática de computar integrais definidas. Pode também ser interpretado como uma afirmação precisa do fato que a diferenciação é o inverso da integração.É afirmado pelo teorema fundamental do cálculo que: Se uma função f é contínua no intervalo [a, b] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo (a, b), então: Além disso, para cada x no intervalo (a, b) temos que: E, pode ser transcrito da seguinte forma, considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [a, b]. Se F é uma função tal que: para todo x em [a, b] 5 C é qualquer constante Então: E: Essa descoberta, realizada por trabalho anterior de Isaac Barrow, exerceu um papel chave na massiva proliferação de resultados analíticos que se seguiram após seus trabalhos ficarem conhecidos. O Teorema fundamental do cálculo provê um mét definidas sem executar processos limite simplesmente por encontrar fórmula para antiderivadas. 2.4- Cálculos Infinitesimais Ocorrendo que uma variável y seja função de outra variável x, se propõe a estudar em do momentos: Inicialmente descobre dependência, a seguir estuda-se as propriedades dessa função. Em oposição ao enfoque mais recente de Cauchy infinitésimos por desigualdades tipo epsilon corresponder muito melhor ao modo de pensar dos físicos e engenheiros. escritos matemáticos de Archimedes volumes e centros de gravidade, é retomado com enorme ímpeto o estudo dos métodos infinitesimais. De início, a preocupação é apenas a de continuar a tradição arquimediana. Mas logo o espírito renascentista se faz notar através de Galileu 1620. citados, procurou ir além dos gregos e não mais se limitar a estudar as grandezas de natureza geométrica da Astronomia, Óptica e Estática. Ele é a primeira grande inteligência a estudar quantitativamente área gregos clássicos: Cinemática, Dinâmica, Elasticidade, etc. O enorme prestígio de Galileu possibilitou Newton e Leibniz, que se basearam nos resultados de um Conforme odo algébrico de computar muitas integrais -se uma representação analítica y = f(x) expressando essa -Weierstrass e que substitui o uso dos -delta, por ser mais natural e intuitivo, alem de na Europa aplicando seus métodos na determinação de Segundo Boyer (1996), e 31 Boyer (1996). is Com a divulgação dos áreas, sse, ao contrário dos já s nunca abordadas pelos 34 optando pela construção de uma indústria própria que propiciasse condições de segurança e de desenvolvimento. Desta forma, o Governo deu origem à Comissão Coordenadora das Atividades de Processamento Eletrônico (CAPRE), à Empresa Digital Brasileira (DIGIBRÁS) e à própria Secretaria Especial de Informática (SEI), que por sua vez nasceu como um órgão executivo do Conselho de Segurança Nacional, para regulamentar, supervisionar e fomentar a transição tecnológica do setor. Com a criação da SEI, como órgão responsável pela coordenação e execução da Política Nacional de Informática, buscava-se uma capacitação científica e tecnológica capaz de promover uma autonomia nacional balizada por princípios e diretrizes fundados na realidade brasileira, a partir de atividades de pesquisas e da consolidação da indústria brasileira, no sentido de fomentar e estimular a informatização da nossa sociedade. Para tanto era preciso estender as aplicações da informática aos diversos setores e atividades da sociedade, como instrumento de dinamização e aperfeiçoamento na realização de projetos de transformação social para o alcance do bem-estar coletivo, bem como para a solução de problemas de diversas áreas como a de energia, saúde, educação, agricultura, transporte, dentre inúmeras outras. E dentro desta conjuntura, um dos setores capazes de garantir a construção de uma modernidade aceitável e própria era sem dúvida a educação, apesar de reconhecer o seu atraso e as dificuldades de aceitação do que é inovador e moderno que lhe acompanha ao longo de décadas. Por outro lado, caberia à educação articular o avanço científico e tecnológico com o patrimônio cultural da sociedade e promover as interações necessárias. Mediante a articulação da própria SEI, o Ministério da Educação colocou-se a par deste interesse, acreditando que o equacionamento adequado da relação informática e educação era uma condição importante para o sucesso do processo de informatização da sociedade brasileira e colocou- se à frente dele. Em 1982, o MEC assumiu compromissos de criação de instrumentos e mecanismos necessários, capazes de colaborar para o estudo e encaminhamento da questão, colocando-se à 35 disposição para a implementação de projetos que permitissem o desenvolvimento das primeiras investigações na área. Já naquela época, 1982, o próprio Plano Nacional de Desenvolvimento (II PND), 1975/1979, e o Plano Setorial de Educação e Cultura (III PSEC), 1980/1985, davam o devido respaldo ao interesse do Ministério, apontando o uso das tecnologias educacionais e dos sistemas de computação como possíveis instrumentos catalisadores de vantagens para a melhoria da qualidade da educação e que era importante manter-se em dia com os progressos na área mediante a atualização de conhecimentos técnico-científicos. De acordo com o documento Projeto EDUCOM, que resgata a história e consolida os diferentes fatos caracterizadores da cultura em informática educativa existente no país, os precursores responsáveis pelas primeiras investigações a respeito do uso de computadores na educação, em nosso país, encontram-se na UFRJ, UNICAMP e UFRGS. Na Universidade Federal do Rio de Janeiro, os registros apontam para o Departamento de Cálculo Científico, criado em 1966 e que deu origem ao Núcleo de Computação Eletrônica, como precursor da utilização do computador nas atividades acadêmicas, caracterizando a UFRJ como a primeira instituição a se envolver com o uso da informática na educação, ainda no final da década de sessenta. Nesta época o computador não era utilizado como tecnologia de ensino, mas como objeto de estudo e pesquisa, dando ensejo a uma disciplina voltada para o ensino de informática, objetivando a formação de recursos humanos, segundo Andrade (1992). A partir de 1973, o Núcleo de Tecnologia Educacional para a Saúde Centro Latino Americano de Tecnologia Educacional para a Saúde (NUTES/CLATES), da UFRJ, iniciava, no contexto acadêmico, a aplicação da informática como tecnologia educacional voltada para a avaliação formativa e somativa de alunos da disciplina de Química, além da utilização do recurso em simulação. Também em 1973, na Universidade do Rio Grande do Sul, surgiram as primeiras iniciativas suportadas por diferentes bases teóricas e distintas linhas de ação. Segundo o documento Projeto EDUCOM, anteriormente referenciado, o primeiro estudo utilizava como recurso instrumental 36 terminais de teletipo e display, num experimento simulado sobre conteúdos de Física para alunos do 3º grau. Destacava-se também o trabalho posteriormente realizado pelo Centro de Processamento de Dados (CPD), UFRGS, que desenvolveu o software SISCAI, testado em experiência de avaliação de alunos de pós-graduação em educação. Para Andrade (1992), estas e outras experiências foram realizadas até 1980 em computadores de grande porte, onde o computador era visto como recurso auxiliar do professor no ensino e na avaliação, enfocando a dimensão cognitiva e afetiva. Analisando assim, as atitudes e a ansiedade dos alunos em processos interativos com o computador. Em 1975, um grupo de pesquisadores da UNICAMP, coordenado pelo Professor Ubiratan D'Ambrósio, do Instituto de Matemática, Estática e Ciências da Computação, iniciou a escrita do documento Introdução a Computadores para ser usado nas escolas de 2º grau, financiado pelo MEC/BIRD, mediante convênio com o Programa de Reformulação e Melhoria do Ensino (PREMEN), atualmente extinto. Foi a partir das necessidades de mudanças em relação aos mecanismos que auxiliem ao processo de aprendizagem nas instituições de ensino e verificando as deficiências no “Saber - conhecimento”, que através do Programa de Desenvolvimento das Engenharias - PRODENGE, os Institutos Politécnicos propuseram projetos voltados para a reengenharia do ensino, bem como para a geração de uma rede cooperativa de pesquisas. Este Programa, apoiado pelo CNPQ, FINEP, entre outros órgãos governamentais de fomento à pesquisa e desenvolvimento de projetos da educação, procura a modernização das Escolas através da implantação e inovação das metodologias de ensino, assim como pela cooperação entre os profissionais da educação tecnológica, na geração de uma nova engenharia para o país. Várias Instituições, em todo País, foram contempladas para a institucionalização destes serviços tecnológicos, elas criaram laboratórios que visavam o auxilio no aprendizado de várias disciplinas, como o do Calculo I, com o estudo de Cálculo Diferencial e Integral. Que até então, era feito de forma tradicional, quase que exclusivamente por meio de aulas expositivas e teóricas. Conforme LOPES (1999), nas mais variadas áreas do conhecimento, como Engenharias, Tecnologias etc. O diagnóstico sistemático de modelos permite prever, calcular, aperfeiçoar, medir, 39 módulos seqüenciais. Cada módulo termina com uma questão que o aluno deve responder preenchendo espaços em branco ou escolhendo a resposta certa entre diversas alternativas apresentadas. O estudante deve ler o fato ou conceito e é imediatamente questionado. Se a resposta está correta o aluno pode passar para o próximo módulo. Se a resposta é errada, a resposta certa pode ser fornecida pelo programa ou, o aluno é convidado a rever módulos anteriores ou, ainda, a realizar outros módulos, cujo objetivo é remediar o processo de ensino. De acordo com a proposta de Skinner, a instrução programada era apresentada na forma impressa e foi muito usada durante o final de 1950 e início dos anos 60. Entretanto, esta idéia nunca se tornou muito popular pelo fato de ser muito difícil a produção do material instrucional e os materiais existentes não possuem nenhuma padronização, dificultando a sua disseminação. Com o advento do computador, notou-se que os módulos do material instrucional poderiam ser apresentados pelo computador com grande flexibilidade. Assim, durante o início dos anos 60 diversos programas de instrução programada foram implementados no computador — nascia a instrução auxiliada por computador ou "computer-aided instruction",. Na versão brasileira estes programas são conhecidos como PEC (Programas Educacionais por Computador). A idéia era revolucionar a educação, entretanto, os computadores ainda eram muito caros para serem adquiridos pelas escolas. Somente as universidades poderiam elaborar e disseminar este recurso educacional. Assim, em 1963 a Universidade de Stanford na Califórnia, através do Institute for Mathematical Studies in the Social Sciences, desenvolveu diversos cursos como matemática e leitura para alunos do 1º grau (Suppes, 1972). Posteriormente, diversos cursos da Universidade de Stanford foram ministrados através do computador. O professor Patrick Suppes desta Universidade se apresentava como o professor que ministrava mais cursos e que tinha o maior número de estudantes do que qualquer outro professor universitário nos Estados Unidos da América. (Suppes, Smith e Bear, 1975). 40 No início de 1970 a Control Data Corporation, uma fábrica de computadores, e a Universidade de Illinois desenvolveram o PLATO. Este sistema foi implementado em um computador de grande porte usando terminais sensitivos a toque e vídeo com alta capacidade gráfica. Na sua última versão, o PLATO IV dispunha de 950 terminais, localizados em 140 locais diferentes e com cerca de 8.000 horas de material instrucional, produzido por cerca de 3.000 autores. É sem dúvida o mais conhecido e o mais bem sucedido. A disseminação do CAI nas escolas somente aconteceu com os microcomputadores. Isto permitiu uma enorme produção de cursos e uma diversificação de tipos de CAI8, como tutoriais, programas de demonstração, exercício e prática, avaliação do aprendizado, jogos educacionais e simulação. Além da diversidade de CAIS a idéia de ensino pelo computador permitiu a elaboração de outras abordagens, onde o computador é usado como ferramenta no auxílio de resolução de problemas, na produção de textos, manipulação de banco de dados e controle de processos em tempo real. De acordo com estudos feitos pelo "The Educational Products Information Exchange (EPIE) Institute" uma organização do "Teachers College", Columbia, E.U.A., foram identificados em 1983 mais de 7.000 pacotes de software educacionais no mercado, sendo que 125 eram adicionados a cada mês. Eles cobriam principalmente as áreas de matemática, ciências, leitura, artes e estudos sociais. Dos 7.325 programas educacionais mencionados no relatório da Office of Technology Assestment (OTA) 66% são do tipo exercício e prática, 33% são tutoriais, 19% são jogos, 9% são simulações e 11% são do tipo ferramenta educacional (um programa pode usar mais do que uma abordagem educacional). É bom lembrar que essa produção maciça de software aconteceu durante somente três anos após a comercialização dos microcomputadores. Hoje é praticamente impossível identificar o número de software educacional produzido e comercializado. Entretanto, as novas modalidades de uso do computador na educação apontam para uma nova direção: o uso desta tecnologia não como "máquina de ensinar", mas, como uma nova mídia educacional: o computador passa a ser uma ferramenta educacional, uma ferramenta de complementação, de aperfeiçoamento e de possível mudança na qualidade do ensino. Isto tem acontecido pela própria mudança na nossa condição de vida e pelo fato de a natureza do 8 CAI é o nome dado a Instrução auxiliada por computador, tipo de programa educacional por computador. 41 conhecimento ter mudado. Hoje, vive-se “dominado” pela informação e por processos que ocorrem de maneira muito rápida e imperceptível. Os fatos e alguns processos específicos que a escola ensina rapidamente se tornam obsoletos e inúteis. Portanto, ao invés de memorizar informação, os estudantes devem ser ensinados a buscar e a usar a informação. Estas mudanças podem ser introduzidas com a presença do computador que deve propiciar as condições para os estudantes exercitarem a capacidade de procurar e selecionar informação, resolver problemas e aprender independentemente. A mudança da função do computador como meio educacional acontece juntamente com um questionamento da função da escola e do papel do professor. A verdadeira função do aparato educacional não deve ser a de ensinar, mas sim a de criar condições de aprendizagem. Isto significa que o professor deve deixar de ser o repassador do conhecimento — o computador pode fazer isto e o faz muito mais eficientemente do que o professor — e passar a ser o criador de ambientes de aprendizagem e o facilitador do processo de desenvolvimento intelectual do aluno. As novas tendências de uso do computador na educação mostram que ele pode ser um importante aliado neste processo que estamos começando a entender. Entretanto, é importante lembrar que estas diferentes modalidades de uso do computador na educação vão continuar coexistindo. Não se trata de uma substituir a outra, como não aconteceu com a introdução de outras tantas tecnologias na nossa sociedade. O importante é compreender que cada uma destas modalidades apresenta características próprias, vantagens e desvantagens. Estas características devem ser explicitadas e discutidas de modo que as diferentes modalidades possam ser usadas nas situações de ensino-aprendizado que mais se adéquam. Além disto, a diversidade de modalidades propiciará um maior número de opções e estas opções certamente atenderão um maior número de usuários. Hoje, o que dispomos nas escolas é um determinado método sendo priorizado e generalizado para todos os aprendizes. Ainda em se tratando do cálculo matemático e sua aprendizagem, Fischbein (1994), nos relata que a formação matemática dos educandos, além de pretender-se