Álgebra Linear e suas Aplicações - Cap. 2 Matrizes e Sistemas Lineares - Unicamp

Álgebra Linear e suas Aplicações - Cap. 2 Matrizes e Sistemas Lineares - Unicamp

(Parte 1 de 9)

Algebra Linear e suas Aplicacoes Notas de Aula

Petronio Pulino

sqPULINUS

Algebra Linear e suas Aplicacoes Notas de Aula

Petronio Pulino

Departamento de Matematica Aplicada

Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

E–mail: pulino@ime.unicamp.br Homepage: w.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/

Conteudo

1.1 Operacao Binaria. Grupos2
1.2 Corpo Comutativo7
1.3 Corpo com Valor Absoluto10
1.4 Corpo Ordenado12
1.5 Valor Absoluto num Corpo Ordenado15
1.6 Numeros Reais17
1.7 Numeros Complexos20
1.8 Caracterıstica do Corpo25
1.9 Metricas27

1 Estruturas Algebricas 1

2.1 Matrizes30
2.2 Tipos Especiais de Matrizes41
2.3 Inversa de uma Matriz59
2.4 Matrizes em Blocos63
2.5 Operacoes Elementares. Equivalencia76
2.6 Forma Escalonada. Forma Escada81
2.7 Matrizes Elementares84
2.8 Matrizes Congruentes. Lei da Inercia101
2.9 Sistemas de Equacoes Lineares107

2 Matrizes e Sistemas Lineares 29

3.1 Espaco Vetorial. Propriedades140
3.2 Subespaco Vetorial147
3.3 Combinacao Linear. Subespaco Gerado154
3.4 Soma e Interseccao. Soma Direta158
3.5 Dependencia e Independencia Linear167
3.6 Bases e Dimensao173
3.7 Coordenadas204
3.8 Mudanca de Base212

3 Espacos Vetoriais 139 i i CONTEUDO

4.1 Transformacoes do Plano no Plano220
4.2 Transformacao Linear221
4.3 Nucleo e Imagem226
4.4 Posto e Nulidade232
4.5 Espacos Vetoriais Isomorfos244
4.6 Algebra das Transformacoes Lineares249
4.7 Transformacao Inversa253
4.8 Representacao Matricial268

4 Transformacoes Lineares 219

5.1 Introducao284
5.2 Definicao de Produto Interno284
5.3 Desigualdade de Cauchy–Schwarz297
5.4 Definicao de Norma. Norma Euclidiana299
5.5 Definicao de Angulo. Ortogonalidade303
5.6 Base Ortogonal. Coeficientes de Fourier311
5.7 Processo de Gram–Schmidt316
5.8 Complemento Ortogonal324
5.9 Decomposicao Ortogonal329
5.10 Identidade de Parseval337
5.1 Desigualdade de Bessel339
5.12 Operadores Simetricos341
5.13 Operadores Hermitianos345
5.14 Operadores Ortogonais347
5.15 Projecao Ortogonal353
5.16 Reflexao sobre um Subespaco361
5.17 Melhor Aproximacao em Subespacos365

5 Produto Interno 283

6.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear370
6.2 Autovalor e Autovetor de uma Matriz379
6.3 Multiplicidade Algebrica e Geometrica394
6.4 Matrizes Especiais399
6.5 Aplicacao. Classificacao de Pontos Crıticos411
6.6 Diagonalizacao de Operadores Lineares416

CONTEUDO i

7.1 Introducao464
7.2 Funcionais Lineares465
7.3 Espaco Dual471
7.4 Teorema de Representacao de Riesz488

7 Funcionais Lineares e Espaco Dual 463

8.1 Introducao494
8.2 Decomposicao de Schur. Teorema Espectral495
8.3 Normas Consistentes em Espacos de Matrizes501
8.4 Analise de Sensibilidade de Sistemas Lineares514
8.5 Sistema Linear Positivo–Definido532
8.6 Metodos dos Gradientes Conjugados537
8.7 Fatoracao de Cholesky552
8.8 Metodos Iterativos para Sistemas Lineares563
8.9 Sistema Linear Sobredeterminado588
8.10 Subespacos Fundamentais de uma Matriz594
8.1 Projecoes Ortogonais612
8.12 Matriz de Projecao Ortogonal618
8.13 Fatoracao QR626
8.14 Modelos de Regressao Linear644
8.15 Solucao de norma–2 Mınima681
8.16 Problemas de Ponto Sela692
8.17 Decomposicao em Valores Singulares708

8 Algebra Linear Computacional 493 Bibliografia 731 iv CONTEUDO iv CONTEUDO c©Petronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP

2 Matrizes e Sistemas Lineares

2.1 Matrizes30
2.2 Tipos Especiais de Matrizes41
2.3 Inversa de uma Matriz59
2.4 Matrizes em Blocos63
2.5 Operacoes Elementares. Equivalencia76
2.6 Forma Escalonada. Forma Escada81
2.7 Matrizes Elementares84
2.8 Matrizes Congruentes. Lei da Inercia101
2.9 Sistemas de Equacoes Lineares107

