Apostila Vetores e Geometria Analítica

Apostila Vetores e Geometria Analítica

(Parte 1 de 2)

BExtremidadeVETOR: Define-se:

1 – VETOR: Segmento orientado.

V- Módulo: Tamanho - Direção: da reta suporte

VABAB=−=- Sentido: de A para B.

A Origem

2 – Segmento Nulo: Origem ≡ Extremidade

BB

3 – Segmento Oposto: BAAB−= (Em módulo tem o mesmo tamanho)

4 – Segmentos Eqüipolentes: Mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido B

AF G
EH

5 – Representantes de um Vetor:

Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos eqüipolentes entre si.

Assim um segmento determina um conjunto que é o mesmo vetor.

As características de um vetor V são as mesmas de qualquer um de seus representantes , isto é: O módulo, a direção e o sentido dos representantes são os mesmos valores do vetor.

02 3 5 6 8 x

6 – Vetores Iguais: Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, CDAB≈

7 – Vetor Unitário: Um vetor V é unitário se .1=V

8 – Versor: É um vetor unitário de um vetor qualquer, que possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor.

Seja U um vetor qualquer, o versor do vetor U é o vetor UV.

Usendo que: V é versor de U

W não é versor de U

VW

9 - Vetores Colineares: Dois vetores VeUsão colineares, se tiverem a mesma direção.

VW Z

Sendo que WeVU, são colineares.

10 – Vetores Coplanares: Dois vetores são sempre coplanares, pois dois vetores determinam a base de um plano. Três vetores podem ou não serem coplanares.

1 – Operações com vetores: •Adição:

V Pela lei dos Cossenos, temos:

US

V • Diferença:

Pela lei dos cossenos, temos:

U

•Multiplicação por um número real: Seja K um número real e U um vetor qualquer, temos:

Se K > 1

O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém módulo é K vezes maoir.

Se 0 < K < 1 O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém módulo é K vezes menor.

Se K < - 1 O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o módulo é K vezes maior

Se – 1 < K < 0 O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o módulo é K vezes menor.

12 – Coordenadas Retangulares de um Vetor: y

y∆V22yxV∆+∆=
0x∆ x

Dois vetores determinam uma base no plano. Para facilitar os cálculos adotamos a base ortogonal no plano Cartesiano que é conhecida como “base Canônica”.

Base canônica: {}ji, y j x y

jyixV+=V

y j Se for no espaço ( R3 ), temos:

Base Canônica: {}kji,,z z
kix
kzjyixV++=x

Ex.: 16 Representação Geométrica:

UjiU1612+= no plano Representação Analítica:

012 x

Exemplos:

a) VU+ b) VU−

d) a = ? e b = ?, tal que WVbUa=+

2 – Determine o versor do vetor jiV32+=

3 – Determine o módulo do vetor soma de dois vetores que formam entre si um ângulo de 60º e cujos módulos valem 6 m e 8 m.

4 – Calcule o módulo do vetor soma de bea em cada caso: a)

b b)

5 – Calcule o ângulo formado por dois vetores, de módulos 5 unidades e 6 unidades, e cujo vetor soma tem módulo 61 unidades.

6 – Determine o módulo de dois vetores, ,VeU perpendiculares entre si e

atuantes num mesmo ponto, sabendo que seus módulos estão na razão 4 que o vetor soma de VeU tem módulo 10.

13 – Projeção de um Vetor no Plano ( Componentes Retangulares de um Vetor ) y α x x αcosVVx = αsenVVy =

Ex:

1 – Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante do sistema abaixo: e ySendo: 3=a

45ºb 9=d
dc

14 – Expressão Analítica de um Vetor: No Plano:No Espaço:

Ex: a) No Plano:

15 – Igualdade e Operações com Vetores: • Igualdade:

Dois vetores ()1,yxU= e ()2,yxV= são iguais, se e somente se 2121 yyexx ==

• Operações:

OBS.: Para o Espaço adotam-se as mesmas condições de igualdade e operações.

Ex:

16 – Propriedades dos Vetores no Plano: a) Para quaisquer vetores ,,WeVU tem-se:

NeutroElementoUU =+0( ) OpostoElementoUU 0=−+ b) Para quaisquer vetores ,,WeVU e os números reais m e n, tem-se:()()VnmVnm..=

( ) ComutativaVnVmVnm +=+

( ) AdiçãoçãomultiplicaarelaçãoemvaDistributiVmUmVUm /+=+ NeutroElementoVV =.1

Exercícios: 1 – Calcular o valor de “a” para que o vetor )2,(−=aU tenha módulo 4.

2 – Calcular o valor de “a” para que o vetor )2 1,(aU= seja unitário.

3 – Dado o vetor ()3,1−=V, determinar um vetor paralelo a V que tenha:

a) sentido contrário ao de V e 2 vezes o módulo de V; b) sentido contrário de V e módulo 4.