a construção de uma sólida base de conhecimento na área, deve-se estar atento para a riqueza intelectual que decorre do constante 44 tangente à curva y = x3 no ponto (0,0) é porque o “conceito imagem” está incompleto, e, portanto o objeto matemático ‘reta tangente à curva’ ainda não foi adequadamente construído. Os ambientes informatizados apresentam-se como ferramentas de grande potencial frente aos obstáculos inerentes ao processo de aprendizagem. Segundo Papert (1988), é a possibilidade de mudar os limites entre o concreto e o formal. Ou ainda segundo Hebenstreint (1987), o computador permite criar um novo tipo de objeto - os objetos concreto abstratos. Concretos porque existem na tela do computador e podem ser manipulados; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais. Por exemplo, uma rotação não é mais somente um objeto matemático abstrato (dado por uma definição formal) acompanhado eventualmente de uma representação estática (desenho), mas um objeto que pode ser manipulado e entendido a partir de suas invariâncias (ao mudar-se o centro de rotação, o ângulo de rotação, ao transformar figuras). No campo da pesquisa em Matemática alguns exemplos são ilustrativos. A teoria do caos nasceu do estudo de equações diferenciais feito por Lorentz; ao programar sistemas que diferenciavam minimamente nas condições iniciais, Lorentz constatou que a evolução do sistema, no tempo, se tornava imprevisível e a partir disto surgem os resultados teóricos sobre a instabilidade dos sistemas dinâmicos. Um segundo exemplo: a representação gráfica de computações massivas tornou possível o avanço da teoria de fractais. Figuras surpreendentes foram fontes de conjeturas que desencadearam a pesquisa na direção de demonstrações formais. Estes exemplos são paradigmáticos quanto ao suporte oferecido pelos ambientes informatizados na concretização mental de idéias matemáticas. Este suporte favorece a exploração, a elaboração de conjeturas e o refinamento destas, e a gradativa construção de uma teoria matemática formalizada. E mesmo quando existe a possibilidade de ações sobre objetos físicos, a transposição destes objetos para ambientes informatizados também apresenta vantagens: é a possibilidade de realizar grande variedade de experimentos em pouco tempo, diferentemente da manipulação concreta. É a primazia da ação favorecendo o processo de investigação e abstração, com a conseqüente construção de conceitos e relações. Neste espírito tem-se como exemplo o programa “Blocks Microworld” de Thompson (1992), que permite a construção virtual do material multibase de Dienes. É claro que o suporte para concretizações e ações mentais depende de características dos ambientes informatizados. 45 3.4- Alguns softwares utilizados atualmente A introdução do computador na educação tem provocado uma verdadeira revolução na concepção de ensino e de aprendizagem. A quantidade de programas educacionais e as diferentes modalidades de uso do computador mostram que esta tecnologia pode ser bastante útil no processo de ensino-aprendizado. A história do desenvolvimento do software educacional mostra que os primeiros programas nesta área são versões computadorizadas do que acontece na sala de aula. Mas que com o passar dos tempos foram se sofisticando para atender as necessidades educacionais e facilitando a aprendizagem do educando. Segundo um estudo feito pelo EPIE cerca de 49% do software educativo no mercado são do tipo exercício e prática. Estes programas requerem a resposta direta do aluno, propiciam feedback imediato, exploram as características gráficas e sonoras do computador e, geralmente, são apresentados na forma de jogos. Por exemplo, "Alien Intruder" é um programa que exige a resolução de problemas de aritmética o mais rápido possível para eliminar um "alien" que compete com o usuário. Muitos Softwares foram criados no intuito de auxiliar e melhorar o aprendizado de matemática de modo geral, alguns desses softwares Educativos se encontram na internet, podendo ser utilizados de maneira rápida e na maioria sem ônus para o educando , basta apenas acessar a pagina da web e baixar o programa no computador. Segue abaixo alguns softwares Educativos: 3D-Filmstrip:uma ferramenta de visualização matemática Este programa apresenta algoritmos que permitem visualizar objectos matemáticos a partir de diferentes "categorias" (curvas no plano e no espaço, superfícies, poliedros, etc) e possibilita, também, mostrar vários processos matemáticos associados a estas categorias. 3D Surfaces Este programa permite traçar superfícies da forma z=f(x,y). Abacus É um programa que ajuda a desenvolver o cálculo mental. 46 AdvancedGrapher É um ótimo programa para representação gráfica de funções. Permite a representação gráfica de variadas funções, incluindo as funções implícitas, desigualdades, etc. Possibilita ainda a apresentação dos valores de uma função em tabelas, determinar a derivada, tangente, etc… CabriGeometryII O Cabri (figura 2) é um programa de geometria, intuitivo e de fácil utilização. Inclui a geometria euclidiana e analítica e permite que o utilizador veja padrões, estabeleça conjecturas e retire outras conclusões. Figura 2 - CabriGeometryII Foto da pagina de acesso via web do CABRYGEOMETRTRYLL 9 9 CABRYGEOMETRTRYLL: FONTE: http://www.cabri.com.br/index.php ACESSADO EM 21/01/2010. 