Diagramas lógicos

Diagramas lógicos

(Parte 1 de 3)

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1 AULA SEIS: Diagramas Lógicos

Olá, amigos!

Iniciamos nossa presente aula com uma notícia: hoje trataremos de um assunto que estava previsto para ser estudado em um encontro futuro. Todavia, melhor analisando, julgamos que é mais conveniente – didaticamente – encaixarmos o assunto “Diagramas Lógicos” agora. Daí, a troca é apenas essa: Diagramas Lógicos em vez de Associação Lógica. Este último assunto será visto oportunamente.

Atentem que não haverá, portanto, qualquer redução do conteúdo inicialmente previsto para este curso, senão uma mera troca na seqüência dos dois referidos assuntos.

Nos próximos dias colocaremos no fórum do curso on-line, uma síntese dos métodos utilizados nas soluções de questões de estruturas lógicas.

Pois bem! Iniciemos com a resolução do dever de casa que estava pendente da aula passada. Adiante!

01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.

Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul b) preto, azul, branco c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul e)) branco, azul, preto Sol.: O enunciado informa que: - Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.

- Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.

Também temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco. P2: ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul. P3: ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul. P4: ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.

Para resolvermos esta questão, devemos: 1º) considerar todas as premissas verdadeiras; 2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e

3º) Finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.

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Vamos escolher a proposição Fiesta é branco que aparece na 1ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Fiesta é branco é V.

Æ Teste da hipótese: Fiesta é branco é V. 1º. F 1º. V P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.

4º. F 3º. V P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.

1º. F 2º. V P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.

3º. F 1º. F P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.

1º passo) Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), e como cada carro possui cores diferentes, teremos: Gol é branco é F (em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e Fiesta é preto é F (em P4).

2º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Corsa é azul é V.

3º passo) Atribuir: Corsa é preto é F (em P4) e Corsa é azul é V (em P2). 4º passo) P2 é uma disjunção exclusiva, daí Gol é preto tem que ser F.

Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Claro que sim, pois obtemos que o Gol não é preto, nem branco e nem azul! Daí, a hipótese Fiesta é branco é Falsa! Vamos estabelecer outra hipótese (com relação ao Fiesta): Fiesta é preto é Verdade!

Æ Teste da hipótese: Fiesta é preto é V. 2º. V 1º. F P1. ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.

1º. F 3º. V P2. ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.

1º. F 3º. V P3. ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.

1º. F 1º. V P4. ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.

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1º passo) A hipótese é Fiesta é preto é V (em P4), e como cada carro deve ter cor diferente, teremos: Corsa é preto é F (em P4), Fiesta é branco é F (em P1), Gol é preto é F (em P2) e Fiesta é azul é F (em P3).

2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí Gol é branco é V.

3º passo) P2 e P3 devem ser verdadeiras, daí Corsa é azul é V.

Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Agora não houve!

Resultados obtidos: Fiesta é preto!

Gol é branco! Corsa é azul!

Portanto, a resposta é a alternativa E.

02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente:

a) Caio e José b)) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano

Sol.: Temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. P2: ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho.

A receita de bolo é a mesma. Ou seja, devemos agora: 1º) considerar todas as premissas verdadeiras; 2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e

3º) substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.

Vamos escolher a proposição Adriano é o mais velho que aparece na 2ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Adriano é o mais velho é V.

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Æ Teste da hipótese: Adriano é o mais velho é V.

1º. F 1º. F P1. ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço

1º. V 1º. F P2. ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho

1º passo) Da hipótese Adriano é o mais velho é V (em P2), teremos, mesmo sem fazer nenhuma operação com conectivos, que: Caio é o mais velho é F (em P2), José é o mais velho é F (em P1) e Adriano é o mais moço é F (em P1).

Só tivemos um passo!

Ao verificar a primeira premissa concluímos facilmente que, com os valores lógicos obtidos, esta não será verdadeira! Sabemos que para uma disjunção exclusiva ser verdadeira, é preciso que uma das proposições seja verdadeira e a outra, falsa. Daí, ocorreu uma contradição, pois a premissa deveria ser verdadeira!

Agora, vamos testar a seguinte hipótese: Adriano é o mais moço é V.

Æ Teste da hipótese: Adriano é o mais moço é V.

2º. F 1º. V P1. ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço

1º. F 3º. V P2. ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho

1º passo) Da hipótese Adriano é o mais moço é V (em P1), teremos, sem fazer nenhuma operação com conectivos, que: Adriano é o mais velho é F (em P2).

2º passo) P1 é uma disjunção exclusiva, daí José é o mais velho tem que ser F.

3º passo) P2 deve ser verdadeira, daí Caio é o mais velho é V.

Resultados obtidos: Adriano é o mais moço! Caio é o mais velho!

Portanto, a resposta é a alternativa B.

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03. (Técnico MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos.

Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente, a) professor, médico, músico. b) médico, professor, músico. c) professor, músico, médico. d) músico, médico, professor. e)) médico, músico, professor. Sol.: Temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: ou Ricardo é médico, ou Renato é médico. P2: ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico. P3: ou Renato é músico, ou Rogério é músico. P4: ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

Nossos passos de resolução serão aqueles mesmos: 1º) considerar todas as premissas verdadeiras; 2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e

3º) substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.

Vamos escolher a proposição Rogério é professor que aparece na 4ª premissa, e atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Rogério é professor é V.

Æ Teste da hipótese: Rogério é professor é V.

P1. ou Ricardo é médico, ou Renato é médico.

1º. F 1º. F P2. ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico.

1º. F P3. ou Renato é músico, ou Rogério é músico.

