Diagramas lógicos

Diagramas lógicos

(Parte 2 de 3)

- Análise da 1ª linha:

Na 2ª coluna de valores lógicos ~A é V e na 5ª coluna A também é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 1ª linha!

- Análise da 2ª linha: Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 1ª linha!

- Análise da 3ª linha:

Na 1ª coluna de valores lógicos B é F e na terceira coluna B é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 3ª linha!

- Análise da 4ª linha: Não há contradições entre os valores lógicos, então mantemos esta linha!

- Análise da 5ª linha:

Na 4ª coluna de valores lógicos ~L é F e na sexta coluna ~L é V. Isto é impossível! Daí devemos descartar esta 5ª linha!

- Análise da 6ª linha: Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 5ª linha!

- Análise da 7ª linha: Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 5ª linha!

Da 4ª linha que restou, obtemos os seguintes valores lógicos:

A é V , daí: André é inocente! B é F , daí: Bruno é culpado! ~L é F (e L é V) , daí: Leo é inocente!

Portanto, a resposta é a alternativa C.

06. (AFC/STN 2005 ESAF) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias. Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Segue-se, portanto que, Pedro:

a) bebe, visita Ana, não lê poesias. b)) não bebe, visita Ana, não lê poesias. c) bebe, não visita Ana, lê poesias. d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias. e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.

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Sol.: Podemos resolver esta questão pelo Método da Atribuição, ou pelo Método do Encadeamento, e também pelo Método da Tabela-Verdade. Vamos escolher este último método para a solução desta questão.

Temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: Se Pedro não bebe, ele visita Ana. P2: Se Pedro bebe, ele lê poesias. P3: Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. P4: Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana.

Vamos atribuir letras as proposições simples; B = Pedro bebe A = Pedro visita Ana P = Pedro lê poesias

P2:B → P
P4:P → ~A

Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos: P1: ~B → A P3: ~A → ~P

construamos uma única tabela que contenha todas elas, conforme é mostrado abaixo

Devemos construir a tabela-verdade para cada uma das premissas! Como faremos uma comparação entre os valores lógicos obtidos das premissas é interessante que P1 P2 P3 P4

1ª B A P ~B ~B → A B P B → P ~A ~P ~A → ~P P ~A P → ~A 2ª V V V F V V V V F F V V F F 3ª V V F F V V F F F V V F F V 4ª V F V F V V V V V F F V V V 5ª V F F F V V F F V V V F V V 6ª F V V V V F V V F F V V F F 7ª F V F V V F F V F V V F F V 8ª F F V V F F V V V F F V V V 9ª F F F V F F F V V V V F V V

Temos que verificar qual é a linha da tabela acima cujos valores lógicos das premissas são todos V. Encontramos esta situação na 7ª linha! Passemos a observar na 7ª linha quais são os valores lógicos das proposições simples: B, A e P.

Resultados: B é F , daí: Pedro não bebe!

A é V , daí: Pedro visita Ana! P é F , daí: Pedro não lê poesias!

Portanto, a resposta é a alternativa B.

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07. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se

Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que:

a) Lauro é culpado e Sônia é culpada b) Sônia é culpada e Roberto é inocente c)) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente Sol.: Temos, no enunciado, as seguintes premissas: P1: Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. P2: Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. P3: Pedro é culpado ou Sônia é culpada.

Vamos atribuir letras as proposições simples; P = Pedro é inocente L = Lauro é inocente R = Roberto é inocente S = Sônia é inocente

Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos: P1: P → L P2: R → S P3: ~P ou ~S

Nesta questão, há quatro proposições simples (P, L, R e S), de sorte que fica muito trabalhoso utilizar o método da Tabela-verdade. Como nas alternativas de resposta aparece uma disjunção na alternativa “C” e uma condicional na alternativa “D”, é mais aconselhável utilizarmos o Método da Conclusão Falsa.

Este método consiste, conforme aprendemos, em se verificar a existência simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras.

Obviamente que, em enunciados de estruturas lógicas, somente são fornecidas as premissas, e a conclusão será uma das cinco alternativas da questão.

Daí, devemos realizar testes com as opções de resposta, a fim de descobrimos a correta, que será aquela em que a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras não for possível.

Pela regra de precedência dos testes das alternativas, iniciaremos pela alternativa C.

- Teste da alternativa C (Pedro é culpado ou Roberto é culpado):

Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos: Conclusão: ~P ou ~R

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13 Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.

Fazendo a conclusão falsa teremos: (~P ou ~R) é F . Sabemos que uma disjunção é falsa somente quando os termos que a compõe também são falsos.

