Transformações Lineares

Transformações Lineares

Transformação Linear

Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função WVT→: é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:

TL2. Para todo Vv∈e para todo R∈k, )()(vTkvkT⋅=⋅

Exemplos:

Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores
Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar

T é uma transformação linear (Verifique !) Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção ortogonal sobre o plano XY.

(x, y) y x X

-y T(x, y)=(-x, -y) T

A transformação linear WVT→:0 tal que WvTv00=)( a é denominada Transformação Nula. Seja a transformação linear WVT→:. Se os conjuntos V e W são iguais, WV=, então T é denominada um Operador Linear.

As transformações lineares R→VT: são denominadas Funcionais Lineares

O operador linear VVIV→: tal que vvIvV=)( a é denominado Operador Identidade.

Y (x, y, z)

Y T(x, y, z)=(x, y, 0)

T(v) T(u)

T(v+u) v v+u

T(v) v+u

T(v+u) u T(u)

T(u) T(v) v+u u v

T(v+u) Y

Portanto, se WVT00≠)( então T não é uma transformação linear.

2. Seja WVT→: uma transformação linear.

Vvvvn∈,...,,21 e para quaisquer R∈nkkk,...,,21

Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT→:.

T(u)

T(v) v+u

T(v+u) Y

que define este operador?

Portanto, qualquer vetor 2R∈v pode ser escrito como combinação linear destes vetores.

Aplicando o operador linear,

),(xyxTyxT xyxyxx

Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma transformação linear WVT→: é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja

N(T) Im(T)

Propriedades 1. )(TN é um subespaço vetorial de V.

2. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem : )Im(dim)(dimdimTTNV+=

Representação gráfica,

N(T) : x+y=0

Y : Im(T) Z

T R2

Transformação Linear Injetora Uma transformação linear WVT→: é injetora, se para quaisquer Vuv∈,, se uv≠ então

Se ),,(),,(),(),(tztzyxyxtzTyxT+=+∴=

Então tzyx ty zx

)}0,0(),2(|),{()}0,0(),(|),{()( =+∈==∈= yxxyxyxTyxTN 2 R

Transformação Linear Sobrejetora

Uma transformação linear WVT→: é sobrejetora se o conjunto imagem de T é o conjunto W, isto é, WT=)Im(.

Exemplo: O operador linear em R2 do exemplo anterior é injetor

Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo Uma transformação linear WVT→: é bijetora quando for injetora e sobrejetora. Transformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, V e W são denominados espaços vetoriais isomorfos.

transformação VWT→−:1 tal que WITT=−1o e VITT=−o1A transformação 1−T é

Uma transformação WVT→: é denominada de transformação invertível quando existir uma denominada a transformação inversa de T. As transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis.

invertível

Teorema: Seja WVT→: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se T é

linear
Então, )1,0()()0,2(),(2−⋅−+⋅=yx
1−⋅−+⋅=−−yTyxTx
)1,0()()0,2(112−⋅−+⋅=−−TyTx
Logo, a lei é ()yyxTx−=−,),(21

T(v)=w V

Matriz Associada a uma Transformação Linear

Sejam V um espaço vetorial n-dimensional, W um espaço vetorial m-dimensional e WVT→: uma transformação linear.

n vkvkvkv ⋅++⋅+⋅=21

m m wa...wawavT ... wa...wawavT wa...wawavT

(3)

nnakakakl 121+++=
nnakakakl 22222112+++=
mnnmmm akakakl +++=21

Comparando (2) e (4), tem-se: Na forma matricial:

n n m k

l ... l l ou seja,

A matriz ABT][ é a matriz associada a transformação T em relação as bases A e B. Exemplo: Seja a transformação linear : 32RR→Ttal que ),,(),(yxyxyxT+=. Sendo A a base

)]3,2[(A

Por exemplo, . 1

As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R2 em relação à base canônica.

Dilatação ou Contração de fator k na direção do

− yxsen sen θθ θθ cos θθ θθ coscos yxsen ysenx

Operações com Transformações Lineares 1. Adição

Sejam WVTWVT→→: e :21 transformações lineares. Define-se a adição de 21 com T como sendo a transformação linear:

3R→+TTtal que)2,2,(),,)(( 21zyxzyxTT=+

do R3.

2. Multiplicação por Escalar

Sejam WVT→: uma transformação linear e R∈k um escalar. Define-se a transformação linear produto de T pelo escalar k como sendo: :)(WVTk→⋅

Matricialmente, ABABTkTk][][⋅=⋅ , onde A é uma base de V e B é uma base de W.

3. Composição

Sejam WUTUVT→→: e :21 transformações lineares. Define-se a composta de 21 com T como sendo a transformação linear:

Matricialmente, ABBCACTTTT][][][1212⋅=o, onde A é uma base de V , B é uma base de U e C é uma base de W.