1º. V 1º. F P4. ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

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1º passo) Da hipótese Rogério é professor é V (em P4), teremos sem fazer nenhuma operação com conectivos que: Renato é professor é F (em P4), Ricardo é professor é F (em P2) e Rogério é músico é F (em P3).

Só tivemos um passo!

Ao verificar a segunda premissa concluímos facilmente que, com os valores lógicos obtidos, esta disjunção exclusiva não é verdadeira! daí ocorre uma contradição, pois a premissa deveria ser verdadeira!

Agora, vamos testar a seguinte hipótese: Rogério é músico é V.

Æ Teste da hipótese: Rogério é músico é V.

4º. V 3º. F P1. ou Ricardo é médico, ou Renato é médico.

1º. F 1º. V P2. ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico.

1º. F 1º. V P3. ou Renato é músico, ou Rogério é músico.

1º. F 2º. V P4. ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

1º passo) Da hipótese Rogério é músico é V (em P4), teremos, sem precisar fazer nenhuma operação com conectivos, que: Ricardo é professor é F (em P2), Renato é músico é F (em P3) e Rogério é professor é F (em P4).

2º passo) P4 é uma proposição verdadeira, daí Renato é professor é V.

3º passo) Como Renato é professor é V, em P1 vamos atribuir a Renato é médico o valor F.

4º passo) P4 é uma proposição verdadeira, daí Ricardo é médico é V.

Resultados obtidos: Rogério é músico! Renato é professor! Ricardo é médico!

Portanto, a resposta é a alternativa E.

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04. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:

1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Homero, João e Adolfo são inocentes. b)) Homero, João e Adolfo são culpados. c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.

Sol.: Temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: Se Homero é culpado, então João é culpado. P2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. P3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente. P4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.

Os passos de resolução são os mesmos já nossos conhecidos.

Vamos escolher a proposição Homero é culpado que aparece na 1ª e 4ª premissas, e atribuir o valor lógico V. Executaremos os seguintes passos abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Homero é culpado é V.

1º. V2º. V

Æ Teste da hipótese: Homero é culpado é V. P1. Homero é culpado → João é culpado.

1º. F3º. F

P2. Homero é inocente → (João ou Adolfo são culpados)

4º. F3º. F

P3. Adolfo é inocente → João é inocente.

5º. V1º. V

P4. Adolfo é culpado → Homero é culpado.

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1º passo) Da hipótese Homero é culpado é V (em P1 e P4), teremos que: Homero é inocente é F (em P2).

2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí João é culpado tem que ser V.

3º passo) Como João é culpado é V, em P3 vamos atribuir a João é inocente o valor F e na premissa P2 a disjunção João ou Adolfo são culpados vai ter valor V.

4º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Adolfo é inocente tem que ser F.

5º passo) Como Adolfo é inocente é F, em P4 atribuiremos a Adolfo é culpado o valor V.

Resultados obtidos: Homero é culpado! João é culpado! Adolfo é culpado!

Não houve contradição entre os resultados obtidos! E todas as premissas assumiram o valor lógico verdade!

Portanto, a resposta é a alternativa B.

05. (AFRE MG 2005 ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são, respectivamente:

a) Culpado, culpado, culpado. b) Inocente, culpado, culpado. c)) Inocente, culpado, inocente. d) Inocente, inocente, culpado. e) Culpado, culpado, inocente. Sol.:

Esta questão é muito parecida com a anterior. Para termos uma solução diferente da que fizemos anteriormente, vamos utilizar o método do encadeamento das premissas.

Temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: Se André é culpado, então Bruno é inocente. P2: Se André é inocente, então Bruno é culpado. P3: Se André é culpado, então Leo é inocente. P4: Se André é inocente, então Leo é culpado. P5: Se Bruno é inocente, então Leo é culpado

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Vamos atribuir letras as proposições simples; A = André é inocente B = Bruno é inocente L = Leo é inocente

P2:A → ~B
P4:A → ~L
P5:B → ~L

Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos: P1: ~A → B P3: ~A → L

Agora, vamos efetuar o encadeamento das premissas. Da aula passada, vimos que não há uma regra para a seqüência em que ficarão as premissas, devemos fazer por tentativa e erro, e modificando as premissas de forma que a segunda parte da condicional de uma premissa seja igual à primeira parte da condicional da premissa seguinte.

Para modificar as proposições condicionais devemos utilizar a regra de equivalência:

(p → q) = (~q → ~p). (Podemos memorizar essa equivalência com as palavras inverte e troca. Vejamos: inverte-se a ordem das proposições e trocam-se os sinais. Daí, apenas inverte e troca!)

Vamos tentar montar o quebra-cabeça: - Vamos iniciar pelo equivalente condicional de P2: B → ~A

- Depois da P2 vamos colocar a premissa P1:~A → B
- Depois da P1 vamos colocar a premissa P5:B → ~L

- Depois da P5 vamos colocar o equivalente condicional de P3: ~L → A

- Finalmente, depois da P4 vamos colocar a premissa P4:A → ~L

Assim, teremos o seguinte encadeamento: B → ~A → B → ~L → A → ~L

Uma vez que estamos trabalhando apenas com estruturas condicionais, devemos lembrar que a única situação inadmissível para uma condicional é V na primeira parte e F na segunda. Assim, de modo que nunca ponhamos um V antes de um F, teremos os seguintes possíveis valores lógicos a serem analisados:

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª B → ~A → B → ~L → A → ~L 1ª linha: V V V V V V 2ª linha: F V V V V V 3ª linha: F F V V V V 4ª linha: F F F V V V 5ª linha: F F F F V V 6ª linha: F F F F F V 7ª linha: F F F F F F

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10 Vamos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.

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