49 Mathematica Este poderoso programa envolve muitos temas de matemática, desde a integração, à programação linear, passando pela "avaliação das funções matemáticas mais complexas. Como capacidades simbólicas incluem a, simplificação polinomial, limites, ente outras. Supergraph É um programa simples de utilizar e possibilita traçar gráficos de funções. GraphMat Este programa possibilita a representar gráfica de funções (incluindo as polares, paramétricas, logaritmicas, desigualdades, etc). Possibilita ainda que encontre a derivada e a respectiva representação gráfica da função definida, o integral, entre outros. Figura 3 - GRAFHMAT Foto da pagina de acesso via web do GRAFHMAT10 10 GRAFHMAT: FONTE: http://www.holnet.com.br/software/default.htm ACESSADO EM 28/01/2010. 50 Groups/and/graphs Descrição: Esta aplicação de fácil utilização permite criar um gráfico aleatório, encontrar o grupo automorfismo do gráfico, encontrar isomorfismos entre gráficos, dispor em simetria o gráfico segundo um grupo dado, encontrar o caminho/ciclo mais longo de um gráfico, entre muitas outras funções. TheGeometer’sSketchpad É um programa de geometria dinâmica de fácil utilização e com imensas potencialidades, como: construir figuras, desenhar em perspectiva, permite pavimentar e, para além de outras características, possibilita conexões entre áreas da matemática. VisualMethods É uma aplicação que possibilita a representação gráfica de funções de uma variável, calcula o valor numérico de integrais, mostra a área, integra equações diferenciais e faz interpolação. XFunctions É uma aplicação que permite explorar funções e as respectivas propriedades. O utilizador pode definir uma função e visualizar a sua representação gráfica, a expressão e ainda a tabela de valores. Entre outras opções, possibilita o estudo das derivadas de funções (figura 4). 51 Figura 4 - XFunctions Foto da pagina de acesso via web do XFunctions11 Diante do que fora ressaltado anteriormente, entendemos que os ambientes informatizados, os softwares apresentam-se ainda como simples ferramentas de suporte ao processo de ensino e aprendizagem. Está-se procurando mudança nos métodos, a partir da incorporação dos novos recursos. É dentro deste contexto que este artigo de pesquisa se insere. O primeiro passo, natural em todo momento de transição, é a adaptação do antigo ao novo, ainda que de forma um tanto tímida. Seja tanto na forma como estão sendo concebidos os ambientes como na forma como estão sendo incorporados ao processo educativo. É um desafio que envolve aspectos como a própria construção dos ambientes, a formação de professores e novas propostas curriculares. Mas por outro lado, não é difícil pensar num futuro para a educação em que os ambientes informatizados, softwares vão ultrapassar sua função de simples ferramentas de apoio ao pensar, na forma que a psicologia cognitiva hoje explica, passando então a ter papel fundamental no próprio desenvolvimento de novas capacidades cognitivas do indivíduo, ainda hoje não imaginadas. E com conseqüências sobre a própria natureza do conhecimento e do conhecimento matemático, em particular. 11 XFUNCTIONS: FONTE: http://ultradownloads.com.br/download/xFunction-for-Windows/ ACESSADO EM 28/01/2010. 54 4.1. Metodologia de Ensino Após um rigoroso levantamento bibliográfico sobre metodologias de ensino, foram selecionadas cinco metodologias, para serem aplicadas no processo de ensino empregado no site, com o intuito se cumprir o objetivo de transmitir o assunto correspondente a Limites (derivada e integral), as quais são: motivações intrínsecas; organizadores prévios; atividades introdutórias correlacionadas com o curso do aluno; distinção entre objeto matemático e sua representação; e tratamentos e conversões. A metodologia de “motivações intrínsecas” foi escolhida pelo fato de Nunes (2007) afirmar que é necessária uma busca por gerar motivações intrínsecas no aluno que gerem nele uma necessidade de realizar uma determinada tarefa, e embora não seja possível fazer com que alguém tenha motivação intrínseca, pois ela é idiossincrática, a adoção de metodologias capazes de provocar uma motivação por necessidade é algo perfeitamente possível e muito mais eficiente do que metodologias que se reduzem a um nível muito elementar no qual o aluno aprende por obrigação. Os “organizadores prévios” foram empregados no site, pois eles funcionam como ponte entre o que o aprendiz já sabe e o que será aprendido. Em pesquisa desenvolvida por Nunes (2007), a História da Matemática se mostrou como um excelente organizador prévio, pois ela expõe as necessidades pela qual tal conhecimento matemático foi construído, fazendo com que o discente compreenda a real necessidade de se aprender determinado assunto. A metodologia de “atividades introdutórias correlacionadas com o curso do aluno” se fez necessária devido a outra constatação feita por Nunes de que sem uma atividade introdutória, se torna necessário que o aluno construa o conhecimento desde a sua estrutura mais elementar pois ele consegue estabelecer nenhuma ligação entre o que esta sendo aprendido e os conhecimentos que ele já adquiriu. A necessidade de se empregar a “distinção entre objeto matemático e sua representação” ocorreu devido ao fato de que em matemática toda a comunicação se da com base em representações dos objetos a serem tratados, pois um objeto pode expressar diferentes situações de acordo com a forma que ele é representado. Então durante a exposição do conteúdo a ser aprendido deve-se utilizar dois tipos de representação, como a algébrica e a numérica para que o 55 significado do objeto matemático tratado não assuma um aspecto ambíguo, conforme explicou Foster (2007). Os “tratamentos e conversões” são necessários durante o ensino de cálculo, pois os tratamento correspondem a simples resolução direta de um problema e as conversões, que são a utilização de outro tipo de registro para se chegar a solução de um problema, que geralmente são deixadas de lado, mas são de vital importância para o bom entendimento a da matéria, segundo (Foster). 