Álgebra Linear e suas Aplicações - Cap. 4 Transformações Lineares - Unicamp

Álgebra Linear e suas Aplicações - Cap. 4 Transformações Lineares - Unicamp

(Parte 1 de 9)

Algebra Linear e suas Aplicacoes Notas de Aula

Petronio Pulino

QtQ = sqPULINUS

Algebra Linear e suas Aplicacoes Notas de Aula

Petronio Pulino

Departamento de Matematica Aplicada

Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

E–mail: pulino@ime.unicamp.br Homepage: w.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/

Conteudo

1.1 Operacao Binaria. Grupos2
1.2 Corpo Comutativo7
1.3 Corpo com Valor Absoluto10
1.4 Corpo Ordenado12
1.5 Valor Absoluto num Corpo Ordenado15
1.6 Numeros Reais17
1.7 Numeros Complexos20
1.8 Caracterıstica do Corpo25
1.9 Metricas27

1 Estruturas Algebricas 1

2.1 Matrizes30
2.2 Tipos Especiais de Matrizes41
2.3 Inversa de uma Matriz59
2.4 Matrizes em Blocos63
2.5 Operacoes Elementares. Equivalencia76
2.6 Forma Escalonada. Forma Escada81
2.7 Matrizes Elementares84
2.8 Matrizes Congruentes. Lei da Inercia101
2.9 Sistemas de Equacoes Lineares107

2 Matrizes e Sistemas Lineares 29

3.1 Espaco Vetorial. Propriedades140
3.2 Subespaco Vetorial147
3.3 Combinacao Linear. Subespaco Gerado154
3.4 Soma e Interseccao. Soma Direta158
3.5 Dependencia e Independencia Linear167
3.6 Bases e Dimensao173
3.7 Coordenadas204
3.8 Mudanca de Base212

3 Espacos Vetoriais 139 i i CONTEUDO

4.1 Transformacoes do Plano no Plano220
4.2 Transformacao Linear221
4.3 Nucleo e Imagem226
4.4 Posto e Nulidade232
4.5 Espacos Vetoriais Isomorfos244
4.6 Algebra das Transformacoes Lineares249
4.7 Transformacao Inversa253
4.8 Representacao Matricial268

4 Transformacoes Lineares 219

5.1 Introducao284
5.2 Definicao de Produto Interno284
5.3 Desigualdade de Cauchy–Schwarz297
5.4 Definicao de Norma. Norma Euclidiana299
5.5 Definicao de Angulo. Ortogonalidade303
5.6 Base Ortogonal. Coeficientes de Fourier311
5.7 Processo de Gram–Schmidt316
5.8 Complemento Ortogonal324
5.9 Decomposicao Ortogonal329
5.10 Identidade de Parseval337
5.1 Desigualdade de Bessel339
5.12 Operadores Simetricos341
5.13 Operadores Hermitianos345
5.14 Operadores Ortogonais347
5.15 Projecao Ortogonal353
5.16 Reflexao sobre um Subespaco361
5.17 Melhor Aproximacao em Subespacos365

5 Produto Interno 283

6.1 Autovalor e Autovetor de um Operador Linear370
6.2 Autovalor e Autovetor de uma Matriz379
6.3 Multiplicidade Algebrica e Geometrica394
6.4 Matrizes Especiais399
6.5 Aplicacao. Classificacao de Pontos Crıticos411
6.6 Diagonalizacao de Operadores Lineares416

CONTEUDO i

7.1 Introducao464
7.2 Funcionais Lineares465
7.3 Espaco Dual471
7.4 Teorema de Representacao de Riesz488

7 Funcionais Lineares e Espaco Dual 463

8.1 Introducao494
8.2 Decomposicao de Schur. Teorema Espectral495
8.3 Normas Consistentes em Espacos de Matrizes501
8.4 Analise de Sensibilidade de Sistemas Lineares514
8.5 Sistema Linear Positivo–Definido532
8.6 Metodos dos Gradientes Conjugados537
8.7 Fatoracao de Cholesky552
8.8 Metodos Iterativos para Sistemas Lineares563
8.9 Sistema Linear Sobredeterminado588
8.10 Subespacos Fundamentais de uma Matriz594
8.1 Projecoes Ortogonais612
8.12 Matriz de Projecao Ortogonal618
8.13 Fatoracao QR626
8.14 Modelos de Regressao Linear644
8.15 Solucao de norma–2 Mınima681
8.16 Problemas de Ponto Sela692
8.17 Decomposicao em Valores Singulares708