4 – Determinar o vetor W na igualdade WVUW+=+ 2

123, sendo dados:

6 – Dados os pontos A(-1 , 2), B(3 , -1) e C(-2 , 4), determinar D(x , y) de modo

8 aAssociativUVVU +=+

17 – Igualdade e Operações com vetores no Espaço:

• Operações: Dados VeU, tem-se:

Se ()21,,),,(zyxBezyxA são dois pontos quaisquer no espaço, então:

18 – Condição de Paralelismo entre dois vetores:

Dois vetores ()()21,,,,zyxVezyxU== são colineares ou paralelos, se existe um k tal que VkU=, ou seja:

Exercícios:

números 321,aeaa. Tais que VaUaABaW321++=.

coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.

3 – Determinar o valor de nem para que sejam paralelos os vetores ( ) ( )12,2,41,3,1 −=+= nVemU .

10 – Determinar o simétrico do ponto ()2,1,3−P em relação ao ponto ( )3,0,1 −−A .

Sejam os vetores kzjyixVekzjyixU222111++=++=, o produto escalar do vetor U com o vetor V é indicado por VU. e é obtido da seguinte forma:

( )( ) 212121222111,,.,,. zzyyxxVUzyxzyxVU ++=⇒=

OBS.: O Produto Escalar além de ser representado por ,.VU pode ser representado por .,><VU

1 – Módulo de um Vetor: Seja o vetor ()zyxV,,=, seu módulo é obtido:

2 – O versor do vetor Vdo item 1, é :

Cálculo do módulo do versor

3 – Distância entre dois pontos:

Sejam os pontos ()()21,,,,zyxBezyxA, a distância entre os pontos BeA é determinada por:

1 – Sabendo que a distância entre os pontos ()()mBeA,1,13,2,1−− é 7, calcular .m

2 – Determinar α para que o vetor

1,αV seja unitário.

4 – Propriedades do Produto Escalar:

Para quaisquer que sejam os vetores ()1,,zyxU=, ()2,,zyxV=, ()3,,zyxW= e ℜ∈m, é fácil verificar que:

i) ComutativaUVVU=
i) ( ) vetoresdeaudiçãoarelaçãoemvaDistributiWUVUWVU+=+
iv) ( ) ( ) ( )VmUVUmVUm==
v) ( ) UUUfatodeUUU2

5 – Ângulo entre dois vetores:

θcosVUVU =

6 – Condição de Ortogonalidade:

Dois vetores ()1,,zyxU= e ()2,,zyxV= são ortogonais ou perpendiculares se e somente se:

3 – Sabendo que o vetor ()1,1,2−=V forma um ângulo de 60º com o vetor AB determinado pelos pontos ()()mBeA,0,42,1,3−, calcular .m

7 – Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor: Seja o vetor kzjyixV++=, ângulos diretores do vetor Vsão os ângulos γβα,, que o vetor forma com os vetores keji, situados sobre os eixos coordenados .,,zyx y j α

ix

iV iVCos .

iV iVarcCos .

jV jVCos .

jV jVarcCos .

kV kVCos .

kV kVarcCos .

Ex:

1 – Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor ( )3,2,6 −=V .

2 – Dados os pontos ()()3,1,3,2,2−−BeA, calcular os ângulos diretores do vetor .AB

8 – Propriedades dos Ângulos Diretores e Cossenos Diretores:

i) Seja o vetor kzjyixV++=, designamos o versor do vetor V por V V=, então obtemos:

( ) ( )γβα CosCosCosVVzVyV xVV i) 1=V V

Ex: 1 – Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60º. Determine α.

2 – Um vetor V forma com os vetores jei ângulos de 60º e 120º respectivamente. Determinar o vetor V, sabendo que .2=V

9 – Projeção de um vetor sobre outro Vetor:

VUojPrV

V VUUoj V ..

a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A; b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC; c) Determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A.

Dados os vetores kzjyixVekzjyixU222111++=++=, tomados nesta ordem chama-se “Produto Vetorial” dos vetores VeU, e se representa por

VUouVxU∧, ao vetor:

( ) ( ) ( )kyxyxjzxizyzyVU yx yx ji zyx zyx kji

1−++−=∧⇒=∧

Ex: 1 – Calcule o produto vetorial dos vetores .345kiVekjiU+=++=

1 – Propriedades do Produto Vetorial:

i) 0=∧U qualquer que seja U, pois θsenUU..=∧ i) UVVU∧−=∧

v) 0=∧VU se e somente se um dos vetores é nulo ou se VeU são colineares ( )0 180 == θθ ou vi) VU∧ é ortogonal simultâneamente aos vetores, VeU vii) Módulo do Produto Vetorial: θsenVUVU..=∧

Direção: Perpendicular ao plano definido por VeU Sentido: Regra da mão direita

UV

ix) ABCDramoParaledoÁreaVUlog=∧ VU ∧

V VU∧ = Área do Paralelogramo

OBS.: A área de um triângulo é 2

1 da área do Paralelogramo.