4.2 – Implementação do Software AVACL Para se alcançar os objetivos previamente estabelecidos foram empregadas tecnologias que prometessem o máximo de abstração das ferramentas e metodologias reais para uma ambiente virtual, e por esse motivo e por uma questão de afinidade com o que foi aprendido durante o curso de Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas, optou-se pela utilização de tecnologias Java, mais especificamente o JDK em sua versão 1.6, linguagem web JSP, os frameworks Struts2 e Hibernate, além do ambiente de desenvolvimento Eclipse na versão 3.4.2. 4.2.1 - Tecnologias: JSP ou Java Server Pages é descrita em Kurniawan (2002) como “uma tecnologia Java para desenvolver aplicativos web. JSP foi lançada quando a tecnologia de servlet tinha atingido popularidade como uma das melhores tecnologias disponíveis. JSP, porém, não se destina a substituir servlet”. Kurniawan enfatiza ainda o fato de que a tecnologia JSP é uma extensão da tecnologia servlet, o que significa que “JSP não substitui servlets como a tecnologia para escrever aplicativos Internet/Intranet do lado servidor” (KURNIAWAN, 2002), pois a tecnologia JSP foi moldada na base de servlet e necessita de servlets para trabalhar. Servlets podem ser definidos como: Classes Java que são instanciadas e executadas em associação com servidores Web, atendendo requisições realizadas por meio do protocolo HTTP. Ao serem acionados, os objetos Servlets podem enviar a resposta na forma de uma página HTML ou qualquer conteúdo MIME. Na verdade os Servlets podem trabalhar com vários tipos de servidores e não só servidores Web, uma vês que a API dos Servlets não assume 56 nada a respeito do ambiente do servidor, sendo independentes de protocolos e plataformas. Em outras palavras Servlets é uma API para construção d componentes do lado do servidor com o objetivo de oferecer um padrão para a comunicação entre clientes e servidores. Os Servlets são tipicamente usados no desenvolvimento de sites dinâmicos (OLIVEIRA, 2001). Kurniawan (2002) afirma que a API Servlet possui dois pacotes: o javax.servlet e o javax.servlet.http. Sendo que o segundo é o que possui classes e interfaces mais avançadas. De acordo com Oliveira (2001) o componente mais básico da API servlet é a interface Servlet do pacote javax.servlet e é definida por Kurniawan (2002) como “a fonte de todas as atividades em programação de servlet”, Kurniawan conta ainda que cada servlet a ser escrito deve implementar essa interface que pode ser sintetizada por três de seus métodos, os quais determinam o ciclo de vida de um servlet: init, service e destroy. O Struts2 é uma estrutura elegante e extensível para a criação de aplicações empresariais na Web Java pronto. O quadro é projetado para otimizar o ciclo de desenvolvimento, de construção, a implantação, a manutenção das aplicações ao longo do tempo. O Hibernate é um framework para o mapeamento objeto-relacional escrito na linguagem Java, mas também é disponível em .Net como o nome NHibernate. Este programa facilita o mapeamento dos atributos entre uma base tradicional de dados relacionais e o modelo objeto de uma aplicação, mediante o uso de arquivos (XML) para estabelecer esta relação JavaFX: “O JavaFX é uma avançada e significativa plataforma-cliente para a criação e geração de experiências avançadas de Internet em todas as telas de sua vida. O JavaFX 1.0 foi lançado em 4 de dezembro de 2008. Desde de junho de 2009, já foram feitos mais de 400 mil downloads das ferramentas e do SDK e, além disso, o JavaFX está disponível em mais de 250 milhões de áreas de trabalho” (JAVAFX, 200). 4.2.2 - IDE: Desenvolver um site complexo, sem o auxílio de uma IDE, é uma tarefa praticamente impossível devido a imensa quantidade de códigos necessária que precisar se implementada. Para facilitar esse árduo trabalho existem as IDEs que tem a finalidade de automatizar boa parte da implementação de uma aplicação, e por ser uma IDE com uma tradição muito forte na área de 59 Fazer uma pré-apresentação do assunto; Expor situações onde se faz necessário aplicar conhecimentos de Limites; Ressaltar a importância do assunto; Atender a metodologia de “motivações intrínsecas”. Módulo 2: Histórico Apresentar como e por que o Limite foi inventado; Apresentar os inventores; Descrever quais os problemas que levaram ao desenvolvimento da idéia de Limites. Descrever a evolução do assunto; Atender a metodologia de “organizadores prévios”. Módulo 3: Exemplos Expor exemplos resolvidos de Limites na área de engenharia; Atender