8 Algebra Linear Computacional 493 Bibliografia 731 iv CONTEUDO iv CONTEUDO c©Petronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP

4 Transformacoes Lineares

4.1 Transformacoes do Plano no Plano220
4.2 Transformacao Linear221
4.3 Nucleo e Imagem226
4.4 Posto e Nulidade232
4.5 Espacos Vetoriais Isomorfos244
4.6 Algebra das Transformacoes Lineares249
4.7 Transformacao Inversa253
4.8 Representacao Matricial268

220 Algebra Linear e suas Aplicacoes: Notas de Aula

4.1 Transformacoes do Plano no Plano

Exemplo 4.1.1 Considere o espaco vetorial real IR2, e um escalar λ ∈ IR fixo. A transformacao T : IR2 −→ IR2

Exemplo 4.1.2 Considere o espaco vetorial real IR2. A transformacao

e a reflexao em torno do eixo–ox.

Exemplo 4.1.3 Considere o espaco vetorial real IR2. A transformacao

e a reflexao em torno da origem.

Exemplo 4.1.4 Considere o espaco vetorial real IR2. Dado um elemento (a,b) ∈ IR2, a transformacao

e uma translacao.

Exemplo 4.1.5 Considere o espaco vetorial real IR2. A transformacao

e uma rotacao de um angulo θ no sentido anti–horario.

Petronio Pulino 221

4.2 Transformacao Linear

Definicao 4.2.1 Sejam V e W espacos vetoriais sobre o corpo IF e T uma aplicacao de V em W. Dizemos que T e uma Transformacao Linear se possui as seguintes propriedades:

Das duas propriedades de transformacao linear, obtemos facilmente que

T(au + bv) = aT(u) + bT(v) para todo u, v ∈ V e todos escalares a, b ∈ IF. Por inducao, obtemos uma relacao

mais geral T ( n∑

para quaisquer elementos u1, · , un ∈ V e quaisquer escalares αj, · , αn ∈ IF.

Finalmente, fazendo λ = 0 na propriedade (b), tem–se T(0V ) = 0W.

Exemplo 4.2.1 Seja V um espaco vetorial sobre o corpo IF. Vamos definir a seguinte transformacao linear T(v) = v para todo v ∈ V , que e a transformacao identidade, denotada por IV .

Exemplo 4.2.2 Seja V um espaco vetorial sobre o corpo IF. Vamos definir a seguinte transformacao linear T(v) = 0V para todo v ∈ V , que e a transformacao nula.

Exemplo 4.2.3 Dado um elemento c = (c1, · , cn) ∈ IRn fixo, porem arbitrario, vamos definir a seguinte transformacao linear

j=1 cj xj

A transformacao linear T e o produto escalar entre o elemento x e o elemento c.

2 Algebra Linear e suas Aplicacoes: Notas de Aula

Exemplo 4.2.4 Seja V um espaco vetorial real. Considerando um escalar λ ∈ IR fixo, porem arbitrario, definimos a seguinte transformacao linear

A transformacao linear T e uma contracao para |λ| < 1. Quando |λ| > 1, dizemos que a transformacao linear T e uma expansao.

Exemplo 4.2.5 Considerando os espacos vetoriais reais C([a,b]) e C1([a,b]), definimos a seguinte transformacao linear

Exemplo 4.2.6 Considerando os espacos vetoriais reais C([a,b]) e C1([a,b]), definimos a seguinte transformacao linear

Exemplo 4.2.7 Considere os espacos vetoriais reais IRm e IRn. Dada uma matriz

A = [aij] ∈ IMm×n(IR), definimos a transformacao linear associada a matriz A da seguinte forma:

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