Apostila de calculo diferencial e integral

Apostila de calculo diferencial e integral

(Parte 1 de 9)

ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia

Cursos de Engenharia

Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim

Apostila de limites e derivadas

“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”

George Polya

Última atualização: 26/10/2007

Qual o valor de a ?

Álvaro Fernandes 2

Limite e continuidade3
Noção intuitiva de limite3
Tabelas de aproximações4
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/06
Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites8
Continuidade10
Limites infinitos12
Limites no infinito13
Expressões indeterminadas15
Limite fundamental exponencial17
Limite fundamental trigonométrico19
Funções limitadas21
Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola23
Aplicação 2: Problema do circuito RL em série24
Derivada25
A reta tangente25
A reta normal28
A derivada de uma função num ponto28
Derivadas laterais29
Regras de derivação31
Derivada da função composta (Regra da cadeia)3
Derivada da função inversa35
Derivada das funções elementares36
Derivada da função exponencial36
Derivada da função logarítmica37
Derivada das funções trigonométricas37
Derivada das funções trigonométricas inversas40
Tabela de derivadas42
Derivadas sucessivas43
Derivada na forma implícita45
Derivada de uma função na forma paramétrica50
Diferencial54
Aplicações da derivada56
A regra de L’Hospital56
Interpretação cinemática da derivada58
Taxa de variação61
Análise gráfica das funções64
Máximos e mínimos64
Funções crescentes e decrescentes67
Critérios para determinar os extremos de uma função68
Concavidade e inflexão70
Assíntotas horizontais e verticais72
Esboço gráfico75

Índice Problemas de otimização......................................................................................................... 80

Álvaro Fernandes 3

Limite e continuidade

Noção intuitiva de limite

Considere a função ()fxx=−21. Esta função está definida para todo x∈ℜ, isto é, qualquer que seja o número real ox, o valor ()oxfestá bem definido.

Graficamente:

Considere agora uma outra função ()gx

1 . Esta função está definida

{}∀∈ℜ−x1. Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.

Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a.

indeterminação no valor de x

0 0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas serão tratados mais adiante.

Álvaro Fernandes 4

Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta:

Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa vizinhança) de 1, porém diferentes de 1?

A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto 1x= que gera a indeterminação.

Estudemos os valores da função ()gx

1 quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações.

Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1:

• por valores de x pela direita:

• por valores de x pela esquerda:

Tabelas de aproximações

As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,9 0,99 0,99 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,9 1,99 1,99

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1:(tabela B)

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001

Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos:

“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”.

2ou limx

Álvaro Fernandes 5

Observação: Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.

∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x→−1. Temos então que:

∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x→+1. Temos então que:

Definição intuitiva de limite (para um caso geral)

Seja f uma função definida num intervalo I⊂ℜ contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L∈ℜ, e escrevemos

()limxa fxL→=, se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais xa xa fx fxL→→==. Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em

símbolo()limxa fx→.

Ainda com relação à função ()gx

1 , podemos então concluir, pela definição, que:

e

De forma equivalente,

2

Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele exista?

Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.

Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda.

Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita.

Álvaro Fernandes 6

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