Formalismo matemático da mecânica quântica I

Formalismo matemático da mecânica quântica I

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6 O Formalismo Matemático da

6- 1 Mecânica Quântica I

Nesta seção expomos as noções básicas dos espaços vetoriais, pois o formalismo da mecânica quântica se baseia nestes conceitos.

Na formulação abstrata da mecânica quântica dizemos que |ψ> é um vetor num espaço de Hilbert. Para poder entender tal afirmação, precisamos saber o que é um espaço vetorial e, especialmente, o que é um espaço de Hilbert. E o que é um vetor? Comecemos com a noção do espaço vetorial (ou espaço linear).

Um espaço vetorial pode ser caracterizado por dez propriedades satisfeitas por seus elementos, chamados de vetores. Estes vetores podem ser de quaisquer natureza, contanto que cumpram os dez mandamentos. Especialmente as funções de onda da mecânica quântica têm o direito de serem chamados de vetores, pois, como veremos, elas pertencem ao grupo dos objetos escolhidos. (O nome "vetor" é devido à semelhança com quantidades que se comportam como flechas no plano ou no espaço físico. Alias, os espaços vetoriais da mecânica quântica são, geralmente, de dimensões infinitas, e são então chamados de espaços de Hilbert. David Hilbert foi um Matemático alemão, 1862-1943.)

Em mecânica quântica representamos geralmente os vetores pelos símbolos bra " Ι > " ou ket " < Ι ", inventados por Dirac, conferir também "Mecânica",4.4.1 e 2.2.1 sobre vetores em geral. Aqui vem a lista dos 10 leis (também chamados de axiomas ou postulados) do espaço vetorial:

1. Vetores podem ser adicionados e sua soma é também um vetor

Ιx> + Ιy> = Ιz> 2. A adição é comutativa: Ιx> + Ιy> = Ιy> + Ιx> 3. A adição é associativa: ( Ιx> + Ιy>) + Ιz> = Ιx> + (Ιy> + Ιz>)

4. Há um vetor zero Ι0>, tal que Ιx> + Ι0> = Ιx> para todos os vetores Ιx> 5. Para cada vetor Ιx> há um vetor negativo Ιy> (ou Ι-x>), tal que

Ιx> + Ιy> = Ι0>

Observação: As propriedades 1,2,3,4,5 exprimem o fato de que um espaço vetorial é um grupo com a operação de adição de vetores. Um grupo com a propriedade 2 (comutatividade) é um grupo comutativo (ou Abeliano).

6. Vetores podem ser multiplicados por escalares a, b. O resultado sendo também um vetor. Se Ix> for um vetor, então aIx> é também um vetor.

Observação: Os escalares podem ser números reais ou complexos. No espaço vetorial Hilbert da mecânica quântica, os escalares são números complexos.

7. A multiplicação por escalar é associativa: a(bIx>) = (ab)Ix> 8. Vale a primeira lei distributiva: (a+b)Ix> = a|x> + bIx> 9. Vale a segunda lei distributiva: a(Ix> + Iy>) = aIx> + aIy> 10. Vale a invariância sob a multiplicação pela identidade: 1 Ix> = Ix>

Observação: A propriedade 10 não é óbvia, ela não pode ser deduzida das outras nove propriedades e deve, portanto, ser postulada.

Os espaços vetoriais usados na física possuem, quase sempre, um produto interno (ou produto escalar) que é um escalar, real ou complexo, formado de dois vetores, representado, geralmente, por <xIy> ou (Ix>,Iy>).

As propriedades do produto interno são um pouco diferentes para espaços reais e espaços complexos:

1. Espaço real: <xIy> = <yIx> o produto interno é simétrico

simetria hermitiana. (<yIx>* é o complexo conjugado do número <yIx>)

Espaço complexo: <xIy> = <yIx>* diz-se que o produto interno possui 2. Espaços reais e complexos: <xIy+z> = <xIy> + <xIz>; <xIay> = a <xIy> O produto interno é linear em relação ao segundo fator.

Observação: Por meio da primeira propriedade podemos comprovar que o produto interno é também linear em relação ao primeiro fator:

<x+yIz> = <xIz> + <yIz> ou também <a+bIc+d> = <aIc>+<aId> + <bIc> + <bId> mas para a complexo: <axIy> = a* <xIy>

Quando a é um número real, o asterisco é supérfluo. Diz-se que o produto interno em um espaço complexo é antilinear em relação ao primeiro fator.

A última propriedade do produto interno é 3. O produto interno possui uma norma positiva-definida: <xIx> ≥ 0, onde <xIx> = 0 se e só se Ix> = I0>.

(A norma do vetor Ix> definimos, também em Cn, como sendo a raiz quadrada de <xIx>: ||x|| = √(<xIx>) o que é um número real não-negativo. A norma escreve-se também como || |x> ||. Um vetor Ix> é dito normalizado se ||x|| = 1.)

