Exercicios Resolvidos de Calculo Numerico

Exercıcios Resolvidos - Calculo Numerico

Eduardo Oda 21 de junho de 2005

Lista 5 Exercıcio 2 Achar a decomposicao LU da matriz:

Resolucao Para encontrar a decomposicao LU de uma matriz basta fazer a eliminacao de Guass guardando os multiplicadores de cada linha. Vamos guardar esses multiplicadores nas posicao que eles zeraram. Por exemplo, na primeira iteracao queremos zerar a primeira coluna da segunda linha, entao multiplicamos a primeira linha por 1 e subtraımos ela da segunda:

Sabemos que a posicao em negrito vai ser sempre zero, entao podemos guardar 1 nessa posicao para lembrarmos por qual valor multiplicamos a primeira linha. Procedendo da mesma maneira, sempre usando a primeira linha para zerar e guardando o

Pronto, agora para encontrar a decomposicao LU basta usar os valores encontrados:

Note que se quisermos resolver um sistema linear da forma Ax = b, onde a matriz A e a dada acima e b e qualquer vetor dado, entao podemos substituir A por LU obtendo um novo sistema: LUx = b. Se chamarmos Ux de z, ou seja, Ux = z, temos: Lz = b, esse sistema e facil resolver pois L e uma matriz triangular. Entao, depois de encontrar z, resolvemos o sistema: Ux = z, que tambem e facil de resolver pois U e triangular. Voce entendeu? Entao resolva o exercıcio 3 da lista 5.

Lista 7

Exercıcio 2 Sabemos os valores aproximados da exponencial em alguns pontos (Tabela 1). Esses valores podem ter sido obtidos experimentalmente, como a observacao (e registro) da densidade de uma populacao de bacterias no tempo x. Por exemplo, se x for horas, entao na primeira hora temos e1 = 2.718 bacterias por milimetro quadrado (isso e so ilustrativo, nao conheco nada de bacterias!). Por algum motivo nao queremos utilizar a expressao da exponencial, talvez algum motivo tecnico o apenas por conveniencia. Entao podemos utilizar uma tecnica de interpolacao, nesse caso o Metodo de Newton.

Tabela 1: Tabela a ser interpolada

Para escrever o polinomio interpolador na forma de Newton, devemos escrever a tabela das diferencas divididas (Tabela 2):

Tabela 2: Tabela de diferencas divididas Agora fica simples escrever o polinomio na forma de Newton:

Qual o erro que estamos cometendo? Sabemos que nas condicoes do problema que estamos tratando, o modulo do erro e majorado por (por que?):

|E(x)| ≤ |(x − x0)(x − x1)

(x − xn)|

Lista 8 Exercıcio 2 Sao dadas uma tabela (Tabela 3) abaixo e quatro funcoes (Tabela 4):

Tabela 3: Tabela a ser aproximada

Tabela 4: Funcao para definicao das funcoes aproximadoras

Queremos encontrar a funcao da famılia f(x) = af1(x) + bf2(x) que melhor aproxima a tabela 3, pelo MMQ. Ou seja, vamos encontrar os parametros a e b que mini- mizam o quadrado do erro.

Onde:

Agora usando esse mesmo processo para as funcoes g1 e g2, obtemos o seguinte sistema: