Apostila - Circuitos de Corrente Alternada

Apostila - Circuitos de Corrente Alternada

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Circuitos de Corrente Alternada Notas de Física Experimental

Prof. Hugo L. Fragnito Unicamp – IFGW

Campinas, Setembro de 2000 Última revisão: Janeiro de 2005

C:\HUGO\CURSOS\ac\Livro.doc Impresso em 31-07-07

1. CONCEITOS BÁSICOS1
1.1 A linha de alimentação2
1.2 Voltagem e corrente reais3
2. VOLTAGEM E CORRENTE COMPLEXAS7
3. IMPEDÂNCIA COMPLEXA9
3.1 Equivalente Thévenin1
3.2 Impedância interna de geradores e instrumentos de medição12
3.3 Potência média16
4. FILTROS19
4.1 Função de transferência e Transmitância19
5. CIRCUITOS RESSONANTES23
5.1 Ressonância série23
5.2 Ressonância paralela24
5.3 Filtros ressonantes26
6. RESISTORES, CAPACITORES E INDUTORES REAIS29
6.1 Resistores29
6.2 Indutores31
6.3 Capacitores3
6.4 Ressonâncias espúrias3
7. CIRCUITOS DE C.A. COM GERADOR DE FUNÇÃO ARBITRÁRIA35
7.1 Circuito integrador38
7.2 Circuito diferenciador40
8. TRANSIENTES NO CIRCUITO RESSONANTE SÉRIE43
8.1 Estudos avançados46
9. TRANSFORMADORES51
9.1 Generalidades51
9.2 Transformador ideal52
9.3 Alguns Tipos de Transformadores53
9.4 Impedância refletida54
9.5 Transformador real54
10. LINHAS DE TRANSMISSÃO57
10.1 Impedância característica57
10.2 Impedância Característica de um Cabo Coaxial59
10.3 Coeficiente de Reflexão59
10.4 Propagação de ondas em linhas de transmissão61
10.5 Atenuação61

Conteúdo APÊNDICES ...................................................................................................................... ........................................65

Os elementos essenciais de circuitos de corrente alternada (c.a.) são os Geradores de c.a. e elementos passivos e lineares que são uma combinação de Resistores, Capacitores ou Indutores em série ou em paralelo. Alguns circuitos poderão ter ainda transformadores, mas excluiremos os casos em que os transformadores exibam histerese ou saturação, já que esses seriam elementos não lineares; igualmente excluiremos outros elementos como diodos (que são não-lineares) e amplificadores a transistores (que não são passivos).

A Figura 1.1 mostra dois circuitos de corrente alternada simples. O da Figura 1.1(a) é um circuito de uma malha, o da Figura 1.1(b) é de duas malhas.

Figura 1.1. Exemplos de circuitos de corrente alternada. Z1, Z2 e Z3 indicam elementos como resistores, capacitores ou indutores.

Um Gerador de c.a. gera uma voltagem senoidal ε(t) que em geral é caracterizada pela frequência angular ω, a amplitude ε0 (também chamada valor pico ou de crista) e a fase inicial φ0:

Para que a amplitude e a fase sejam univocamente definidas, impomos que a amplitude seja positiva e que a fase esteja entre -π e π.

Exercício 1.1: Escreva as funções abaixo na forma da eq. 1 com ε 0 positivo e -π < φ0 ≤ π: 1. ε(t) = -100V cos(ωt) [Resposta: 100V cos(ωt + π)]

2. ε(t) = 10V sin(ωt) [Resposta: 10V cos(ωt - π/2)]

Muitos osciloscópios modernos possuem recursos para medir automaticamente a amplitude pico-a- pico εp = 2ε0 e o período T = 2π/ω ou a frequência f = 1/T. Outros instrumentos, como voltímetros de c.a.

e multímetros, medem o valor eficaz εp = ε0 / √2. Assim, por exemplo, 110 Volts eficazes correspondem a uma amplitude de 155.6 V e uma amplitude pico-a-pico de 311 V. O aluno pode medir a voltagem de linha com um multímetro. A maioria dos osciloscópios medem até 80 V. Para medir voltagens maiores que 80 V se utilizam pontas de prova atenuadoras, mas mesmo com uma ponta atenuadora o/a aluno/a nunca deve intentar medir a voltagem de linha com um osciloscópio (leia primeiro a seção 1.1 sobre a linha de alimentação).

Antes de fazer experimentos é importante que o/a aluno/a tenha conhecimentos básicos do que há por trás de uma tomada de alimentação elétrica. Vou discutir aqui a linha de alimentação dos laboratórios de ensino do Instituto de Física da Unicamp, que é uma linha de 127 V. O professor de outra região deve adaptar esta discussão para o caso da sua sala de aula.