Propriedades de Transformações Invertíveis

Exercícios 1) Verificar se as transformações são lineares:

2 zyxzyxTzyxT +=→a

: yxzyxTzyxT =→a 23 R

}0{, ),,(),(),(

babyaxyxTyxT a

+−=→ yxzyxTzyxT a e)

),(),(

xyxTyxT =→ : a

3) Seja )(RnnMat× o espaço vetorial das matrizes quadradas nn× sobre R e )(RnnMatM×∈ uma matriz arbitrária qualquer.

x yxT

6) Encontre a lei que define a transformação linear 2R→:T que faz associar

9) Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:

zyxzyxzyxTzyxT ++++=→a

)3,2,(),(),(

b) :

12) Indique a lei de 1−T para cada uma das transformações lineares:

xyyxTyxT −=→a b)

)(

vvIv VI V =→ : a

),,,()(

xyzt tz yx T tz

MatT

a) ABT][ considerando A e B bases canônicas.

Determine:

c) TSo d) SSo

17) Escolha alguns vetores de R2, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.

18) Repita os mesmos passos do exercício anterior, para o operador T.

a) Ache uma base para )(TN. b) Ache uma base para )Im(T.

2) Seja 32RR→:T a transformação linear definida por )0,,2(),(xyxyxT−+=

a) Qual a lei que define T? b) Determine o núcleo de T e uma base para )(TN.

c) Determine a imagem de T e uma base para )Im(T.

encontre []ABT.

coordenadas de BvT)]([ sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do R2 são

27) Sabendo que a transformação linear 2R→:θT, cuja matriz em relação à base canônica é θθ cossen sencos x v][ indica a rotação do vetor v de um ângulo θ.

Assim, ][ cossen sencos

Determine a lei de T.

Respostas

1) b) Sim 2) 0=k 3) Sim yx yxT

b) )4,8,4()1,2(−−−=−T
b)
2R=)Im(T
d) 
c) 
base )}0,3,1{(:)(TN
d) Não, pois T não é injetora.
}0653|),,{()Im(=−+∈=zyxzyxT3R
b)
b) 
c) 
)]([BvT

Teo34. Seja WVT→: uma transformação linear.

dem.: (indução em n)
)()(...)()( 121 ++ ⋅+⋅++⋅+⋅ n vTkvTkvTkvTk
Logo, vale a igualdade para todo 2,≥∈nnN

Corolário34: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT→:.

i) )()()(uTvTuvT−=−, para quaisquer Vuv∈,

Teo36. Seja WVT→: uma transformação linear e S um subespaço vetorial do espaço vetorial V então })( que tal existe |{)(wsTSsWwST=∈∈= é um subespaço vetorial do espaço W.

dem.: (Sub1) Por hipótese, VS≤.

Então, existem Svv∈21, tais que 1)(wvT= e 2)(wvT=

(Sub3) Sejam R∈∈kSTw e )(.

Como, VS≤. Pelo fechamento para operação de multiplicação por escalar em S, Svk∈⋅. Então, )(STwk∈⋅.

Logo, vale o fechamento para operação de multiplicação por escalar em )(ST.

Teo37. )(TN é um subespaço vetorial de V.

Teo38. )Im(T é um subespaço vetorial de W.

Teo39. (Teorema do Núcleo e da Imagem) Seja WVT→: uma transformação linear . Então )Im(dim)(dimdimTTNV+=.

Considere o vetor vululuss−⋅++⋅=...1(3)
Mas, )(],...,[1TNvvt=
Então, existem R∈tkk,...,1 tais que ttvkvku⋅++⋅=...1(4)
De (3) e (4), ttssvkvkvulul⋅++⋅=−⋅++⋅1.
Assim, ttssvkvkululv⋅−−⋅−⋅++⋅=1.
Então, Vuuvvst=],...,,,...,[1(5)
Seja Vssttttukukvkvk0=⋅++⋅+⋅++⋅++1, com R∈+stkk,...,1. (6)
Assim, ) ()( 1 Vsstttt TukukvkvkT 0=⋅++⋅+⋅++⋅ ++ .
Pelo Teo33, WssttttukukvkvkT0=⋅++⋅+⋅++⋅++)(1.
Então, WtWvTvT00==)(,...,)(1(7)
De (1) e (7), WssttWtWwkwkkk000=⋅++⋅+⋅++⋅++1.
Então, },...,,,...,{11stuuvv é linearmente independente(8)
De (5) e (8), },...,,,...,{11stuuvv é uma base de V
Logo, )Im(dim)(dimdimTTNstV+=+=

Teo40. Seja WVT→: é uma transformação linear. T é uma transformação linear injetora se e

Assim, Vuv0=−. Então, uv=. Logo, T é uma transformação linear injetora.

Teo42.Seja WVT→: é uma transformação linear injetora e WVdimdim=. Então a transformação linear T é sobrejetora.

Teo43.Seja WVT→: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se for invertível.

)Im()](),...,(),([21TvTvTvTn=

Teo47. Seja WVQ→:, WVR→:, UWS→: e UWT→: transformações lineares e R∈k.

Teo49. Seja ),(WVL(ou ),(WVHom) o conjunto de todas as transformações lineares de V em W e as seguintes operações:

)()())(( que tal),(
)())(( que tal),(
Então ],,),,([⋅+RWVL é um espaço vetorial

Teo50. Se nV=dim e mW=dim então nmWVL=),(dim.

O conjunto ),(RVL ou ),(RVHom ou *V de todos os funcionais de V em R é denominado espaço vetorial dual de V.

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