Funções variaveis complexas

Funções variaveis complexas

(Parte 1 de 2)

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas

Neste capítulo, estudaremos as funções de variáveis de complexas, bem como limites, continuidade, derivação e integração destas funções, analisando as diferenças e as semelhanças com o cálculo de funções de uma variável real.

Seja uma variável complexa, yjxz+=, onde x e y são números reais. Consideremos ainda a variável complexa jvuw+=, onde u e v são números reais. Vamos supor que z está num plano, o qual chamaremos de z-plano (domínio) e que w está em outro plano complexo chamado de w-plano (imagem). Vamos ainda supor que existe uma regra que associa cada ponto do z-plano (ou uma porção deste) com um ponto no w-plano. Desta forma dizemos que w é uma função de z , e podemos escrever este fato simbolicamente como:

Se a cada z corresponde um único valor de w, então a função é dita unívoca ou univalente ou simplesmente função. Entre essas encontramos as funções racionais, exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas. Uma função que não é unívoca é dita plurívoca ou multivalente. As inversas das funções exponenciais, trigonométricas e hiperbólicas, bem como as funções potência não inteira são funções multivalentes e não serão estudadas aqui. Para maiores informações vide referências. “A menos que se afirme em contrário iremos supor que todas as funções consideradas são unívocas”.

Devemos notar que o z-plano e o w-plano são geometricamente similares, sendo muitas vezes considerados o mesmo plano.

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas e assim:

Se quiséssemos o contrário, isto é, dada a função

para encontrarmos a função escrita em termos de z e z, devemos usar as propriedades do conjugado de um número complexo, ou seja, z ye

Transformação:

Propriedades de uma função real f(x), de uma variável real x, são demonstradas geometricamente pelo gráfico da função. A equação )x(fy= estabelece uma correspondência entre os pontos x no eixo real x e os pontos y no eixo real y. Ao conjunto dos pontos (x, y) formados desta correspondência chamamos de gráfico de f(x). Da mesma forma usamos uma superfície para exibir número real z do eixo real z, este é um gráfico em três dimensões.

função é um plano e a imagem também. Assim seu gráfico teria quatro dimensões, tornando impraticável sua representação. Mesmo assim, algumas informações da função podem ser obtidas através da observação da relação entre os pontos do domínio e da imagem. Utilizamos para isto, dois função, podemos estudar a correspondência existente entre este conjunto e sua imagem. A esta relação damos o nome de transformação de um conjunto de pontos do z-plano em um outro conjunto de pontos no w-plano pela função. Este termo se aplica a conjuntos como uma curva, uma região, etc..

zw= leva cada ponto z na sua reflexão no eixo real.

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A transformação de curvas ou regiões fornece em geral mais informações sobre a função do que as transformações de pontos individuais. Como exemplo, vamos considerar a função:

todos os valores de -c até c, e como v = -y, então v deverá variar de c até -c. Assim, a imagem do

ponto do segmento, exceto as extremidades, é imagem de dois pontos do circunferência. O domínio D de definição da função w é o z-plano inteiro. Cada ponto de D se situa sobre uma destas circunferências, pois c pode ser qualquer constante não negativa, e a imagem desta circunferência é um segmento como o descrito acima. Reciprocamente, um segmento deste tipo é sempre imagem de uma destas circunferências, pela função f. Assim, a imagem do z-plano, contradomínio R da função w, é o c x c u v u=v

(a)(b)

u=-v Figura 1.1: Exemplo de Transformação

Limite e Continuidade: Chamamos de Vizinhança de 0z com raio r a um conjunto definido por:

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Dizemos que uma função complexa f(z), definida em uma vizinhança de 0z, possui limite L quando z se aproxima de z0 por qualquer direção do plano complexo, se para qualquer número real positivo x,

suficientemente próximos de z0 (vide Figura 1.2). Escrevemos isto como:

Nota: Como a definição de limite é exatamente a mesma que a dada para o cálculo de uma variável real, podemos demonstrar, da mesma forma que para funções de uma variável real que:

1. O limite quando existe é único. 2. C z lim = fi 0 z lim =fi

( )zg z lim zf z lim zg zf z lim 0

zzn z zflimzflim

fifi z limzf z lim

ŒŒ ºØ fi=fi

OBSERVAÇÃO: Como a distância entre dois pontos “ z” e “a” é dada por ,az- segue geometricamente que:

0z L x z f(z)

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Uma função f(z) é dita Contínua em 0zz= se:

OBSERVAÇÃO: Uma função é dita Contínua num conjunto S, se f(z) é contínua em cada ponto z .S

Nota: Da mesma forma que limites, a definição de continuidade é exatamente a mesma que a dada para o Cálculo de Uma Variável Real. Assim, podemos demonstrar, da mesma forma que para a funções de uma variável real, que se f e g são duas funções contínuas em 0z, então:

Derivação: Uma função f(z) é dita Derivável em um ponto z se existe o limite:

zfzzf limzf)z(fD

0zz D

Nota: Todas as regras familiares do cálculo diferencial real, tais como as regras de derivação de uma constante, das potências de z, somas, produtos e quocientes de funções deriváveis e a regra da cadeia para derivar funções de funções, continuam válidas no campo complexo. Assim sendo:

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z z zgD.zfzfD.zg

z limzf

Nota: É importante ressaltar que algumas funções simples não apresentam derivada em nenhum ponto como, por exemplo, podemos citar, ()zzf=, pois:

yjx jyxyyjxxz zfzzf )z(h e calcular o limite de (1.15) quando 0zzfi depende do caminho escolhido. Vamos primeiramente escolher o caminho I da Figura 1.3, isto é, vamos fazer 0yfiD e depois 0xfiD, ou seja:

1 yjx yjx lim)z(hlim

e depois, escolhendo o caminho I, ou seja, fazendo inicialmente 0xfiD e depois 0yfiD, obtendo:

1 yjx yjx lim)z(hlim

Assim, de (1.13) e (1.14) vemos que o limite depende do caminho escolhido, o que indica que este não existe, ou seja, a função não é derivável em nenhum ponto.

zzD+ z I I

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Analiticidade e Singularidade:

Se uma função f(z) possui derivada em um ponto 0z z e se conseguimos uma vizinhança de 0z de tal forma que a derivada de f(z) exista em todos os pontos interiores a esta vizinhança dizemos que a função f(z) é regular ou analítica em 0z. Neste caso, 0z é dito um ponto regular da f(z). Um ponto 0z é dito ponto singular, ou simplesmente uma singularidade de uma função f(z), se ele não é um ponto regular desta função. Um ponto singular 0zé dito singularidade isolada, se existe uma vizinhança de 0z onde todos os pontos desta vizinhança são regulares, exceto o próprio 0z. Uma função f(z) pode ser derivável em um ponto, mas não ser analítica neste ponto, por z.z lim

lim z

Entretanto, checando em qualquer outro ponto distinto de zero, a derivada não existe, logo todos os pontos são singulares, inclusive a origem, apesar da função ser diferenciável em z = 0. Portanto, esta função não é analítica em ponto algum.

Tipos de singularidades:

isoladanão cialsenesadesingularid polo removíveladesingularid isolada .

Um ponto singular isolado 0z de uma função f(z) é dito removível, se existe o limite:

Um ponto singular isolado 0zde uma função f(z) é chamado de pólo de ordem n de f(z), se:

onde L é um número finito não nulo e n é o menor número inteiro positivo tal que (1.20) exista. Uma singularidade isolada 0z de f(z) é dita essencial se não existe n inteiro positivo tal que:

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As Equações de Cauchy-Riemann:

As Equações de Cauchy-Riemann nos fornecem informações sobre a derivabilidade e a analiticidade de uma função complexa f(z) em um dado ponto z do plano complexo. Estas informações são apresentadas nos seguintes teoremas:

TEOREMA 1: Uma função f(z) é derivável num ponto z = (x, y) se, e somente se, satisfaz as equações de Cauchy-Riemann:

neste ponto. E mais, a derivada de f(z) é dada por:

TEOREMA 2: Uma função f(z) é analítica em um ponto z se, e somente se, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em uma vizinhança de z.