A energia elétrica é produzida em alguma usina hidroelétrica, nuclear o de outro tipo, geralmente muito remota. A energia é transportada através de linhas de transmissão de muito alta voltagem (centenas de quilovolts, pudendo chegar até megavolts). A razão disto é obvia: a perda nos cabos é proporcional ao quadrado da corrente e à resistência do cabo e, para uma dada potência de consumo, diminuir a corrente significa aumentar a voltagem. Estas linhas terminam em alguma estação distribuidora, onde a voltagem é reduzida para algo entorno de algumas dezenas de quilovolts e alimenta redes locais, do tamanho de uma cidade. Subestações distribuidoras reduzem a voltagem ainda mais (3 a 1 kV) e alimentam redes menores, do tamanho de bairros ou de um campus universitário. Transformadores espalhados no bairro reduzem a alta voltagem para alimentar com a tensão de linha (entre 110 e 220 V eficazes) prédios individuais ou um conjunto de poucas casas. Destes transformadores saem geralmente dois ou três fios “vivos” e um fio de retorno ou “neutro” que é geralmente aterrado perto do transformador.

“Aterrado” significa exatamente isto: o fio neutro é ligado a uma lança condutora que está enterrada a alguns metros de profundidade na terra, onde a condutividade é alta. Os fios “vivos” são também chamados “fases”. Em alguns casos (Estados Unidos, por exemplo) há duas fases de 110 V eficazes e a diferença de potencial entre elas é de 220 V. Assim, uma casa pode ter 110 V para as tomadas e 220 V para alguns eletrodomésticos que consomem muito, tais como chuveiro elétrico, fogão elétrico, lavadoras, etc. (lembre sempre que a corrente deve ser baixa, menor que 40 A; caso contrário haverá que instalar fios mais grossos). Em outros casos (Campinas, por exemplo) há duas ou três fases de 127 V, com uma diferença de fase entre elas de 120º. A diferença de potencial entre dois fios vivos quaisquer é novamente 220 V.

Na Europa e alguns países Latino-americanos (Argentina, por exemplo) o vivo é de 220 V e a diferença entre dois vivos (que estão defasados em 120º) é de 381 V. Isto barateia o custo das instalações das redes elétricas, pois os fios são mais finos do que em países com linhas de 110 V, mas encarece as instalações dentro das casas pois é necessário um melhor isolamento e mais cuidados com a segurança. Outra diferença é que a frequência de linha nos países com 220 V é de 50 Hz e nos países com 110 V é de 60 Hz.

No Brasil a voltagem de linha depende da cidade e até da casa! Por exemplo, em Brasília uma casa pode estar ligada em 220 V e outra em 110 V (independentemente da ideologia política do proprietário, não tem lógica mesmo!). Em Campinas é 127 V/ 60 Hz. Note que a voltagem pico-a-pico de uma linha de 127 V é de 359 V.

Nas viagens é bom perguntar qual é a tensão de linha local antes de ligar o seu secador de cabelos ou o barbeador elétrico. E antes de comprar um aparelho motorizado na Europa, verifique se este não tem um motor síncrono, que funciona em sincronismo com a frequência da linha (50 Hz na Europa, mas 60 Hz no Brasil).

Nos laboratórios existe outra lança aterrada, bem perto do prédio, ligada a um fio chamado “terra” ou “terra de segurança”. A voltagem do “neutro” em relação ao “terra” depende da corrente (ou seja, do consumo) e da resistência do fio neutro até o ponto onde ele está aterrado, e não deve ser maior que uns 5 a 10 V (mesmo assim, o fio neutro não deve ser tocado!). Normalmente não passa corrente pelo fio terra. Na tomada do laboratório temos então (Figura 1.2) um vivo, um neutro e um terra. O gabinete metálico de todo instrumento, eletrodoméstico ou computador deve estar conectado a terra, de modo que possa ser tocado com segurança.

vivo neutro

terra transformador neutro

Linha de alta tensão Prédio de laboratórios terra

Terra tomada Tomada (detalhe) caixa de distribuição

Figura 1.2. Esquema da linha de alimentação elétrica do laboratório. Várias tomadas são alimentadas por cada fase. No detalhe, uma tomada com ponto de terra. Uma convenção é que o neutro deve ficar à direita do vivo e a terra embaixo. Outra convenção é que o fio vivo deve ser preto (cor da morte) o neutro branco e a terra verde. (Estas convenções não são muito respeitadas no Brasil).

Alguns instrumentos (como voltímetros, eletrômetros e alguns tipos de fontes) podem ter entrada ou saída flutuante, que significa que nenhum dos contatos de entrada ou saída está ligado à terra. Este não é o caso dos osciloscópios, que sempre medem em relação a terra; por isso, nunca ligue a entrada do osciloscópio à linha (você poderá estar ligando o terra do osciloscópio ao vivo ou ao neutro, mas você saberá se ligou ao vivo só depois de ouvir a explosão!).

Se não suporta a curiosidade e quiser mesmo ver a forma de onda da linha, faça o seguinte na presença do professor: utilize uma ponta de prova atenuadora de pelo menos 10× (verifique que a impedância da ponta de prova é alta, maior que 1 MΩ) e não ligue o terra da ponta de prova (geralmente um conector tipo jacaré) a nenhum dos pontos da tomada. Assim pelo menos você poderá medir as voltagens (em relação ao terra do osciloscópio) de cada ponto da tomada e descobrir qual é o vivo e qual o neutro.