a metodologia de “atividades introdutórias correlacionadas ao curso do aluno”. Módulo 4: Conceitos Explicar todos os conceitos do assunto com base nos exemplos apresentados no módulo anterior; Atender a metodologia de “Distinção entre objeto matemático e sua representação”; Atender a metodologia de “Tratamentos e conversões”. Módulo 5: Testes Expor problemas que envolvam o assunto em questões de múltipla escolha; As questões acertadas serão computadas. Atender a metodologia de “Tratamentos e conversões”. Módulo 6: Considerações Finais 60 Apresentar uma avaliação objetiva do rendimento do aluno com base na quantidade de questões acertadas; Explicar como o assunto de Limites será importante para o aprendizado de assuntos consecutivos na disciplina de Cálculo: derivada e integral. Atender a metodologia de “motivações intrínsecas”. 4.5 - Estruturação do AVACL O sistema deverá ser disponibilizado via web e ao ser acessado, apresentar uma janela de boas vindas e um formulário para login, ou cadastro, após a autenticação o usuário terá acesso a uma nova janela de apresentação onde será feita um descrição dos objetivos e funcionamento do ambiente bem como de sua metodologia, essa janela também conterá um link para dar inicio ao desenvolvimento do assunto, direcionando-o para a página do Módulo I. Na parte inferior da página do Módulo I haverá um link para o Módulo II, e na parte inferior da página do Módulo II, um link para o Módulo III, e assim sucessivamente até que o usuário chegue ao Módulo VI, onde ele terá as opções de sair do sistema ou ir para a página inicial. 4.5.1 - Pagina inicial Nessa página (figura 5), o usuário deverá digitar seu login e senha, para poder ter acesso ao conteúdo site, caso ele ainda não tenha se cadastrado, deverá clicar sobre o link “Primeiro acesso” e fazer seu cadastro (figura 6). Após a validação, o usuário será direcionado para a página de apresentação. 61 Figura 5 – Página inicial do AVACL Figura 6 – Página de cadastro de usuário 4.5.2 - Página de apresentação: Na página de apresentação (figura 7), será apresentada uma mensagem de boas vindas, que conterá o nome do usuário. Logo a baixo da mensagem será mostrada uma prévia sobre o que o usuário irá encontrar pelo site, bem como uma explicação de como o usuário deve utilizar o AVACL. No final da página há uma figura com o dizer “Módulo I” que na verdade representa um 64 Figura 9 – Página do Módulo II 4.5.5 - Página do Módulo III: PRE EASTER MEP Módulo Ill Exemplos Exemplo 01 A lesiade ires X (corri en leram pe ide Loren pro que ee £ 1 so ago de, e que vor cecuesirm sc (corra lo parné é cs 7 METAS AE GS é sede pic fede ES at casados d cm aterrosts:urs “ae com ce apsca erre em fusão, cada por 2.-5º udor-e-r onto, quanto male x es sorexrma de £, a ársa à tem CR quar doca aprenitra 265 aim apre na a 750677 aire Sra carta aires lima? = 25 ud Lessa 2 nie de 2 quardo tende a £ é iguala 25. Once a ctação "x art eignfica"e deito de E cure La oca cade se desert sh E Dee segu O E O mm part bagas basco Eassoum Pod:-ca notar cu core me ce: ramo: atoma sumerte somo aques mz na cho ce aprito mec 5 erre por corsec 1êne a, mais as ta Árga ca sprosima de 252 E rIhS tare notar ta para ses cas: rão 6 Morascare (aeule” a area da placa quenca *— 5, eis naesa cone ção a plesa entar at h.são é comatadia 1º coraição exerra em todos De cacos em qui é necessé io fezar LT calo de rito jctarert: cessa pasa alhe- obeerveco através da ar meção e bsixo ETA: Figura 10 - Página do Módulo II 65 66 A página do Módulo III (figura 10), que corresponde a principal parte do curso apresentará exemplos de resoluções de problemas envolvendo Limites bem como suas respectivas animações, onde espera-se que o aluno possa ter uma maior absorção do assunto através da visualização do comportamento do problema em questão, seguindo o mesmo padrão das página anteriores, a página do Módulo III conterá um link ao final da página que permitirá o acesso ao conteúdo da página do Módulo IV. 4.5.6 - Página do Módulo IV: O Módulo VI (figura 11) conterá uma síntese da parte teórica sobre o assunto de limite para que o usuário possa fixar o que está sendo aprendido, e espera-se que após já ter tido contado com o assunto de forma prática, a teoria seja entendida de forma menos trabalhosa. Novamente, para ter acesso ao próximo módulo, o usuário deverá clicar no link localizado no final da página. Figura 11 – Página do Módulo IV 4.5.7 – Página do Módulo V Na página referente ao Módulo V (figura 12), o usuário deverá resolver uma lista de exercício composta por cinco questões que deverão ser resolvidas manualmente para em seguida marcar uma das cinco opções oferecidas por cada questão. Após marcar uma opção de cada questão, o usuário deverá submeter suas respostas a correção clicando no botão “Corrigir” situado 69 CONCLUSÃO Almeja–se com a implantação do sistema web AVACL, que o usuário que venha a acessá- lo possa ter um contato significativo ao assunto de Limite, de uma forma diferente da convencional, feita em sala de aula, de forma a corrigir alguns dos problemas detectados por estudiosos sobre as dificuldades existentes no processo de ensino-aprendizado da disciplina de Cálculo. Espera-se que este sirva de ferramenta didática – metodológica dando conceitos reais e significativos na aquisição do saber