Em outras palavras, acabamos de determinar um teste para a existência, ou não, da derivada de uma função, o qual considera apenas a parte real e a parte imaginária desta função.

A Derivada das Funções Exponencial, Trigonométricas e Hiperbólicas: A função exponencial é analítica em C, pois:

yseneyxv ycoseyxu ysenjycosee x e aplicando as condições de Cauchy-Riemann vê-se que xyyxvuevu-== para qualquer número z complexo. Assim, podemos calcular sua derivada:

( ) zxx xxz eysenejycosevjue

As derivadas das funções trigonométricas e hiperbólicas são calculadas usando-se propriedades da derivação e a derivada da exponencial, ou seja:

2 eedzdedzde21dz

e similarmente,

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das funções tg z, sec z, cotg z, cosec z, tgh z, sech z, cotgh z e cosech z é obtida através da regra da derivada da divisão e estas funções são singulares em pontos onde a função se torna infinita. Assim, por exemplo, cada ponto onde cos z vale zero, é um ponto singular de tg z e sec z, isto é,

como já foi visto no capítulo I. Assim, as funções tg z e sec z tem um número infinito de singularidades isoladas distribuídas em intervalos uniformes ao longo do eixo real.

Como um segundo exemplo, vamos encontrar os pontos singulares de tgh z e sech z. Estas funções são infinitas quando cosh z é zero, assim, temos que:

(vide cap. I) os quais são infinitos pontos igualmente espaçados sobre o eixo imaginário.

Exercício: Achar as singularidades das funções cotg z, cosec z, cotgh z e cosech z.

2. INTEGRAÇÃO COMPLEXA:

A teoria de integrais curvilíneas, juntamente com a série de potências e o teorema dos resíduos (vide referências), constitui uma parte importante da teoria das funções de variáveis complexas. Uma de suas principais aplicações é a inversão de transformações integrais.

Curvas e caminhos:

Uma curva orientada ou paramétrica C no plano complexo (vide fig.2.1) é um conjunto de pontos z = (x, y) tais que

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas onde x(t) e y(t) são funções contínuas da variável real t, no intervalo fechado [a,b]. Como ,yjxz+= podemos escrever,

O ponto z(a) é o ponto inicial da curva C, e o ponto z(b) é o ponto final de C. Se z(a) = z(b), C é dita uma curva fechada. Se não existem dois valores distintos de t em [a, b], denominados aqui

intervalo ]a, b[. Uma curva é dita retificável se tem comprimento finito L, isto é, se existe a integral:

A figura 2.2 acima mostra o exemplo de duas curvas fechadas: (a) é uma curva simples fechada e, em (b), cada um dos "loops" pode ser visto como uma curva simples fechada, mas a curva completa não é uma curva simples fechada.

(b) (c) t = a t = b t = a t = b t = a t = b

(a) (b)

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ttx

2) î íì == tseny

Um caminho é uma cadeia contínua de curvas suaves. O comprimento de um caminho é a soma dos comprimentos das curvas suaves que o compõem. Como exemplos podemos citar o contorno de retângulos e triângulos.

Exemplos de Caminhos:

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Figura 2.3: Exemplos de Caminhos: (a) ex. 1; (b) ex. 2; (c) ex. 3. A Integral de Linha:

A integral de linha de uma função complexa f(z), onde jyxz+= é uma generalização natural da definição real da integral definida. No caso de uma integral definida real, o caminho de integração é um intervalo do eixo real, já no caso complexo, integramos ao longo de um caminho orientado C. Assim, sendo C um caminho e f(z) uma função contínua sobre C, a integral complexa:

òC dz)z(f, ou simplesmente, òC poderá ser definida e representada em termos das integrais reais, ou seja, fazendo-se

desde que existam as integrais reais do lado direito de (2.3).