Daí, teremos que ~P é F (e P é V), e ~R é F (e R é V). Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo:

1º. V 2º. V P1. P → L

1º. V 3º. V P2. R → S

1º. F 4º. F P3. ~P → ~S

1º passo) Substituir as proposições simples pelos valores lógicos obtidos acima, ou seja, P por V (em P1), ~P por F (em P3) e R por V (em P2).

2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí L é V.

3º passo) P2 deve ser verdadeira, daí S é V.

4º passo) Do resultado obtido no 3º passo, vamos substituir ~S por F (em P3).

Opa! A premissa P3 deve ser verdadeira, mas pelos valores lógicos que aparecem em P3, a premissa é falsa!

Daí, utilizando a alternativa C como conclusão falsa, concluímos que não é possível a existência de premissas verdadeiras e conclusão falsa.

Portanto, a resposta é a alternativa C.

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É isso! Passemos ao nosso assunto de hoje!

Na aula quatro, vimos a importância do uso de diagramas de círculos na análise da validade dos argumentos. Hoje, vamos tecer mais detalhes sobre o uso de diagramas de círculos (ou diagramas lógicos), e também sobre questões de lógica que envolvem as palavras todo, algum e nenhum.

São ditas proposições categóricas as seguintes:

Æ Todo A é B Æ Nenhum A é B Æ Algum A é B e Æ Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A.

Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B.

Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam.

Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.

um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências:

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A.

e estar, tais como é, são, está, foi, eram,, como elo de ligação entre A e B.

Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser

Como nesta aula teremos várias questões envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, resolvemos listar algumas regras que já foram vistas na aula dois.

Todo A é B = Todo A não é não B Algum A é B = Algum A não é não B Nenhum A é B = Nenhum A não é não B

Todo A é não B = Todo A não é B Algum A é não B = Algum A não é B Nenhum A é não B = Nenhum A não é B

Nenhum A é B = Todo A é não B Todo A é B = Nenhum A é não B

A negação de Todo A é Bé Algum A não é B (e vice-versa)

A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa)

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Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de

Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

Nenhum A é Bé falsa.
Algum A é Bé verdadeira.

Algum A não é B é falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

Todo A é Bé falsa.
Algum A é Bé falsa.

Algum A não é B é verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

Nenhum A é Bé falsa.
Todo A é Bé indeterminada – pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).

Algum A não é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).

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16 4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

Todo A é Bé falsa.
Algum A é Bé indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3).

Nenhum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2).

Alguém vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resolução das questões abaixo, conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos diagramas lógicos!

Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta. Passemos às resoluções!

Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

Sol.:

livro instrutivo

A B A B 1 2

3 A B

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Pode haver questão mais fácil que esta?

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa!

A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam como todos os elementos do diagrama vermelho estão inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

Resposta: opção B.

01. (TTN-98 ESAF) Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então é necessariamente verdadeiro que:

a)) algum A não é G;d) algum G é A;
b) algum A é Ge) nenhum G é A;

c) nenhum A é G;

Sol.:

Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas: 1. Alguns A são R 2. Nenhum G é R

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta.

Na verdade, para esta questão, não é necessário fazer representações gráficas, pois se observarmos as alternativas, já podemos excluir as alternativas “b” e “d” (pois algum A é G é equivalente a algum G é A, e não podemos ter duas respostas corretas), e também excluir as alternativas “c” e “e” (pois nenhum A é G é o mesmo que nenhum G é A). Só restando-nos a alternativa “a” para marcar como correta.

Mas para efeitos didáticos vamos também resolver esta questão por diagramas de círculos!

Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.

Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações.

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alternativas que foram verdadeiras no teste anterior

Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as

entre eles

Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção

Teste das alternativas: 1º) Teste da alternativa “a” (algum A não é G)

Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G.

Passemos para o teste da próxima alternativa. 2º) Teste da alternativa “b” (algum A é G)

Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “d” não é correta.

Passemos para a próxima. 3º) Teste da alternativa “c” (Nenhum A é G)

Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “e” não é correta.

Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B b) todo C é A c)) algum A é C d) nada que não seja C é A e) algum A não é C

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Sol.: Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas: 1. Existe pelo menos um A que é B (= Algum A é B) 2. Todo B é C

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta.

A alternativa “d” traz a seguinte sentença: nada que não seja C é A, isto é o mesmo que nenhum não C é A, ou de outra forma nenhum A é não C. Podemos também passar para a forma equivalente: Todo A é C. Daí, a alternativa “d” ficou igual a alternativa “b”, portanto estas alternativas não podem ser resposta da questão. Vamos iniciar pela representação da proposição categórica Todo B é C:

Para a proposição categórica do Algum A é B, usaremos a representação mostrada abaixo:

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e C, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, B e C). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações.

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