Se quiser medir a diferença de potencial entre vivo e neutro, você deve utilizar um osciloscópio de dois canais e subtrair os sinais no osciloscópio. Faça o seguinte na presença do professor: utilize um osciloscópio de pelo menos dois canais que tenha modo de soma (ADD) e de inversão (INVERT); utilize também duas pontas de prova (não ligue as terras das pontas), uma em cada canal do osciloscópio; ligue uma ponta (Channel 1) no vivo e a outra (Channel 2) no neutro, e faça a subtração no osciloscópio (ou seja, INVERT Channel 2 e coloque o modo vertical em ADD. Se não entendeu é porque ainda não deve intenta-lo).

Note que sempre que for medir voltagens de linha deverá utilizar pontas de prova atenuadoras para que a senóide caiba na tela do osciloscópio (onde geralmente cabem 80 volts). Se a tensão eficaz é de 127 V, a voltagem pico-a-pico é 359.2 Volts!

1.2 Voltagem e corrente reais

Nos circuitos de c.a. alimentados por um único gerador ideal as correntes reais que passam pelos diferentes elementos são senoidais. A corrente real i(t) que passa por um dado elemento de um circuito está relacionada com a diferença de potencial (ou voltagem) nesse elemento v(t). Tanto i(t) como v(t) são funções do tempo com a mesma forma que a eq. 1.1, cada um com sua amplitude e fase, mas com a

mesma frequência. Sem perda de generalidade podemos escolher a origem dos tempos de modo que a fase inicial da corrente seja nula:

onde φ é a diferença de fase entre a voltagem e a corrente.

Note que a fase de uma senóide sozinha não tem muito sentido físico. É sempre possível escolher a origem dos tempos de modo de fazer ela zero. Por outro lado, a diferença de fase entre duas senóides não depende dessa escolha. A Figura 1.3 mostra duas senóides na tela de um osciloscópio para ilustrar como se mede a diferença de fase. A corrente pode ser medida com osciloscópio medindo a voltagem sobre qualquer resistor do circuito, que é proporcional a corrente. Cuidado, porém, porque o osciloscópio somente mede em relação ao terra e, portanto, o resistor (ao qual ligamos o osciloscópio para medir a corrente) deve estar aterrado.

∆ t = 3.76 ms

∆ t T

10mV.1V 2m s

V1 V2 cursores

Figura 1.3. Medida da diferença de fase φ entre duas senóides (V1 e V2) com um osciloscópio de dois canais. Tela da esquerda: Primeiramente medimos o período, que neste exemplo é T = 8.6 ms. A seguir medimos a diferença de tempo ∆t em que as senóides cruzam, subindo (ou descendo), a linha horizontal de V = 0. Neste exemplo, ∆t = 3.76 ms (alguns osciloscópios, como o ilustrado aqui, dispõem de cursores verticais para medir diferenças de tempo, a leitura é indicada no canto superior direito da tela). Finalmente, a fase é dada por φ =

2π∆t/T = 2.75 rad ou φ = 360∆t/T = 157º. Tela da direita: Para diminuir a incerteza da medida, podemos expandir a escala vertical (duas vezes neste exemplo) de modo que apenas a região central das senóides é mostrada no osciloscópio. Na região central as senóides são aproximadamente retas e os pontos de cruzamento com o eixo V = 0 são mais evidentes (expandindo ainda mais a escala vertical, a retas viram quase verticais e a incerteza é a mínima possível).

Vejamos qual é a relação entre voltagem e corrente nos três elementos básicos: resistor, capacitor e indutor. Em um resistor vale sempre a lei de Ohm onde R é a resistência e, no caso de corrente alternada (isto é, com i(t) na forma da eq. 1.1) obtemos

v(t) = RI0 cos(ωt). [1.5] Em um indutor a relação geral entre v e i é onde L é a indutância (henry, H). No caso de corrente alternada,

Finalmente, em um capacitor a voltagem é proporcional à carga no capacitor, q: v = q/C, [1.8] onde C é a capacitância (farad, F) e, dado que i = dq/dt, a relação geral entre v e i é

A Tabela 1-I resume o que acabamos de falar. Elemento Voltagem real Amplitude Fase

Resistor v = Ri V0 = RI0 φ = 0

Capacitor v = q/C V0 = I0/ωC φ = −π/2 Indutor v = Ldi/dt V0 = ωLI0 φ = π/2

Tabela 1-I. Relação entre voltagens e correntes reais em elementos de circuito de corrente alternada.

A relação entre voltagem e corrente reais em um circuito de uma malha contendo resistores, capacitores e indutores é em geral uma equação integro-diferencial de primeira ordem ou uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Por exemplo, no circuito RLC série (Figura 1.1a) esta equação é

R didt L didt iC ddt

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