Schwarz e a Desigualdade Triangular

Num espaço vetorial arbitrário (com produto interno) valem a Desigualdade de A Desigualdade de Schwarz:

I<xIy>| ≤ ||x|| · ||y|| (1)

Note que | | à esquerda representa o valor absoluto de um número real, || || à direita representa o produto da norma de Ix> com a norma de |y>. Em vez de norma diz-se também comprimento.

A demonstração da desigualdade (1), embora não seja difícil, não é muito natural, mas exige um início criativo, ou seja um jeitinho. Podemos proceder da seguinte maneira:

Se Ix> = I0>, então ||x|| = 0 e <xIy> = 0, logo (1) é válida. O mesmo argumento seria aplicável se Iy> for I0>. Suponha, agora, que nem Ix> nem Iy> é nulo e que c e d são duas constantes arbitrárias. Devido à propriedade 3 do produto interno podemos escrever

0 ≤ <cx + dyI cx + dy>

Por meio das outras propriedades introduzidas acima, podemos produzir os seguintes conclusões

0 ≤ c*<xIcx + dy> + d*<yIcx + dy> ≤ c*c<xIx> + c*d<xIy> + d*c<yIx> + d*d<yIy>

Esta relação é válida para qualquer valor de c e d, então, deve ser válida para os valores especiais c = -<xIy> e d = <xIx>. Usando estes valores, obtemos

0 ≤ c*cd - c*dc - d*c* + d*d<yIy> ≤ d[-c*c + d*<yIy>] e 0 ≤ - |<xIy>|2 + <xIx><yIy> e daí |<xIy>|2 ≤ ||x||2 ||y||2 ou seja |<xIy>| ≤ ||x|| ||y||. A desigualdade de Schwarz podemos usar para definir um número θ tal que cos θ = <xIy>/ [ ||x||·||y||], 0 ≤ θ < π também no espaço Rn.

Outra desigualdade de grande importância, a Desigualdade Triangular, é só um corolário de (1). Vamos demonstrar, então, que

I x + y || ≤ ||x|| · ||y|| (2)

(Desigualdade Triangular)

Demonstração: Sabemos da definição do comprimento de um vetor que ||x + y||2 = <x+yIx+y> = ||x||2 + ||y||2 + <xIy> + <yIx>

Com <yIx> = <xIy>* obtemos <xIy> + <yIx> = 2 Re<xIy>, onde Re significa a parte real do número complexo que segue. (Em mecânica quântica o produto interno é, em geral, um número complexo.)

Temos, então, ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 +2Re <xIy>. Para todo número complexo z = a + ib vale a = Re z ≤ |z| = (a2 + b2)1/2, onde o signo = será válido quando z é real e positivo. Então

||x + y||2 ≤ ||x||2 + ||y||2 +2|<xIy>|

Do teorema anterior temos |<xIy>| ≤ ||x|| · ||y||, onde o signo = só é válido quando Ix> = λ Iy>.

Consequentemente resulta ||x + y||2 ≤ (||x||2 + ||y||2 + 2 |<xIy>|) = (||x|| + ||y||)2 q.e.d;

∑i=1,n aiIxi> = a1Ix1> + a2Ix2> ++ anIxn> (3)

6.1.1 Ortogonalidade Uma combinação linear de um número finito de vetores é uma expressão em que os ai são escalares arbitrários. Um conjunto de vetores é chamado linearmente independente, se ∑ ai Ixi> = I0> só se todos os ai são zero. (Um conjunto de vetores é linearmente dependente, se pelo menos um dos ai é diferente de zero.)

Num espaço vetorial V com produto interno, dois vetores Ix> e Iy> são ditos ortogonais se <xIy> = 0, e escrevemos Ix> ┴ Iy>.

Um conjunto de vetores tal que quaisquer dois vetores são ortogonais é dito um sistema ortogonal de vetores. Um sistema ortogonal de vetores é dito um sistema ortonormal se cada vetor do sistema é normalizado (||xi|| = 1 para cada Ixi> do sistema. Num sistema ortonormal vale <xiIxj> = δij . (δij é o chamado símbolo delta de Kronecker. δij = 0, se i ≠ j e δij = 1, se i = j )

Qualquer conjunto ortonormal de vetores é linearmente independente porque, se ∑ ai Ixi> = I0>, então temos para cada Ixj>

0 = <xjI∑i aiIxi> > = ∑i ai <xjIxi> = ∑i aiδij = aj Assim, qualquer conjunto ortonormal de dimensão n é base de V.

Se o conjunto {Iei>} é uma base para o espaço de dimensão N, qualquer vetor Ix> pode ser representado por

1i iiIeaIx (4)

escalares {a1, a2,, an} é chamado de coordenadas do vetor Ix> com relação

(É costume designar os vetores da base de ei ou Iei>.) O conjunto dos N à base { Iei>}. As coordenadas podemos calcular como

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