Exercícios:

1 – Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ( ) ( )1,3,43,6,2 =−= VeU .

2 – Dados os vetores ()()3,1,01,2,1−=−=VeU, calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores ().3UVeU− para que a área do paralelogramo determinado por VeU seja igual a .62

Dados os vetores kzjyixWekzjyixVkzjyixU333222111,++=++=++=, tomados nesta ordem, chama-se Produto Misto dos vetores WeVU, ao número real ()WVU∧.. Indica-se o produto misto por ()WVU,,. Tendo em vista que:

( ) alNúmero yx yx yx zyx zyx zyx WVU Re,,

Ex.: 1 – Calcular o produto misto dos vetores ekjiVkjiU33,532++−=++=

1 – Propriedades do Produto Misto: i) ()0,,=WVU se e somente se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares.

i) O produto misto independe da ordem circular dos vetores ()()().,,,, ,,VUWUWVWVU== Entretanto o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos, isto é: ()()WUVWVU,,,,−=

OBS.: O produto vetorial e o produto misto não são definidos no .2R

Exercícios:

1 – Verificar se são coplanares os seguintes vetores: (),4,1,3−=U kiV−= e

2 – Qual deve ser o valor de m para que os vetores (),1,2,−=ma kjib3+−= e kjc42+−= sejam coplanares?

2 – Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto: VU ∧

U ( ) pedoParalelepídoVolumeWVU =,,

OBS.: O Volume do Tetraedro é 6

1 do volume do Paralelepípedo.

1.DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: y

yBB
yAA θ
xAxB x

2.RAZÃO DE SECÇÃO: y

y2P2
y2 – y
yP N
y1P1 M
x – x1
x1x x2 x

r P

P x x PN

1 desenvolvendo, obtemos: r rxxx +

analogia temos: r ryyy +

OBS.: Quando P é um ponto interno a P1P2, r é positivo; Quando P é um ponto externo a P1P2, r é negativo.

3.INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA:

Y r B

yAA α

yB - yA xB - xA

xAxB x

Inclinação: AB x yyarctg −

Coeficiente angular da reta (declividade): AB x yytgm −

4.RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES: Duas retas r e s são paralelas, se e somente se: m=.

Duas retas r e s são perpendiculares, se e somente se: srm

yr s

5.ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS: θ m mmtg

.1+ −=θSendo: rm, coeficiente angular da reta extremidade; sm, coeficiente angular da reta origem; θ é o ângulo entre as retas r e s.

6.ÁREA DE UM POLÍGONO SENDO CONHECIDO SEUS VÉRTICES: Triângulo ABC, sendo A(xA, yA); B(xB, yB) e C(xC, yC).

yx yx yx

A= ou yx yx yx yx

Pentágono ABCDE, sendo A(xA, yA); B(xB, yB); C(xC, yC); D(xD, yD) e E(xE, yE).

yx yx yx yx yx yx

7.ESTUDO DA RETA:

– EQUAÇÃO GERAL DA RETA: 0=++ cbyax

Coeficiente angular da reta partindo de sua equação: b am−=, declividade da reta em relação ao eixo x.

Coeficiente linear da reta partindo de sua equação: b cn−=, ponto onde a reta corta o eixo y.

b cxb ay−−= ou seja:

Sendo a = abscissa à origem do plano cartesiano; b = ordenada à origem do plano cartesiano.

Seja o ponto ),(00yxP, um ponto por onde passa a reta, para se obter a equação da reta utilizamos a fórmula:

Sejam os pontos ),(111yxP e ),(222yxP, pontos por onde a reta passa, para se obter a equação da reta que passa por estes dois pontos podemos utilizar:

x y − yx yx

– EQUAÇÃO NORMAL DA RETA: y

AN
ϖB

Seja a reta 0N a reta Normal à reta AB, sua equação pode ser obtida utilizando a fórmula:

0=−+ pysenxcox ϖϖ

Dada a equação geral Ax + By + C = 0 para se obter a equação da reta normal a partir da reta geral, aplicamos a fórmula:

Cy BA

Bx BA

OBS.: Sendo que o sinal ± dependerá do sinal de C, ou seja, o sinal será sempre contrário ao sinal de C da equação geral. Quando não existir C na equação geral, será o mesmo sinal de B da equação geral.