matemático, principalmente em relação ao cálculo diferencial e Integral. Neste sentido, como diferencial, vem as animações gráficas. As quais são trabalhadas em conjunto com os exemplos apresentados durante o desenvolvimento do assunto, estas são consideradas a principal ferramenta que compõe o sistema web, pois nas pesquisas feitas havia praticamente uma unanimidade quanto ao fato de que utilizando somente recursos visuais estáticos, a compreensão dos conceitos de Limites fica bastante prejudicada, já que esses conceitos são essencialmente dinâmicos, e com as animações espera-se que as dificuldades de aprendizado, sejam superadas. É importante reiterar que as animações gráficas obtiveram uma maior evidência, visto que foram direcionados a elas, a maior parte dos esforços do desenvolver desse ambiente virtual, pois a linguagem escolhida ainda se encontra em seus primeiros passos, o que limita a quantidade de materiais que contenham informações sobre recursos avançados da linguagem. De forma geral, o conteúdo do site também foi elaborado com o intuito de facilitar a aprendizagem do usuário, procurando fazer com ele fosse o mais direto e completo possível, proporcionando ao usuário um estudo mais direcionado e pouco trabalhoso. Com relação ao desenvolvimento de tal conteúdo, ocorreu outra grande dificuldade, pois para que se pudesse oferecer um conteúdo de qualidade primeiro foi necessário que o autor tivesse um bom domínio sobre o assunto, e isto foi relativamente complicado devido às dificuldades já mencionadas. 70 A implementação das páginas web configuram como a parte menos complicada do desenvolvimento do AVACL, pois os recursos e tecnologias utilizadas, como JSP, Struts2 e Hibernate já têm um bom tempo no mercado e por este fato encontram-se bastante evoluídos e com um abundante material de suporte que fez com que os problemas surgidos nessa fase do desenvolvimento fossem sanados. Porém a implementação das páginas e dos mecanismos que definem o comportamento do ambiente envolveram certa complexidade que fez com que o tempo de desenvolvimento fosse bastante prolongado. Não houve tempo hábil para a realização de testes que avaliasse e oferecesse informações sobre o desempenho do AVACL, no que tange o seu desempenho em atender a todos os requisitos levantados no pré-desenvolvimento. Porém, pode-se dizer que o AVACL é capaz de contribuir de forma bastante positiva para que a qualidade da performance dos alunos da área das ciências exatas venha a se elevar, pois mesmo que ele não alcançe 100% de sucesso, um grande passo já foi dado nessa direção. Como sugestão para trabalhos futuros, sugere-se que o AVACL seja submetido a avaliação em por alunos que estejam cursando a disciplina de Cálculo I para se constatar a eficiência alcançada pelo sistema, identificação de possíveis falhas, bem como qualquer outro tipo de incremento que possa vir a contribuir para que o AVACL venha a alcançar os objetivos supracitados. Modificações na implementação da animação também são recomendadas, para que ela possa vi a ter um grau de interação maior do que a alcançada no presente trabalho. 71 REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO ANDRADE, Pedro, LIMA, Maria Candida, M.A. Projeto EDUCOM PRONINFE/MEC. Brasília, 1992. ÁVILA,G.Introdução à Analise Matemática.São Paulo.Ed. Edgard Blucher Ltda,1993. BOYER,Carl B.História da matemática: Cálculo.São Paulo:Atual,1996. CARRAHER, D.W.O Que Esperamos do Software Educacional.Ed. Acesso, São Paulo, Ano 2, n.3,1990. CASTRO, Claudio de Moura e. O Computador na Escola. Campus, Rio de Janeiro, 1988. CISNEIROS, Hugo. Modelo de Desenvolvimento Ágil SCRUM. Disponível em <http://www.devin.com.br/modelo-scrum/> acesso em 18 de novembro de 2009. FOSTER, Sandra R. L. Ensino a Distância: Uma análise do design de um curso de Cálculo com um olhar no conteúdo de limites e continuidade de uma variável real. 2007. 129 f. Dissertação (Mestrado em ensino de matemática). PUC-SP.São Paulo. FRANT, J.B.Tecnologias e Educação Matemática. Educação Matemática em Revista, SBEM, n.6, ano 5, 1998. FREIRE, Paulo. Medo e Ousadia. Rio de Janeiro. Paz e Terra. 1986. ____________. Pedagogia do Oprimido. Rio de Janeiro. Paz e Terra.1987. GÓES, Erick Henrique S. Processos Ágeis Aplicados no Desenvolvimento de Jogos. Lavras: UFLA,2008.Disponível em : http://sites.google.com/site/quadroanimado/Home/TCC_Processos_Ageis_Games_ErickHenrique. pdf?attredirects=0> Acesso em: 11 de novembro de 2009. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. vol. 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: Editora LTC,2001. HEBENSTREINT,J.Simulation e Pédagogie, une recontre du troisième type. Gif SurYvette: École Superieure d'Eletricité.1987 IEZZI, Gelson;MURAKAMI,Carlos;MACHADO,Nilson J.Fundamentos de Matematica Elementar, 8: limites,derivadas e noções de integral.5º Ed, São Paulo:Atual,1993. JAVAFX. Perguntas gerais. Disponível em <http://javafx.com/pt_BR/faq/> acesso em 18 de novembro de 2009. KURNIAWAN, Budi. Java para a Web com Servlets, JSP e EJB. Tradução Savannah Hartmann. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda. 2002. LOPES, Artur. Algumas reflexões sobre a questão do alto índice de reprovação nos cursos de Cálculo. Sociedade Brasileira de Matemática. Rio de Janeiro, n.26/27, p.123-146,jun./dez. 1999.