Conteudo 29

30 Algebra Linear e suas Aplicacoes: Notas de Aula

2.1 Matrizes

Definicao 2.1.1 Denominamos matriz a um conjunto de numeros reais, ou a um conjunto de numeros complexos, dispostos em linhas e colunas, numa certa ordem, e colocados entre colchetes. Assim, uma matriz real, ou uma matriz complexa, que vamos denotar por A, com m linhas e n colunas e representada da forma:

com aij ∈ IR, ou aij ∈ C. Os escalares aij sao denominados elementos da matriz, onde o primeiro ındice indica a linha e o segundo ındice indica a coluna as quais pertence o elemento. Neste caso, dizemos que a matriz A e de ordem m × n. Por simplicidade, vamos utilizar a indicacao A = [aij] para denotar a matriz A e seus elementos.

Definicao 2.1.2 Dizemos que uma matriz A = [aij] de ordem m × n e quadrada se m = n, isto e, se possui o mesmo numero de linhas e de colunas. Neste caso, dizemos simplesmente que A e uma matriz de ordem n.

Definicao 2.1.3 Dizemos que uma matriz A = [aij] de ordem m×n e a matriz nula se seus elementos aij sao todos nulos. Neste caso, denotamos A = 0. Frequentemente, indicamos 0m×n para denotar uma matriz nula de ordem m×n, onde pode causar alguma duvida sobre a ordem da matriz.

Definicao 2.1.4 Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes de ordem m × n. Dizemos que as matrizes A e B sao iguais se, e somente se,

Definicao 2.1.5 Dizemos que uma matriz A = [aij] de ordem m × 1 e uma matriz coluna, que representamos por:

Petronio Pulino 31

Definicao 2.1.6 Dizemos que uma matriz A = [aij] de ordem 1 × n e uma matriz linha, que representamos por:

Em geral, uma matriz coluna tambem e denominada vetor coluna e uma matriz linha tambem e denominada vetor linha. Em particular, podemos considerar um escalar a ∈ IR, ou a ∈ C, como uma matriz de ordem 1 × 1.

Exemplo 2.1.1 A seguir temos o exemplo de uma matriz real

Exemplo 2.1.2 Determine os valores de a, b, c e d de modo que A = B, onde

Exemplo 2.1.3 A seguir temos o exemplo de uma matriz complexa

Exemplo 2.1.4 A seguir temos o exemplo de uma matriz coluna real X, de ordem 3×1, e de uma matriz linha Y , de ordem 1 × 4,

De modo analogo, podemos considerar uma matriz coluna complexa e uma matriz linha complexa. Nos casos em que fica claro qual e a ordem da matriz podemos omitir essa especificacao. Omitimos tambem se a matriz e real ou complexa nos casos que nao causam duvidas ou que o resultado e valido tanto para matriz real quanto para matriz complexa.

32 Algebra Linear e suas Aplicacoes: Notas de Aula

Definicao 2.1.7 Considere os seguintes subconjuntos de IN

A : Im ×In −→ IF que para cada para ordenado (i,j) ∈ Im × In esta associado um unico escalar aij = A(i,j) ∈ IF , denominado elemento da matriz A.

Rigorosamente falando, a tabela retangular exibida na Definicao 2.1.1, nao e uma matriz, mas sim a representacao de uma matriz.

Exemplo 2.1.5 Considere o seguinte conjunto I3 = {1, 2, 3}. Vamos definir uma matriz real A : I3 × I3 −→ IR da seguinte forma:

que e denominada matriz de Hilbert de ordem 3 × 3.

De acordo com a Definicao 2.1.1, representamos a matriz A da seguinte forma:

De modo analogo, definimos a matriz de Hilbert de ordem n × n.

Exemplo 2.1.6 Considere o seguinte conjunto I4 = {1, 2, 3, 4}. Vamos definir uma matriz real A : I4 × I4 −→ IR cuja regra funcional e dada por:

aij = A(i,j) = |i − j | . De acordo com a Definicao 2.1.1, representamos a matriz A da seguinte forma:

Petronio Pulino 3

Definicao 2.1.8 Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes de ordem m × n. Definimos a soma das matrizes A e B, que denotamos por A + B, como sendo a matriz C = [cij], de ordem m × n, onde cada elemento e definido da seguinte forma:

Por simplicidade, indicamos A + B = [aij + bij] para denotar a soma das matrizes A e B. De modo analogo, definimos a diferenca das matrizes A e B, que denotamos

Definicao 2.1.9 Sejam A = [aij] uma matriz de ordem m × n e um escalar λ. Definimos a multiplicacao da matriz A pelo escalar λ, e denotamos λA, como sendo a matriz C = [cij], de ordem m × n, onde cada elemento e definido da seguinte forma:

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