Seja o ponto ),,(00yxPsua distância à reta r: de equação 0=++cbyax é obtida aplicando a fórmula:

cbyax

d rp +

Sejam as retas r: 0111=++cybxa e s: 0222=++cybxa que se interceptam no ponto ()0,yxP, dado, podemos obter a equação da reta que passa por esta interseção, aplicando a fórmula

8. EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA:

A equação geral da circunferência é toda equação escrita na forma: 022 =++++ FEyDxAyAx

Para se determinar a equação da circunferência, basta obtermos duas informações básicas, ou seja: As coordenadas do Centro da circunferência e o valor do raio, e utilizar a equação típica cartesiana para escrever a equação geral. Considerando que o centro da circunferência é o ponto C(h, k) e que o valor do raio é r, a equação típica passa a ser:

Circunferência com centro na origem do plano cartesiano:

Circunferência com centro fora da origem do plano cartesiano: 2 )()( rkyhx =−+−

Fórmulas para determinar as coordenadas do centro da circunferência e o valor do raio a partir da equação geral da circunferência.

Seja a equação geral 022=++++FEyDxyx

9. ESTUDO DAS CÔNICAS: 9.1 – PARÁBOLA:

Definição: Todo ponto P(x, y), situado em um lugar geométrico de forma que a distância deste ponto a um ponto fixo (Foco) é igual a distância deste mesmo ponto a uma reta fixa (Diretriz), este ponto está situado sobre uma Parábola.

MP(x, y)

D y aD’ = Diretriz

VF(a, 0) x e distância do vértice à diretriz

F(a, 0) = Foco a = Distância do vértice ao foco V(0, 0) = Vértice na origem

PF , desenvolvendo, chegamos a equação típica da parábola com vértice na origem do plano cartesiano e eixo de simetria em x:

O sinal ± depende da posição da parábola, ou seja, se estiver a direita da diretriz o sinal é positivo, se estiver a esquerda da diretriz o sinal é negativo.

Se o eixo de simetria for o eixo dos y e a parábola estiver com vértice na origem do plano cartesiano, então a equação típica será:

DD’

O sinal ± depende da posição da parábola, ou seja, se estiver acima da diretriz o sinal é positivo, se estiver abaixo da diretriz o sinal é negativo.

Com eixo de simetria em x: 0=±ax, o sinal depende da posição da parábola.

Com eixo de simetria em y: 0=±ay, o sinal depende da posição da parábola.

Seja o vértice de coordenada ()kh,, temos:

Eixo de simetria paralelo ao eixo x: Eixo de simetria paralelo ao eixo y:

Definição: Todo ponto P(x, y) situado sobre um lugar geométrico, de forma que a soma das distâncias deste ponto a dois pontos fixos (Focos) é igual a uma constante 2a (eixo maior), este ponto está situado sobre uma elípse. y D D P(x, y)

Pela definição temos:

obtemos a equação típica da elipse com centro na origem e eixo maior em x:

Se o centro da elipse estiver na origem e o eixo maior sobre o eixo y, a equação típica será:

Comprimento do eixo Maior da Elipse: 2a Comprimento do eixo Menor da Elipse: 2b a = Distância do centro da elipse aos vértices; b = Distância do centro da elipse às menores extremidades da elipse; c = Distância do centro da elipse aos focos. D’ = Diretrizes bya ayb

Na Elipse, temos:

Focos: F( - c, 0 ) e F’( c, 0 ) eixo maior em x e centro na origem;

F( 0, - c ) e F’( 0, c ) eixo maior em y e centro na origem;

Vértices: V( - a, 0) e V’( a, 0 ) eixo maior em x e centro na origem; V( 0, - a ) e V’( 0, a ) eixo maior em y e centro na origem.

Eixo maior sobre o eixo dos x:

Eixo maior sobre o eixo dos y:

- EQUAÇÃO TÍPICA DA ELÍPSE COM CENTRO ()kh,, FORA DA

ORIGEM: Com eixo maior paralelo ao eixo dos x:

Com eixo maior paralelo ao eixo dos y:

− b kya

− a kyb

- EXCENTRICIDADE: e < 1

9.3 – HIPÉRBOLE:

DD P(x, y)

Definição: Todo ponto P(x, y) situado sobre um lugar geométrico, de forma que a diferença das distâncias deste ponto a dois pontos fixos (Focos) é igual a uma constante 2a (eixo transverso), este ponto está situado sobre uma hipérbole. y a

D’D’

Focos: F( - c, 0 ) e F’( c, 0 ) eixo transverso em x e centro na origem;

F( 0, - c ) e F’( 0, c ) eixo transverso em y e centro na origem;

Vértices: V( -a, 0 ) e V’( a, 0 ) eixo transverso em x e centro na origem; V( 0, - a ) e V’( 0, a ) eixo transverso em y e centro na origem

Pela definição, temos:

obtemos a equação típica da hipérbole com centro na origem e eixo transverso sobre o eixo dos x:

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