O caminho C pode ser aberto ou fechado, mas devemos especificar a direção de integração, pois uma mudança de direção resulta em mudança no sinal da integral. As integrais complexas são, portanto, redutíveis a integrais reais curvilíneas e possuem as seguintes propriedades.

dz)z(fkdzzfk, onde k é uma constante complexa; (2.5)

(a) (b)

(c)

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O valor absoluto de uma integral pode ser estimado pela fórmula:

Exemplos de Integrais:

1) dzz 1

jtjdtjdttcosjtsentsenjtcosdzz 0 . (2.9)

t dttdzz

Note que o valor da integral dzz 1

,dzz onde o caminho C que une -1 até 1 é a semicircunferência inferior de raio 1

0dtt2cosjdtt2sendttcosjtsentsenjtcosdzz(2.1)

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas t dttdzz

dzz é o mesmo, independente do caminho

escolhido. Resulta a seguinte pergunta, cuja resposta será dada na próxima seção: "Escolhendo-se outros caminhos entre -1 e 1, o valor desta integral continuará sendo o mesmo?"

Teorema Integral de Cauchy:

As integrais de funções analíticas possuem algumas propriedades muito importantes. Provavelmente a mais importante delas seja descrita pelo teorema integral de Cauchy.

Para apresentar este teorema precisamos do conceito de conjunto simplesmente conexo. Um conjunto D é dito conexo se quaisquer dois de seus pontos podem ser unidos por uma linha totalmente pertencente a D. Um conjunto D é dito simplesmente conexo se qualquer curva simples fechada contida em D, pode ser deformada, sempre totalmente contida em D, até se tornar um ponto.

Teorema Integral de Cauchy: Seja f(z) uma função analítica num domínio simplesmente conexo D. Se C é um caminho fechado simples de D, então

,0dydx yvx u jdydx yux dxvdyujdyvdxudz)z(f onde, na segunda igualdade de (2.14) foi aplicado o teorema de Green no plano e, na terceira igualdade as equações de Cauchy-Riemann.

Observação 1: O teorema de Green para o plano afirma que:

são funções contínuas e possuem derivadas parciais )y,x(ge)y,x(fxy contínuas em um domínio D que contém R. Uma região fechada é um conjunto conexo que possui todos os seus pontos de fronteira.

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Observação 2: Goursat demonstrou este mesmo teorema sem a hipótese adicional de que ()zf¢ deva ser contínua.

Exemplo: Seja C a circunferência unitária, centrada na origem, orientada positivamente.

analítica na origem, a qual pertence a região R interior ao caminho C.

dá condições suficientes, mas não necessárias.

Observação 3: Mostra-se que, se f(z) é uma função analítica em D, então a integral que liga dois pontos de D independe do caminho tomado. Um exemplo disto foi dado nos exemplos 3 e 4 acima. Para verificar este fato, seja f(z) uma função analítica numa região que contenha um caminho fechado C. Subdividindo o caminho de integração C, como na figura abaixo, em dois arcos 21CeC-, obtemos, pelo teorema de Cauchy, que:

e, em conseqüência,

ou seja, numa região onde f(z) é analítica, a integral entre dois pontos independe do caminho.

Teorema: Se f(z) é analítica em um domínio simplesmente conexo D e, se F(z) for uma integral indefinida de f(z), ou seja, F´(z) = f(z), então para todos os caminhos situados em D que ligam dois pontos a e b em D, têm-se que

Este teorema permite o cálculo das integrais de linha de funções complexas através de uma integral indefinida.

Exemplos:

Cálculo Avançado A - Variáveis Complexas senzsendzzcos.

A Fórmula Integral de Cauchy:

A conseqüência mais importante do teorema de Cauchy é a fórmula integral de Cauchy. Esta fórmula é dada pelo teorema abaixo.

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